考研数学三部分重要知识点归纳仅推荐给中等数学水平的考生

高等数学部分易混淆概念 第一章：函数与极限

一、数列极限大小的判断 例1：判断命题是否正确． 若()n

n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞

→∞

==<则

解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，

不能保证A B <．例如：11

,1

n n x y n n ==+，,n n x y n

n n n x y →∞

→∞

==．

例2．选择题 设n

n n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞

→∞

-=则（ ）

A ．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C ．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C 正确 分析：若lim lim 0n

n n n x y a →∞

→∞

==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞

=≠，故不选A 与D.

取11

(1),(1),(1)n n n n

n n x y z n n =--=-+=-，则n n n x z y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，但lim n n z →∞ 不

存在，所以B 选项不正确，因此选C ． 例3．设,n

n x a y ≤≤且lim()0,{}{}n n n n n y x x y →∞

-=则与（ ）

A ．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a C ．可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A 正确． 分析：由于,n

n x a y ≤≤，得0n n n a x y x ≤-≤-，又由lim()0n n n y x →∞

-=及夹逼定理得

lim()0n n a x →∞

-=

因此，lim n

n x a →∞

=，再利用lim()0n n n y x →∞

-=得lim n n y a →∞

=．所以选项A ．

二、无界与无穷大

无界：设函数

()f x 的定义域为D ，如果存在正数M ，使得

()f x M

x X D ≤?∈?

则称函数

()f x 在X 上有界，如果这样的M 不存在，就成函数()f x 在X 上无界；也就是说如果对于任

何正数M ，总存在1x X ∈，使

1()f x M >，那么函数()f x 在X 上无界．

无穷大：设函数

()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）

．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数

X ）

，只要x 适合不等式00x x δ<-<（或

x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式

()f x M >

则称函数

()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大．

例4：下列叙述正确的是： ② ① 如果()f x 在0x 某邻域内无界，则0

lim ()x x f x →=∞

② 如果

lim ()x x f x →=∞，则()f x 在0x 某邻域内无界

解析：举反例说明．设

11()sin f x x x =，

令11

,,22

n n x y n n πππ==+，当n →+∞时，0,0n n x y →→，而

lim ()lim (2)2

n n n f x n π

π→+∞→+∞=+=+∞ lim ()0n n f y →+∞

=

故

()f x 在0x =邻域无界，但0x →时()f x 不是无穷大量，则①不正确．

由定义，无穷大必无界，故②正确． 结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．

三、函数极限不存在≠极限是无穷大

当0x x →（或x →∞）时的无穷大的函数

()f x ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为

了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．

例5：函数10()0

010

x x f x x x x -

==??+>?

，当0x →时()f x 的极限不存在．

四、如果

lim ()0x x f x →=不能退出0

1

lim

()

x x f x →=∞ 例6：()0

x x f x x ?=?

?为有理数为无理数，则0lim ()0x x f x →=，但由于1

()

f x 在0x =的任一邻域的无理点均没有

定义，故无法讨论

1

()

f x 在0x =的极限． 结论：如果

lim ()0x x f x →=，且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠，则0

1

lim

()

x x f x →=∞．反之，

()f x 为无穷大，则

1

()

f x 为无穷小。 五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无

穷大时极限是否相等。 例7．求极限10

lim ,lim x

x

x x e

e →∞

→

解：

lim ,lim 0x x x x e e →+∞

→-∞

=+∞=，因而x →∞时x e 极限不存在。

1100lim 0,lim x x x x e e →-

→=

==+∞，因而0x →时1x

e 极限不存在。

六、使用等价无穷小求极限时要注意：

（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。

（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换 例8

：求极限0

x →

分析一：若将2

写成1)1)+，再用等价无穷小替换就会导致

错误。

分析二：用泰勒公式

22222211()122(1())22!

11()122(1())222!1

()

4

x x x x x x x x οοο-+++-+-++-=-+ 原式2221

()

144

x x x ο-+==-。

例9：求极限sin lim x x

x

π→

解：本题切忌将sin x 用x 等价代换，导致结果为1。

sin sin lim 0x x x πππ

→== 七、函数连续性的判断

（1）设

()f x 在0x x =间断，()g x 在0x x =连续，则()()f x g x ±在0x x =间断。而

2()(),(),()f x g x f x f x ?在0x x =可能连续。

例10．设

()1

x f x x ≠?=?

