北京市清华大学附属中学数学整式的乘法与因式分解单元测试卷(含答案解析)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）

1．因式分解是多项式理论的中心内容之一，是代数中一种重要的恒等变形，它是学习数学和科学技术不可缺少的基础知识．在初中阶段，它是分式中研究约分、通分、分式的化简和计算的基础；利用因式分解的知识，有时可使某些数值计算简便．因式分解的方法很多，请根据提示完成下面的因式分解并利用这个因式分解解决提出的问题．

（1）填空： ①()24

2221144x x x x ??+=++-=????（ ）22x -=（ ）（ ） ②()()242116=644??+++-????

=（ ）（ ）=（ ）? （ ） （2）解决问题，计算：4444116844115744????++ ???????????++ ????

??? 【答案】（1）①212x +，221122x x x x ????++-+ ? ??

???，，②26，26，2211666622????+++- ? ?????

，，42.530.5，；（2）14541 【解析】

【分析】

（1）根据完全平方公式和平方差公式计算可得；

（2）利用前面所得规律变形即可．

【详解】

（1）()242221144x x x x ??+=++-???? 22212x x ??=+- ??

? 221122x x x x ????=++-+ ????

??? ()2422211666624??+=++-???? 2211666622????=+++- ???????

42.530.5=? 故答案为：①212x +，221122x x x x ????++-+ ? ??

???，，②26，26，

2211666622????+++- ? ?????

，，42.530.5，； （2）4444116844115744????++ ???????=????++ ????

??? 2222222211116666888822221111555577772222????????++-+++-+ ???????????????????????++-+++-+ ????????

??????? 42.530.372.556.530.520.556.542.5???=

??? 14541

= 【点睛】

本题考查了因式分解的应用；熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．

2．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．

在初中数学课本中重点介绍了提公因式法和运用公式法两种因式

分解的方法，其中运用公式法即运用平方差公式：22

()()a b a b a b -=+-和完全平方公式：222)2(a ab b a b ±+=±进行分解因式，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．当一个二次三项式不能直接能运用完全平方公式分解因式时，可应用下

面方法分解因式，先将多项式2ax bx c ++(0)a ≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法．再运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．

例如：21124x x ++

2221111112422x x ????=++-+ ? ????? 2

112524x ??=+- ??

? 1151152222x x ????=+++- ????

??? (8)(3)x x =++．

根据以上材料，完成相应的任务：

（1）利用“多项式的配方法”将268x x -+化成2()a x m n ++的形式为_______；

（2）请你利用上述方法因式分解：

①223x x +-； ②24127x x +-．

【答案】（1）2(3)1x --；（2）①(3)(1)x x +-；②(27)(21)x x +-

【解析】

【分析】

（1）将多项式2233+-即可完成配方；

（2）①将多项式+1-1后即可用配方法再根据平方差公式分解因式进行解答；

②将多项式2233+-即可完成配方，再根据平方差公式分解因式，整理后即可得到结果.

【详解】

解：（1）268x x -+=2226338x x -+-+=2(3)1x --，

故答案为：2(3)1x --；

（2）①223x x +-

22113x x =++--

2(1)4x =+-

(12)(12)x x =+++-

(3)(1)x x =+-．

②24127x x +-

222(2)12337x x =++--

2(23)16x =+-

(234)(234)x x =+++-

(27)(21)x x =+-．

【点睛】

此题考查多项式的配方法，多项式的分解因式，正确理解题中的配方法的解题方法是关键.

3．（阅读材料）

因式分解：()()221x y x y ++++．

解：将“x y +”看成整体，令x y A +=，则原式()22211A A A =++=+．

再将“A ”还原，原式()21x y =++．

上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.

（问题解决）

（1）因式分解：()()2154x y x y +-+-；

（2）因式分解：()()44a b a b ++-+；

（3）证明：若n 为正整数，则代数式()()()

21231n n n n ++++的值一定是某个整数的平方．

【答案】（1）()()144x y x y +-+-1．（2）()2

2a b +-；（3）见解析. 【解析】

【分析】

（1）把（x-y ）看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可；

（2）把a+b 看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解；

（3）将原式转化为()()

223231n n n n ++++，进一步整理为（n 2+3n+1）2，根据n 为正整数得到n 2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．

【详解】

（1）()()[][]21541()14()(1)(144)x y x y x y x y x y x y +-+-=+-+-=+-+-； （2）()()2244()4()4(2)a b a b a b a b a b ++-+=+-++=+-； （3）原式()()

223231n n n n =++++

()()2223231n n n n =++++ ()2

231n n =++． ∵n 为正整数，

∴231n n ++为正整数．

∴代数()()()

