2019年山东济宁中考数学试题(解析版)

{来源}2019年山东省济宁市中考数学

{适用范围：3．九年级}

{标题}济宁市二〇一九年初中学业水平考试

数学

考试时间：120分钟满分：100分

{题型：1－选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．

{题目}1.(2019山东济宁1)下列四个实数中，最小的是（）

A．－2B．－5 C．1 D．4

{答案}B

{解析}根据有理数的大小比较法则可知：－5＜－2＜1＜4，因此本题选B.

{分值}3

{章节:[1-6-3]实数}

{考点:实数的大小比较}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}2.(2019山东济宁2)如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125 °，则∠4的度数是（）

A．65°B．60°C．55 °D．75°

{答案}C

{解析}如图，

∵∠1＝∠2,

∴a∥b,

∴∠3＝∠5＝125°,

∴∠4＝180°－∠5＝180°－125°＝55°.

因此本题选B.

{分值}3

{章节:[1-5-3]平行线的性质} {考点:同位角相等两直线平行} {考点:两直线平行同位角相等} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}3.( 2019山东济宁3)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． {答案}A

{解析}本题考查了轴对称和中心对称图形的识别，A ．既是轴对称图形，又是中心对称图形；B ．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C ．轴对称图形；D ．中心对称图形，因此本题选A ． {分值}3

{章节:[1-23-2-2]中心对称图形} {考点:轴对称图形} {考点:中心对称} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}4.( 2019山东济宁4)以下调查中，适宜全面调查的是（ ）

A ．调查某批次汽车的抗撞击能力

B ．调查某班学生的身高情况

C ．调查春节联欢晚会的收视率

D ．调查济宁市居民日平均用水量 {答案}B

{解析}选项A 、C 、D 中，调查的对象的数量多，分布广，不适合全面调查；选项B 中，由于调查某班学生的身高情况，每一个学生的身高都要测量，要采用全面调查方式．因此本题选B ． {分值}3

{章节:[1-10-1]统计调查} {考点:全面调查} {考点:抽样调查} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}5.( 2019山东济宁5)下列计算正确的是（ ）

A 2

(3)3-=- B 33

55-=

C 366=±

D ．0.360.6-=-

{答案}D

{解析2

(3)3-=，A 33

55-≠

，B 366=，C 不对；0.360.6=-，

因此本题选D ． {分值}3

{章节:[1-6-2]立方根} {考点:算术平方根} {考点:平方根的性质} {考点:立方根的性质} {类别:易错题} {难度:2-简单}

{题目}6.( 2019山东济宁6)世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G 幕站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络．5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是（ ） A ．

5005004510x x -=

B ．5005004510x x -=

C ．500050045x x -=

D ．5005000

45x x

-= {答案}A

{解析}由题意知，设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，则5G 网络的峰值速率为每

秒传输10x 兆数据，4G 传输500兆数据用的时间是500

x

秒，5G 传输500兆数据用的时间是50010x 秒，5G 网络比4G 网络快45秒，所以可列方程是5005004510x x

-=，因此本题选A ． {分值}3

{章节:[1-15-3]分式方程} {考点:其他分式方程的应用} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}7.( 2019山东济宁7)如图，一个几何体上半部为正四校锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色， 该几何体的表面展开图是（ ）

A B C D

{答案}B

{解析}选项A 和C 带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；选项B 能折叠成原几何体的形式；选项D 折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同，因此本题选B ． {分值}3

{章节:[1-4-1-1]立体图形与平面图形} {考点:几何体的展开图} {类别:易错题} {难度:2-简单}

{题目}8.( 2019山东济宁8)将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）

第7题图

A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2 {答案}D

{解析}y＝x2－6x＋5＝(x－3) 2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得y＝(x－3－1) 2－4＋2，即y＝(x－4)2－2，因此本题选D．

{分值}3

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}

{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}

{考点:二次函数图象的平移}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}9.( 2019山东济宁9)如图，点A的坐标是(－2，0)，点B的坐标是(0，6)，C为OB的

