声波方程隐式高阶有限差分数值模拟

第44卷第2期煤田地质与勘探

Vol. 44 No.2

2016年4月 COAL GEOLOGY & EXPLORA TION Apr . 2016

收稿日期: 2014-11-06

作者简介: 智敏(1984—)，男，江苏盐城人，助理研究员，从事地震资料处理方法研究. E-mail: zhimin@https://www.360docs.net/doc/9518430930.html, 引用格式: 智敏. 声波方程隐式高阶有限差分数值模拟[J]. 煤田地质与勘探，2016，44(2)：106–111.

ZHI Min. High-order implicit finite difference numerical simulation of acoustic wave equation[J]. Coal Geology & Exploration ，2016，44(2)：106–111.

文章编号: 1001-1986(2016)02-0106-06

声波方程隐式高阶有限差分数值模拟

智敏

(中煤科工集团西安研究院有限公司，陕西西安 710077)

摘要: 推导了声波方程空间二阶导数的隐式求解公式及差分系数的求解方法，讨论了该方法的数值频散特征。利用该方法分别对均匀介质及Marmousi 模型进行了数值模拟，将其结果与传统的显式差分格式的模拟结果进行了对比分析。结果表明：该方法较传统的显式求解方法具有更低的数值频散、更高的计算精度。

关键词：声波方程；数值模拟；隐式差分；数值频散

中图分类号：P631 文献标识码：A DOI: 10.3969/j.issn.1001-1986.2016.02.019

High-order implicit finite difference numerical simulation of acoustic wave equation

ZHI Min

(Xi'an Research Institute , China Coal Technology and Engineering Group Corp , Xi'an , 710077, China )

Abstract: The paper derived implicit solution method for solving differential equations and coefficient of acoustic space of the second derivative of the equation, discussed numerical frequency dispersion characteristics of this method. Using this method, Marmousi model and homogeneous medium were simulated numerically. The results were analyzed and compared with the result obtained by traditional explicit difference scheme. The result showed that this method was lower in numerical dispersion and more accurate in calculation.

Key words: acoustic wave equation; numerical simulation; implicit difference; numerical frequency dispersion

声波方程数值模拟已广泛应用于地震正演、逆时偏移、全波形反演等各个方面，如何进一步提高数值模拟精度、减小频散和计算量一直是有限差分算法研究的核心问题[1-2]。目前，相关文献给出的空间二阶导数计算大多采用显式差分格式，这种方法通常具有较强的频散现象[3-4]。而为了有效地降低数值频散，通常采用减小网格尺寸、提高差分阶数的方法，这种办法虽然提高了数值模拟的精度，但也大幅增加了计算量和内存空间[5]。Boris 和Book 将求解流体力学方程的通量校正传输方法(FCT)应用到波动方程数值模拟中，该方法通过差分运算降低高波数端能量压制了频散噪声，但不利于提高模拟结果的分辨率[3-7]。

采用隐式差分格式求解波场的空间二阶导数较显式法具有更高的精度。前人研究表明：隐式差分格式的(2N +2)阶差分算子的精度与显式差分算子(4N +2)阶的计算精度相当[8]

。因此，笔者研究了空间二阶导数的隐式求解方法，理论分析及模拟结果均表明：该方法较显式求解方法具有更小的空间频散及更高的模拟精度。

1 方法原理

1.1 基本方程

二维声波方程如式(1)所示：

2222

1p p p x y v t ???+=??? (1)

式中 p 为地震波场；v 为纵波速度。如果只考虑x 方向，根据波场传播理论可有：()()i e k x p x x p x ?+?=，因此根据欧拉公式可推出下式：

()()()()

()

2224sin /2p x p x x p x x p x k x p x x x x δδ+?+-?--?=

?? (2)

式中

22()

p x x δδ为差分算子；k 为波数；x ?为空间采样间隔。

为了提高差分精度，可以取：

224

2224

x p

p p q b x x x x δδδδ?=≈-?? (3) 式中 b 为一待定常数。由于

1,11x x x

≈-<<+，所以