21231n n n n ++++的值一定是某个整数的平方． 【点睛】

本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．

4．（1）填空：()()a b a b -+= ；

22()()a b a ab b -++= ；

3223()()a b a a b ab b -+++= ．

（2）猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= （其中n 为正整数，且

2n ≥）．

（3）利用（2）猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+．

【答案】（1）22a b -，33a b -，44a b -；（2）n n a b -；（3）342．

【解析】

试题分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；

（2）根据（1）的规律可得结果；

（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．

试题解析：（1）()()a b a b -+=22a b -；

3223()()a b a a b ab b -+++=33a b -；

3223()()a b a a b ab b -+++=44a b -；

故答案为22a b -，33a b -，44a b -；

（2）由（1）的规律可得：原式=n n a b -，故答案为n n a b -；

（3）令98732222...222S =-+-+-+，

∴987321222...2221S -=-+-+-+-

=98732[2(1)](222...2221)3---+-+-+-÷=10(21)3(10241)3341-÷=-÷=，∴S=342．

考点：1．平方差公式；2．规律型．

5．请你观察下列式子：

2(1)(1)1x x x -+=-

()()23111x x x x -++=-

()()324111x x x x x -+++=-

()()4325111x x x x x x -++++=-

……

根据上面的规律，解答下列问题：

（1）当3x =时，

计算201720162015(31)(333-+++…323331)++++=_________；

（2）设201720162015222a =+++…322221++++，则a 的个位数字为 ；

（3）求式子201720162015555+++…32555+++的和．

【答案】（1）20183

1-；（2）3；（3）2018554

- 【解析】

【分析】

（1）根据已知的等式发现规律即可求解；

（2）先根据x=2,求出a=20182-1，再发现2的幂个位数字的规律，即可求出a 的个位数字；

（3）利用已知的等式运算规律构造（5-1）×（2016201520142555...551++++++）即可求解.

【详解】

（1）∵2(1)(1)1x x x -+=- ()()23111x x x x -++=-

()()324111x x x x x -+++=-

()()4325111x x x x x x -++++=-

……

∴()()1122.1..11n n n n x x x x x x x --+-+++++=-+

故x=3时，201720162015(31)(3

33-+++…323331)++++=201831-

故填：201831-； （2）201720162015222a =+++…322221++++

=（2-1）201720162015(222+++…322221)++++=201821-

∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64

∴2n 的个位数按2,4,8,6,依次循环排列，

∵2018÷4=504…2，

∴20182的个位数为4，

∴201821-的个位数为3，

故填：3；

（3）201720162015555+++…32555+++

=

1(51)54-??（201620152014555+++…2551+++） =

54×（5-1）（201620152014555+++…2551+++） =54

×（201751-） =2018554

- 【点睛】

此题主要考查等式的规律探索及应用，解题的关键是根据已知等式找到规律.

6．图①是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积： 方法1： 方法2：

（2）观察图②请你写出下列三个代数式：（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn 之间的等量关系． ；

（3）根据（2）题中的等量关系，解决：已知：a ﹣b=5，ab=﹣6，求：（a+b ）2的值；

【答案】（1）（m-n）2；（m+n）2-4mn；（2）（m-n）2=（m+n）2-4mn；（3）1.

【解析】

【分析】

（1）方法1：表示出阴影部分的边长，然后利用正方形的面积公式列式；

方法2：利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；

（2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答；

（3）根据（2）的结论整体代入进行计算即可得解．

【详解】

解：（1）方法1：∵阴影部分的四条边长都是m-n,是正方形，

∴阴影部分的面积=（m-n）2

方法2：∵阴影部分的面积=大正方形的面积减去四周四个矩形的面积

∴阴影部分的面积=（m+n）2-4mn；

（2）根据（1）中两种计算阴影部分的面积方法可知（m-n）2=（m+n）2-4mn；

（3）由（2）可知（a+b）2=（a-b）2+4ab，

∵a-b=5，ab=-6，

∴（a+b）2=（a-b）2+4ab=52+4×（-6）=25-24=1.

【点睛】

本题考查几何图形与完全平方公式，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．

7．观察以下等式：

（x+1)(x2-x+1)=x3＋1

（x+3）（x2-3x+9）=x3+27

（x+6）（x2-6x+36）=x3+216

．．．．．．．．．．．．

(1)按以上等式的规律，填空：（a+b）（___________________）=a3+b3

(2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立.