中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A'BC'．若反比例函数y＝k

x

的图象恰好

经过A'B的中点D，则k的值是（）

A．9 B．12 C．15 D．18

{答案}C

{解析}取AB的中点（－1，3），旋转后D（3，5）.把D（3，5）代入y＝k

x

，得k＝3×5＝

15，因此本题选C．

{分值}3

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:旋转的性质}

{考点:反比例函数的解析式}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}10.( 2019山东济宁10)已知有理数a≠1，我们把

1

1a

-

称为a的差倒数，如：2的差倒

数是

1

12

-

＝?1，－1的差倒数是

11

1(1)2

=

--

．如果a1＝－2，a2是a1的差倒数，a3是

a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，那么a1＋a2＋…＋a100的值是（）A．－7.5 B．7.5 C．5.5 D．－5.5

{答案}A

{解析}由题意知：a2＝

1

1(2)

--

＝

1

3

；a3＝

1

1

1

3

-

＝

3

2

，a4＝

1

3

1

2

-

＝－2；a5＝

1

1(2)

--

＝

1 3……可知经过3次开始循环，所以a1＋a2＋…＋a100＝－2＋

1

3

＋

3

2

－2＋

1

3

＋

3

2

＋ (2)

1

332

6

-?-＝－7.5，因此本题选A．

{分值}3

{章节:[1-1-4-2]有理数的除法}

{考点:倒数}

{考点:新定义}

{考点:代数选择压轴}

{类别:新定义}

{难度:4-较高难度}

{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．

{题目}11.(2019山东济宁11)已知x＝1是方程x2＋bx－2＝0的一个根，则方程的另一个根是．

{答案}－2

{解析}方法1：把x＝1代入得1＋b－2＝0，解得b＝1，所以方程是x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2．

方法2：设方程另一个根为x1，由根与系数的关系知1×x1＝－2．∴x1＝－2．

因此本题填－2．

{分值}3

{章节:[1-21-1]一元二次方程}

{考点:一元二次方程的解}

{考点:根与系数关系}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}12.(2019山东济宁12)如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是．

{答案}140°

{解析}法1：设正九边形的每个内角为x°，根据多边形内角和公式：(9－2)·180＝9x，解得x＝140．法2：根据多边形的外角和为360°，可知它每个外角为40°，所以内角是140°．因此本题填140°．

{分值}3

{章节:[1-11-3]多边形及其内角和}

{考点:多边形的内角和} {考点:多边形的外角和} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}13.( 2019山东济宁13)已知点P (x ，y )位于第四象限，并且x ≤y ＋4(x ，y 为整数) ，写出一个符合上述条件的点P 的坐标 ． {答案}答案不唯一，如（1，－1）

{解析}根据第四象限内坐标的特点，结合题目条件知x ≤3，只要符合条件即可． 因此本题填答案不唯一，如（1，－1）． {分值}3

{章节:[1-7-2]平面直角坐标系} {考点:点的坐标} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}14.( 2019山东济宁14)如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC

，AC ＝3．则图中阴影部分的面积是 ．

A

C

{答案 {解析}在Rt △

ABC 中，∵tan BC A AC =

=，∴∠A ＝30°． ∵AB 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB ．

∴∠AOD =60°.

设⊙O 的半径为r ，在Rt △ADO 中，tan 3OD r

A OA r

=

=

-，解得r . ∴阴影的面积是S ＝

60

360×π×()2＝6－334π，因此本题填6－334π．

{分值}3

{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}

{考点:切线的性质} {考点:扇形的面积}

{考点:特殊角的三角函数值} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}

{题目}15.(2019山东济宁15)如图，抛物线y ＝ax 2＋c 与直线y ＝mx ＋n 交于A (－1，p )，B (3，q )两点，则不等式ax 2＋mx ＋c ＞n 的解集是 ．

{答案}x ＜－3或x ＞1

{解析}把不等式ax 2＋mx ＋c ＞n 转化为ax 2＋c ＞－mx ＋n ，由所给的图象可知，x ＜－3或x

＞1时，ax 2＋c ＞－mx ＋n ．因此本题填x ＜－3或x ＞1. {分值}3

{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {考点:抛物线与不等式（组）} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}

{题型:3-解答题}三、解答题（本大题共7小题，共

55分）

{题目}16.(

2019山东济宁16)计算：0

16sin 6020182??

?- ???.