=?，()sin g x x =，则()f x 在0x =间断，()g x 在0x =连续，()()()sin 0f x g x f x x ?=?=在0x =连续。

若设

10()1

x f x x ≥?=?

-

()()1f x f x =≡在0x =均连续。

（2）“

()f x 在0x 点连续”是“()f x 在0x 点连续”的充分不必要条件。

分析：由“若

lim ()x x f x a →=，则0

lim ()x x f x a →=”可得“如果0

0lim ()()x x f x f x →=，则

0lim ()()x x f x f x →=”

，因此，()f x 在0x 点连续，则()f x 在0x 点连续。再由例10可得，()f x 在0x 点连续并不能推出

()f x 在0x 点连续。

（3）()x ?在0x x =连续，()f u 在00()u u x ?==连续，则(())f x ?在0x x =连续。其余结论均

不一定成立。

第二章 导数与微分

一、函数可导性与连续性的关系

可导必连续，连续不一定可导。 例11．()f x x =在0x =连读，在0x =处不可导。

二、

()f x 与()f x 可导性的关系

（1）设

0()0f x ≠，()f x 在0x x =连续，则()f x 在0x x =可导是()f x 在0x x =可导的充要条

件。

（2）设

0()0f x =，则0()0f x '=是()f x 在0x x =可导的充要条件。

三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论

设()()()F x g x x ?=，()x ?在x a =连续，但不可导，又()g a '存在，则()0g a =是()F x 在x a =可导的充要条件。

分析：若()0g a =，由定义

()()()()()()()()

()lim

lim lim ()()()x a x a x a F x F a g x x g a a g x g a F a x g a a x a x a x a

????→→→---''====---

反之，若()F a '存在，则必有()0g a =。用反证法，假设()0g a ≠，则由商的求导法则知()

()()

F x x g x ?=在x a =可导，与假设矛盾。

利用上述结论，我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。 四、在某点存在左右导数时原函数的性质

（1）设

()f x 在0x x =处存在左、右导数，若相等则()f x 在0x x =处可导；若不等，则()f x 在

0x x =连续。

（2）如果

()f x 在(,)a b 内连续，0(,)x a b ∈，且设00lim ()lim (),x x x x f x f x m →+

→-

''==则()f x 在

0x x =处必可导且0()f x m '=。

若没有如果

()f x 在(,)a b 内连续的条件，即设00lim ()lim ()x x x x f x f x a →+

→-

''==，则得不到任何结论。

例11．

2

()0

x x f x x

x +>?=?

≤?，显然设00lim ()lim ()1x x f x f x →+→-''==，但0lim ()2x f x →+=，

0lim ()0x f x →-

=，因此极限0

lim ()x f x →不存在，从而()f x 在0x =处不连续不可导。

第三章 微分中值定理与导数的应用

一、若

lim (),(0,lim ()x x f x A A f x →+∞

→+∞

'=≠∞=∞可以取）, 则

若

lim ()0x f x A →+∞

'=≠，不妨设0A >，则0,()2

A

X x X f x '?>≥>

时，，再由微分中值定理 ()()()()

(,(,))f x f X f x X x X X x ξξ'=+->∈

()()()()lim ()2

x A

f x f X x X x X f x →+∞

?

≥+

->?=+∞

同理，当0A <时，

lim ()x f x →+∞

=-∞

若

lim (),0,()1x f x X x X f x →+∞

''=+∞??>≥>时，，再由微分中值定理

()()()()

(,(,))f x f X f x X x X X x ξξ'=+->∈

()()()()lim ()x f x f X x X x X f x →+∞

?

≥+->?=+∞

同理可证

lim ()x f x →+∞

'=-∞时，必有lim ()x f x →+∞

=-∞

第八章 多元函数微分法及其应用

8.1多元函数的基本概念 1.