(3)利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2-xy+y2）-（x-y）（x2+xy+y2）

【答案】（1）a2-ab+b2；（2）详见解析；（3）2y3．

【解析】

【分析】

（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）结合题目本身的特征，利用（1）中的公式直接运用即可．

【详解】

（1）（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；

（2）（a+b）（a2-ab+b2）

=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3

=a 3+b 3；

（3）（x+y ）（x 2-xy+y 2）-（x-y ）（x 2+xy+y 2）

=x 3+y 3-（x 3-y 3）

=2y 3．

【点睛】

本题考查了多项式乘以多项式，关键是掌握多项式乘法法则，注意观察所给例题，找出其中的规律是解决本题的基本思路．

8．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A 可以用来

解释2222()a ab b a b ++=+，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．

（1）图B 可以解释的代数恒等式是 ；

（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C ），试画出．．

一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2223a ab b ++，并利用你所画的图形面积对

2223a ab b ++进行因式分解．

【答案】（1）2222()a ab a a b +=+；（2）()()22

232a ab b a b a b ++=++ 【解析】

试题分析：（1）根据图所示，可以得到长方形长为2a ，宽为a+b ，面积为：2a （a+b ），或四个小长方形和正方形面积之和；

（2）①根据题意，可以画出相应的图形然后完成因式分解.

试题解析：（1）()2

222a ab a a b +=+ （2）①根据题意，可以画出相应的图形，如图所示

②因式分解为：()()22

232a ab b a b a b ++=++

9．阅读下列材料：

1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．

他认为：对于一个高于二次的关于x 的多项式，“x a =是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（x a -）与另一个整式的乘积”可互相推导成立． 例如：分解因式3223x x +-．

∵1x =是32230x x +-=的一个解，∴3223x x +-可以分解为()1x -与另一个整式的乘积．

设()()

322231x x x ax bx c +-=-++ 而()()

()()2321x ax bx c ax b a x c b x c -++=+-+--，则有 1203a b a c b c =??-=??-=??-=-?，得133a b c =??=??=?，从而()()

32223133x x x x x +-=-++ 运用材料提供的方法，解答以下问题：

（1）①运用上述方法分解因式323x x ++时，猜想出3230x x ++=的一个解为_______（只填写一个即可），则323x x ++可以分解为_______与另一个整式的乘积；

②分解因式323x x ++；

（2）若1x -与2x +都是多项式32x mx nx p +++的因式，求m n -的值．

【答案】（1）①：x=-1；（x+1）；②3223=(1)(3)x x x x x +++-+；（2）3

【解析】

【分析】

（1）①计算当x=-1时，方程成立，则323x x ++必有一个因式为（x+1）,即可作答； ②根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据多项式乘多项式的计算即可求得结论；

（2））设32=(1)(2)x mx mx p x x M +++-+（其中M 为二次整式），由材料可知，

x=1，x=-2是方程320x mx nx p +++=的解，然后列方程组求解即可．

【详解】

解：（1）①323x x ++，观察知，显然x=-1时，原式=0，则3230x x ++=的一个解为x=-1；原式可分解为（x+1）与另一个整式的积．

故答案为：x=-1；（x+1）

②设另一个因式为（x 2+ax+b ），

（x+1）（x 2+ax+b ）=x 3+ax 2+bx+x 2+ax+b

=x 3+（a+1）x 2+（a+b ）x+b

∴a+1=0 ，a=-1， b=3

∴多项式的另一因式为x 2-x+3．

∴32

23=(1)(3)x x x x x +++-+．

（2）设32=(1)(2)x mx nx p x x M +++-+（其中M 为二次整式），

由材料可知，x=1，x=-2是方程320x mx nx p +++=的解，

∴可得108420m n p m n p +++=??-+-+=?

①②， ∴②-①，得m-n=3

∴m n -的值为3．

【点睛】

本题考查了分解因式，正确理解题意，利用待定系数法和多项式乘多项式的计算法则求解是解题的关键．

10．阅读材料后解决问题：

小明遇到下面一个问题：

计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．

经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）

=（2+1）（2﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）

=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）

=（24﹣1）（24+1）（28+1）

=（28﹣1）（28+1）

=216﹣1

请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：

（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=_____．

（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=_____．

（3）化简：（m +n ）（m 2+n 2）（m 4+n 4）（m 8+n 8）（m 16+n 16）．

【答案】232﹣1 32312

-； 【解析】

【分析】

（1）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；

（2）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；

（3）分m=n 与m≠n 两种情况，化简得到结果即可．

【详解】

（1）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=232-1；

（2）原式=12（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=32312

-； （3）（m+n ）（m 2+n 2）（m 4+n 4）（m 8+n 8）（m 16+n 16）．

当m≠n 时，原式=1m n

-（m-

n）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）=

3232

m n

m n

-

-

；

当m=n时，原式=2m?2m2…2m16=32m31．

【点睛】

此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．