{解析

}本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式、零指数幂的运算以及绝对值的性质，先

化简，再按照实数的运算法则计算. {答案}

解：原式＝61

20182

?

-+

＝12018+ ＝2019 {分值}6

{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:实数与绝对值、相反数} {考点:零次幂}

{考点:二次根式的乘法法则}

{考点:特殊角的三角函数值}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}17.(2019山东济宁)某校为了了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：

女生阅读时间人数统计表男生阅读时间频数直方图

阅读时间

t（小时）

人数

占女生人数

百分比

0≤t＜0.5 4 20％

0.5≤t＜1 m15％

1≤t＜1.5 5 25％

1.5≤t＜2 6 n

2≤t＜2.5 2 10％

根据图表解答下列问题：

（1）在女生阅读时间人数统计表中，m＝__________，n＝__________；

（2）此次抽样调查中，共抽取了__________名学生，学生阅读时间的中位数在__________时间段；

（3）从阅读时间在2～2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？

{解析}本题考查统计表、频数分布直方图、中位数以及概率.(1)根据人数4所占的百分比是20%，可求得女生总人数为4÷20%=20人，所以m=20×15%=3，n=6÷20=30%；(2)由频数直方图可知男生有6+5+12+4+3=30人，所以共抽取了20+30=50名学生，根据中位数的意义，可确定学生阅读时间的中位数在1≤t＜1.5时间段；（3）利用树状图法可求解.

{答案}解：（1）3，30％；

（2）50，1≤t＜1.5

（3）画树状图如下：

由图可知共有20种等可能结果，其中“一男一女”的有12种结果

∴男女生各一名的概率P＝

123

205

.

{分值}7

{章节:[1-25-2]用列举法求概率}

{考点:统计表}

{考点:频数（率）分布直方图}

{考点:中位数}

{考点:两步事件放回}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}18.( 2019山东济宁)如图，点M和点N在∠AOB内部．

6

5

12

4 3

阅读时间/小时

（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）请说明作图理由．

{解析}本题考查了角平分线与线段的垂直平分线的尺规作图以及它们的性质.（1）作出∠AOB的角平分线和线段MN的垂直平分线，它们的交点即为点P；（2）根据角平分线与线段的垂直平分线的性质说明理由.

{答案}解：(1) 如图，点P即为所求.

（2）作图的理由：角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

{分值}7

{章节:[1-13-1-2]垂直平分线}

{考点:垂直平分线的性质}

{考点:与垂直平分线有关的作图}

{考点:与角平分线有关的作图问题}

{考点:角平分线的性质}

{类别:北京作图}

{难度:3-中等难度}

{题目}19.( 2019山东济宁19)小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y （km ）与小王的行驶时间x （h ）之间的函数关系．请你根据图像进行探究：

（1）小王和小李的速度分别是多少？

（2）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

{解析}本题考查了一次函数图象的应用，由图可知，出发时两车相距30km ，一个小时后两车相遇，之后在小李到达甲地前，两车的距离变大，速度和不变，小李到达甲地后，只有小王运动，此时的相对速度为小李本人的速度，即小王用了3小时到达了乙地． {答案}解：（1）从线段AB 可以看出：两人从相距30千米的两地相遇用了一个小时时间，则V 小王＋V 小李＝30千米/时，小王用了3个小时走完了30千米的全程， ∴V 小王的速度＝10千米/时， V 小李＝20千米/时.

（2）C 点的意义是小李骑车从乙地到甲地用了30÷20＝1.5小时，此时小王和小李的距离是（1.5－1）×30＝15，∴C 点坐标是（1.5，15）．

设BC 解析式为y ＝kx ＋b ，则将点B (1,0),C (1.5,15)分别代入y ＝kx ＋b ，得

???=+=+.155.1,0b k b k 解得??

?-==.