ε?,

12

,0

δδ?,使得当

01

x x δ-,

02

y y δ-且

0,0(,)()

x y x y ≠时,有

(,)f x y A ε-,那么00

lim (,)x x y y f x y A →→=成立了吗?

成立,与原来的极限差异只是描述动点

(,)p x y 与定点000(,)p x y 的接近程度的方法不一样,这里采

用的是点的矩形邻域, ,而不是常用的圆邻域,事实上这两种定义是等价的. 2. 若上题条件中0,0(,)()x y x y ≠的条件略去,函数(,)f x y 就在0,0()x y 连续吗?为什么?

如果0,0(,)()x y x y ≠条件没有,说明0,0()f x y 有定义,并且00(,)x y 包含在该点的任何邻域内,由

此对

ε?,都有

(,)f x y A ε

-,从而

0,0()

A f x y =,因此我们得到

00

lim (,)x x y y f x y A →→=0,0()f x y =,即函数在0,0()x y 点连续.

3. 多元函数的极限计算可以用洛必塔法则吗?为什么?

不可以,因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.

8.2 偏导数 1. 已知

2(,)y f x y e x y +=,求(,)f x y

令x y u +=,y

e v =那么解出x ,y 得ln ln y v

x u v =??=-?

,

所以22(,)(,).(,)(ln ).ln f u v x u v y u v u v v ==- 或者2(,)(ln ).ln f u v u v y =-

8.3全微分极其应用

1.写出多元函数连续,偏导存在,可微之间的关系 偏导数x f ', y f '连续?Z 可微? (,)Z f x y =连续? (,)f x y 极限存在 偏导数

x f ', y f '连续?偏导数x f ', y f '存在

2. 判断二元函数

(,)f x y

=0,00,0(,)()0(,)()

x y x y x y x y ≠≠?

在原点处是否可微.

对于函数

(,)f x y ,先计算两个偏导数:

00(,0)(0,0)00

(0,0)lim lim 0x x x f x f f x

x ?→?→?--'===??

0(0,)(0,0)00

(0,0)lim

lim 0y x x f y f f y y

?→?→?--'===??

又

000

5

22

6

(,)(0,0)(0,0)(0,0)lim

lim

()()x x x x y y y y f x y f f x f y

x y

x y →→→→''??--?-???=???+???

令y

k x ?=?,则上式为213

5550

0226

6

3

()lim

lim 0(1)(1)

x x k x k x k x

k ?→?→?=

?=+?+

因而(,)f x y 在原点处可微.

8.4多元复合函数的求导法则 1. 设(

)xy

z

f x y

=+,f 可微,求dz .

2

2

2

22

()()()

()()()()(

)()()()xy xy xy x y d xy xyd x y dz f d f x y x y x y x y xy y xy y

f dx f dy

x y x y x y x y +-+''==++++''=+++++

8.5隐函数的求导

1. 设(,)x x y z =,(,)y y x z =,(,)z z x y =都是由方程(,,)0F x y z =所确定的具有连续偏导数

的函数,证明

..1x y z

y z x

???=-???. 对于方程

(,,)0F x y z =,如果他满足隐函数条件.例如,具有连续偏导数且0x F '≠,则由方程

(,,)0F x y z =可以确定函数(,)x x y z =,即x 是y ,z 的函数,而y ,z 是自变量,此时具有偏导

数y x F x

y F '?=-

?',z x F x z

F '?=-?'

同理,

z y F y

z F '?=-?'

,所以

..1x y z

y z x

???=-???.

8.6多元函数的极值及其求法 1.设

(,)f x y 在点000(,)p x y 处具有偏导数,若(,)0x f x y '=,(,)0y f x y '=则函数(,)f x y 在该点

取得极值,命题是否正确?

不正确,见多元函数极值存在的充分必要条件.

2.如果二元连续函数在有界闭区域内有惟一的极小值点，且无极大值，那么该函数是否在该点取得最小值？ 不一定，对于一元函数来说上述结论是成立的，但对于多元函数，情况较为复杂，一般来说结论不能简单的推广。

例如，二元函数(,)Z

f x y =22333x y x =+-，22(16)x y +≤

由二元函数极值判别法：

2630z

x x x

?=-=?，解得 10x =，22x =， 60z

y y

?==?， 解得 0y = 故得驻点1

(0,0)M =，2(2,0)M =

2266z

A x x

?==-?，20z B x y ?=

=??， 226z C y ?==?