30,

30b k ∴BC 解析式为y ＝30x －30．（1≤x ≤1.5） {分值}8

{章节:[1-19-2-2]一次函数} {考点:一次函数的图象}

{考点:待定系数法求一次函数的解析式} {考点:一次函数与二元一次方程组} {考点:分段函数的应用} {考点:一次函数与行程问题} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}20.( 2019山东济宁)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是⌒

AC 的中点，E 为OD 延长线上一点，∠CAE ＝2∠C ，AC 与BD 交于点H ，与OE 交于点F ．

（1）求证：AE 是⊙O 的切线；

（2）若DH ＝9，tan C ＝

3

4

，求直径AB 的长．

{解析}本题考查了圆周角的性质、切线的判定、三角函数以及勾股定理.（1）连接AD，根据圆周角的性质可证得∠EAO＝90°，问题得证；（2）通过三角函数求得AD，BD的长，再用用勾股定理求出直径AB的长.

{答案}（1）证明：连接AD，

∵D是⌒

AC 的中点，

∴⌒

AD =⌒

DC ，

∴∠DAC＝∠C.

∵∠CAE＝∠EAD＋∠DAC，∠CAE＝2∠C，

∴∠EAD＝∠C.

∵∠C＝∠B，

∴∠B＝∠EAD.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠DAB＋∠B＝90°，

∴∠EAD＋∠DAB＝90°，

∴∠EAO＝90°，

即OA⊥AE，

∴AE是⊙O的切线.

（2）解：在△ADH中，∠ADH＝90°，DH＝9，

∵∠DAH＝∠C，tan C＝3

4

，

∴tan∠DAH＝

3

4 DH

AD

，

∴

93

4

BD =，∴AD ＝12. 在△BAD 中，∠ADB ＝90°，AD ＝12， ∴tan ∠B ＝ tan ∠C ＝34

， ∴tan ∠B ＝3

4

AD BD =， ∴BD ＝16.

∵∠ADB ＝90°，∴AB

20==．

{分值}8

{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:圆周角定理}

{考点:直径所对的圆周角} {考点:切线的判定} {考点:正弦}

{考点:三角函数的关系} {考点:勾股定理} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}

{题目}21.( 2019山东济宁21)阅读下面材料：

如果函数y ＝f (x )满足：对于自变量x 的取值范围内的任意x 1，x 2， （1）若x 1＜x 2，都有f (x 1) ＜ f (x 2)，则称f (x )是增函数； （2）若x 1＜x 2，都有f (x 1) ＞ f (x 2)，则称f (x )是减函数． 例题：证明函数f (x )＝

6

x

(x ＞0)是减函数． 证明：设0＜x 1＜x 2，f (x 1) － f (x 2)＝1266x x -＝()21211212

666.x x x x x x x x --= ∵0＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0． ∴

()

2112

6x x x x -＞0，

即f (x 1) — f (x 2)＞0， ∴f (x 1) ＞ f (x 2)， ∴函数f (x )＝

6

x

(x ＞0)是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题：

已知函数()21f x x x

=+（x ＜0），()()()()()()22

117110,22412f f -=+-=-=+-=--- （1）计算：f (－3)＝________， f (－4)＝________； （2）猜想：函数()21

f x x x

=

+（x ＜0）是________函数（填“增”或“减”）；

（3）请仿照例题证明你的猜想． {解析}本题考查了函数的增减性，解题的关键是模仿例题进行求解.（1）模仿例题代入计算；（2）根据分式的加减法法则将分式通分、因式分解，根据x 1、x 2的取值范围，判断出结果的正负性，从而得到函数的增减性． {答案}解：（1）()()

()()()

()2

2

1

26163

33,4491634f f -=

+-=-

-=+-=--- . （2）增.

（3）证明：设x 1＜x 2＜0，

f (x 1) － f (x 2)＝2221121212222222

1212

121111

x x x x x x x x x x x x x x ????-+-+=-+-=+- ? ????? ()()()

()()212121212122

22

12121x x x x x x x x x x x x x x +--+-=-

-=

．

∵x 1＜x 2＜0，∴x 2—x 1＞0，x 12x 22＞0，x 2＋x 1－1＜0， ∴

()()

212122

12

1x x x x x x

-+-＜0，

即f (x 1)－f (x 2)＜0， ∴f (x 1) ＜ f (x 2)， ∴函数()2

1

f x x x =+是增函数． {分值}8

{章节:[1-19-1-1]变量与函数} {考点:因式分解－提公因式法} {考点:两个分式的加减} {考点:函数的概念} {类别:高度原创} {难度:4-较高难度}