236(1)AC B x -=-

由于 2

(0,0)

0AC B -，2

(2,0)

0AC B -，

以及

(0,0)

0A ，所以1(0,0)M =，是函数的惟一极小值点，但是(4,0)16

(0,0)f f =-，

故

(0,0)f 不是(,)f x y 在D 上的最小值.

第十一章 无穷级数

11.1常数项级数的概念和性质

1. 若通项0n

a →

，则级数

2121

1

211

11()2n n n n n n n

n a n

∞

=∞

=∞

==≤

+∑收敛，这种说法是否正确？否

2. 若级数

1

n

n a

∞

=∑加括号后所成的新级数发散，则原级数必定发散，而加括号后所的级数收敛，则无

法判定原级数的敛散性，这种说法是否正确？正确

11.2常数项级数的审敛法 1. 若级数

1n

n u

∞

=∑收敛，则级数

21

n

n u

∞

=∑一定收敛。判断这句话是否正确？

不正确，如1

n

n ∞

=2

1

n

u n

=

2. 若正项级数

1

n n a ∞

=∑

收敛，判断级数1

n ∞

=的敛散性。

收敛

211()2n a n ≤+，由于1n n a ∞=∑收敛，211

n n

∞=∑

收敛，于是

1

n ∞

=收敛。

3. 收敛则一定绝对收敛，绝对收敛不一定收敛。

1、行列式

1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；

2. 代数余子式的性质：

①、ij A 和ij a 的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-

4. 设n 行列式D ：

将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2

1(1)

n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2

2(1)n n D D -=-；

将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；

将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2

(1)

n n -? -；

③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2

(1)n n -? -；

⑤、拉普拉斯展开式：

A O A C A

B C

B O B

==、

(1)m n C

A O

A A

B B O

B C

==-

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n

n

k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；

7. 证明0A =的方法：

①、A A =-； ②、反证法；

③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.

A 是n 阶可逆矩阵：

?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =只有零解；

?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价；

?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；

?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵；

?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；

2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；

3.

1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***

111()()()T T T

AB B A AB B A AB B A ---===

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：

若12

s A A A A ?? ?

?= ? ??

?

，则： Ⅰ、12

s A A A A =；

Ⅱ、1111

2

1s A A A A ----?? ?

?= ? ? ??

?

； ②、1

11A O A O O B O B ---??

??

=

? ?????

；（主对角分块） ③、1

11

O A O B B O A O ---??

??= ? ?????

；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B O

B -----??

-??=

? ?????

；（拉普拉斯） ⑤、1111

1A O A O C B B CA B -----??

??= ? ?-????

；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：

r

m n

E O

F O

O ???

= ???； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、若(,)(,)r

A E E X ，则A 可逆，且1X A -=；

②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)c

A B E A B - ~ ； ③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)r

A b E x ，则A 可逆，且1x A b -=；

4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

②、12

n ??

?

?Λ= ? ??

?

λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，i

λ乘A 的各列元

素；

③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1

111111-???? ? ?

= ? ? ? ?????

；

④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11

(())(())E i k E i k

-=，例如：

11

11(0)11k k k -????

?

? ?=≠ ? ? ? ???

?

?

； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：

1

11

11(0)11k k k --???? ? ?=≠ ? ? ? ?????

； 5. 矩阵秩的基本性质：

①、0()min(,)m n r A m n ?≤≤；

②、()()T r A r A =； ③、若A

B ，则()()r A r B =；

④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）

⑧、如果A 是m n ?矩阵，B 是n s ?矩阵，且0AB =，则：（※）

Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；

Ⅱ、()()r A r B n +≤

⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；

6. 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

②、型如101001a c b ??

?

? ???

的矩阵：利用二项展开式；

二

项展开

式

：

0111

1110

()n n

n

n m n m

m

n n n n

m m n m

n

n

n

n

n

n m a b C a C a b C a

b C a b

C b C a b -----=+=++

++

++=∑； 注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；

Ⅱ、0(1)(1)!

1123!()!

--+=

=

==-m n

n n n n n n m n C C C m m n m

Ⅲ、组合的性质：1

1

110

2---+-===+==∑n

m n m

m m m r

n

r r n n n n n

n

n n r C C C C C C

rC nC ；

③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：

①、伴随矩阵的秩：*

()()1

()10()1

n

r A n r A r A n r A n = ??

==-??<-?

； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)A

A

AX X A A A A X X λλ

λ

- == ? =

；

③、*1A A A -=、1

*n A A

-=

8. 关于A 矩阵秩的描述：

①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）

②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；

9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ?矩阵，则：

①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；

②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：

①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；

11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：

①、1111221121122222

1122n n n n m m nm n n

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++= ??+++= ????+++=?；

②、111211121

22

22212

n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ?????? ??? ? ??? ?

=?= ??? ?

??? ???????

（向量方程，A 为m n ?矩阵，m 个方程，n 个未知数）

③、()1212

n n x x a a a x β?? ? ?= ? ???（全部按列分块，其中12n b b b β?? ? ?= ? ???

）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）

⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1.

m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,

,m ααα构成n m ?矩阵12(,,,)m A =ααα；

m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,

,T T

T

m βββ构成m n ?矩阵12T T T m B βββ??

? ?= ? ? ???

；

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ?=有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出 Ax b ?=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ?=是否有解；（矩阵方程）

3. 矩阵m n A ?与l n B ?行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；

(101P 例14) 4. ()()T r A A r A =；(101P 例15) 5.

n 维向量线性相关的几何意义：

①、α线性相关

?0α=； ②、,αβ线性相关 ?,αβ坐标成比例或共线（平行）；

③、,,αβγ线性相关 ?,,αβγ共面；

6. 线性相关与无关的两套定理：

若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；

若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为

对偶）

若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：

若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二

版74P 定理7)；

向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示

AX B ?=有解；

()(,)r A r A B ?=（85P 定理2）

向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ? ==（85P 定理2推论）

8. 方阵A 可逆?存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12

l A P P P =；

①、矩阵行等价：~r

A B PA B ?=（左乘，P 可逆）0Ax ?=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价：~c

A B AQ B ?=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ?=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m n A ?与l n B ?：

①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；

②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m s s n m n A B C ???=，则：

①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；

②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）

11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证

明；

①、0ABx = 只有零解0Bx ? =只有零解；

②、0Bx = 有非零解0ABx ? =一定存在非零解； 12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ?可由向量组12:,,,n s s A a a a ?线性表示为：（110P 题19结论）

1212(,,

,)(,,

,)r s b b b a a a K =（B AK =）

其中K 为s r ?，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ?=；（B 与K 的列向量组具

有相同线性相关性）

（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）

注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；

13. ①、对矩阵m n A ?，存在n m Q ?，m AQ E = ()r A m ?=、Q 的列向量线性无关；（87P ） ②、对矩阵m n A ?，存在n m P ?，n PA E = ()r A n ?=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα线性相关

?存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）

?1212(,,

,)0s s x x

x ααα?? ? ?= ? ???

有非零解，即0Ax =有非零解；

?12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15. 设m n ?的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：

()r S n r =-； 16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线

性无关；（111P 题33结论）

5、相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵T A A E ?=或1T A A -=（定义），性质：

①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,

)0

T i j i j a a i j n i j

=?==?

≠?；

②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a

11b a =；

1222111[,]

[,]

b a b a b b b =-

121121112211[,][,]

[,]

[,][,]

[,]

r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=-

---

;

3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ?A 经过初等变换得到B ；

?=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()?=r A r B ，A 、B 同型；

②、A 与B 合同 ?=T C AC B ，其中可逆； ?T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-?=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；

若C 为正交矩阵，则T C AC B =?A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；

6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵；

7. n 元二次型T x Ax 为正定：

A ?的正惯性指数为n ；

A ?与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ?的所有特征值均为正数； A ?的各阶顺序主子式均大于0； 0,0ii a A ?>>；(必要条件)