{题目}22.( 2019山东济宁)如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝10，E 是CD 边上一点，连接AE ，将矩形ABCD 沿AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点F 处，延长AE 交BC 的延长线于点G ．

（1）求线段CE 的长；

（2）如图2，M ，N 分别是线段AG ,DG 上的动点（与端点不重合），且∠DMN ＝∠DAM ，设AM ＝x ，DN ＝y ．

①写出y 关于x 的函数解析式，并求出y 的最小值；

②是否存在这样的点M ，使△DMN 是等腰三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．

{解析}本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、菱形的判定、三角形相似、二次函数的最值、等腰三角形的性质与判定以及分类讨论思想.（1）根据矩性质、折叠的性质，用勾股定理可求得线段CE的长；（2）先四边形AFGE为菱形，根据菱形的性质以及三角形相似的判定，可得△ADM∽△GMN，利用相似的性质，可得y和x的函数关系式，通过公式法求出二次函数的最小值；（3）用相似三角形的性质和等腰三角形的性质，以及分类讨论思想可得到最后的结果．

{答案}（1）由折叠可得AF＝AD＝10,EF＝ED.

矩形ABCD中，∠B＝90°，∴AB2＋BF2＝AF2,

∴2222

=-=-=

BF AF AB

1086,

∴CF＝BC－BF＝AD－BF＝10－6＝4．

设CE＝x，则EF＝DE＝CD－CE＝AB－CE＝8－x，

∵EF2＝CE2＋CF2，

∴(8－x)2＝x2＋42，解得∴x＝3.

∴CE＝3.

（2）①∵矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAG＝∠AGF.

∵∠DAG＝∠F AG, ∠DAG＝∠AGF,

∴∠F AG＝∠AGF.

∴AF＝FG＝10.

∴BG＝BF＋FG＝6＋10＝16．

∵矩形ABCD中，∠B＝90°，

∴AB2＋BG2＝AG2,

∴2222

AG AB BG

=+=+=.

81685

∵AD＝FG，AD∥FG,

∴四边形AFGE是平行四边形，

∵AD＝AF，

∴平行四边形AFGE是菱形.

∴DG＝DA＝10.

∴∠DAG＝∠DGA.

∵∠DMG＝∠DMN＋∠NAG＝∠DAM＋∠ADM, ∠DMN＝∠DAM，

∴∠NMG＝∠ADM．

在△ADM和△MNG中，∠ADM＝∠NMG, ∠DAG＝∠DGA,

∴△ADM∽△GMN，

∴

AD AM

MG NG =

， ∴

10

85x

y x

=--， ∴21451010y x x =-+. ∵

1

10

＞0， ∴当455451210

x -

=-

=?时，y 有最小值为

2

1

454101021410

????-- ???=?．

∴y 关于x 的函数解析式是21451010y x x =

-+，当x =45时，y 有最小值为2． ②在△DMN 和△DMG 中，∠DMN ＝∠DGM ，∠MDG ＝∠MDG ,

∴△DMN 和△DMG 是相似三角形．

当△DMG 是等腰三角形时，△DMN 也是等腰三角形．

∵M 不与A 重合，∴DM ≠DG ,∴△DMG 是等腰三角形只有GM ＝GD 或DM ＝GM 两种情况：

（1）如图3，当△DMG 中GM ＝GD ＝10时，△DMN 也是等腰三角形，即x ＝AG －MG ＝

8510-;

（2）如图4，当△DMG 中DM ＝GM 时，△DMN 也是等腰三角形，∴∠MDG ＝∠DGM ，∴∠DAG ＝∠MDG ＝∠MDG , ∴△ADG ∽△DMG ， ∴

AD AG

MG DG

=, 85

85x =

- ∴x 115

综合上述，当x的值为2DMN是等腰三角形．

{分值}11

{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}

{考点:等腰直角三角形}

{考点:勾股定理}

{考点:平行四边形边的性质}

{考点:对角线互相平分的四边形是平行四边形}

{考点:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形}

{考点:矩形的性质}

{考点:菱形的判定}

{考点:相似三角形的性质}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）}

{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}

{考点:几何综合}

{类别:发现探究}

{难度:5-高难度}