河北邢台市第一中学高考等差数列专题及答案 百度文库

一、等差数列选择题

1．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ．

47

B ．

1629

C ．

815

D ．

45

2．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大21

2

，则该数列的项数是（ ） A ．8

B ．4

C ．12

D ．16

3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200

B ．100

C ．90

D ．80

5．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160

B ．180

C ．200

D ．220

6．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n

n S a b n =---?+，*n N ∈，则

存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）

A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列

B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列

C ．·

n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·

n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 7．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4S

B ．5S

C ． 6S

D ． 7S

8．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24

B ．36

C ．48

D ．64

9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2

6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且

77b a =，则3810b b b =（ )

A ．1

B ．8

C ．4

D ．2

10．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和

为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸

D ．二丈二尺五寸

11．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ） A ．24

B ．39

C ．104

D ．52

12．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237

n n S n T n =+，则6

3a b 的值为

（ ） A ．

5

11

B ．38

C ．1

D ．2

13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =.定义数列{}n b 如下：

()*1m m b m m

+∈N 是使不等式()

*

n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b +++

+=（ ）

A ．25

B ．50

C ．75

D ．100

14．已知数列{}n a 满足25111,,25

a a a ==且

*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（ ） A ．19

B ．20

C ．21

D ．22

15．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（ ）

A ．7

B ．9

C ．21

D ．42

16．若数列{}n a 满足121

()2

n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（ ） A ．1010 B ．1011 C ．2020

D ．2021

17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51

B ．57

C ．54

D ．72

18．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ）

A ．3、8、13、18、23

B ．4、8、12、16、20

C ．5、9、13、17、21

D ．6、10、14、18、22

19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1

1213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：

①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

20．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<，则n 的最大值

为（ ） A ．2m

B ．21m +

C ．22m +

D ．23m +

二、多选题

21．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）

A ．数列{}n a 的公差d <0

B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10

C ．S 10>0

D ．S 11>0

22．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)

2

12n a =

-，则关于数列

{}n a 的说法正确的是 （ ）

A ．27a =

B ．数列{}n a 为递增数列

C ．2

21n a n n =+-

D ．数列{}n a 为周期数列23．题目文件丢

失！

24．题目文件丢失！

25．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S > D ．110S >

26．已知数列{}2n

n

a n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6

D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列

27．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15

11

0,20,a a a 则（ ）

A ．80a <

B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值

C ．49S S =

D ．满足0n S >的n 的最大值为12

28．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =- B ．310n

a n

C ．2

28n S n n =- D ．2

4n S n n =-

29．定义11222n n

n a a a H n

-++

+=

为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优

值”2n

n H =，前n 项和为n S ，则（ ）

A ．数列{}n a 为等差数列

B ．数列{}n a 为等比数列

C ．

20202023

20202

S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列

30．数列{}n a 满足11,121

n

n n a a a a +=

=+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ??

????

是等差数列

B ．数列1n a ??????

的前n 项和2

n S n =

C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =-

D ．数列{}n a 为递减数列

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一、等差数列选择题 1．D 【分析】

设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】

设该妇子织布每天增加d 尺， 由题意知202019

2042322

S d ?=?+=， 解得45

d =

． 故该女子织布每天增加4

5

尺． 故选：D 2．A 【分析】

设项数为2n ，由题意可得()21

212

n d -?=，及6S S nd -==奇偶可求解． 【详解】

设等差数列{}n a 的项数为2n ， 末项比首项大

212

， ()212121;2

n a a n d ∴-=-?=① 24S =奇，30S =偶，

30246S S nd ∴-=-==奇偶②．

由①②，可得3

2

d =，4n =， 即项数是8，

故选：A. 3．C 【分析】

利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ． 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，

则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，

212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =

故选：C 4．C 【分析】

先求得1a ，然后求得10S . 【详解】

依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=?=. 故选：C 5．B 【分析】

把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】

由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020

()10181802

S a a =+=?=. 故选：B 6．D 【分析】

由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：

(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---?+=+-?-+，

∴当1n =时，有110S a a ==≠；

当2n ≥时，有1

1()2n n n n a S S a bn b --=-=-+?， 又当1n =时，0

1()2a a b b a =-+?=也适合上式，

1()2n n a a bn b -∴=-+?，

令n b a b bn =+-，1

2n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，

故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；

因为11

()22n n n a a b bn --+=-??，0b ≠，所以{

}1

2

n bn -?即不是等差数列，也不是等比数

列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：

由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11

,2

,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解，考查学生的计算能

力. 7．B 【分析】

根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】

依题意55647560

0000

a a a a a a a d >?>??

?

?+=+

，所以015n a n >?≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 8．B 【分析】

利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】

由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =

19592993622

a a a

S +=

?=?= 故选：B 9．B 【分析】

根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】

因为各项不为0的等差数列{}n a 满足2

6780a a a -+=，

所以2

7720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；

又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，

所以3

3810371178b b b b b b b ===.

故选：B. 10．D

【分析】

由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为

985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差

数列性质求得后5项和． 【详解】

由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()

19959985.52

a a S a +=

==（尺），所以59.5a =（尺），由题知

1474331.5a a a a ++==（尺），

所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-， 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ． 11．D 【分析】

根据等差数列的性质计算求解． 【详解】

由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=?+?=+==，

74a =，∴11313713()

13134522

a a S a +=

==?=． 故选：D ． 12．C 【分析】

令2

2n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则

6

3

a b 可得． 【详解】

令2

2n S n λ=，()37n T n n λ=+，

可得当2n ≥时，()()2

21221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，

()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，

当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，

()232n b n λ=+

故622a λ=，322b λ=，

故6

3

1a b =. 【点睛】

由n S 求n a 时，11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符

合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 13．B 【分析】

先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到2121

2

k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】

由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =，可得21n a n =-，

因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12

m n +≥， 当21m k =-，（*k N ∈）时，1

m m b k m +=，即()()11212

m m m mk m b m m +===++， 即2121

2

k k b --=

， 从而()135191

13519502

b b b b ++++=

++++=.

故选：B. 14．B 【分析】

由等差数列的性质可得数列1n a ??

????

为等差数列，再由等差数列的通项公式可得

1n

n a ，进

而可得1

n a n

=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】

因为*

121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12

211n n n a a a ++=+， 所以数列1n a ??

????

为等差数列，设其公差为d ，

由25111,25

a a a ==可得25112,115a a a ==?， 所以11

11

2

1145d a d a a ?+=????+=???，解得1111

a d ?=???=?，

所以

()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n

=， 所以不等式100n n a a +≥即100

n a n

+≥对任意的*n N ∈恒成立，

又10020n n +

≥=，当且仅当10n =时，等号成立， 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 15．C 【分析】

利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，则()

1212121632

a a S +=

=， 所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =， 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a +++

+=++++++

111111111122277321a a a a a =+++==?=，

故选：C 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，

()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a +++

+=++++++=即可求解.

16．B 【分析】

根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121

()2n n a a n N *++=

∈，则11()2

n n a a n N *+=+∈， 即11

2

n n a a +-=

， 所以数列{}n a 是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列， 所以()()11111122

n n a a n d n +=+-=+-?=， 所以2021a =

20211

10112

+=.

故选：B 17．B 【分析】

根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】

317102a a a += 1039a ∴=，即103a =

()11910

19191921935722

a a a S +?∴=

==?= 故选：B 18．C 【分析】

根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】

在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，

则171,25a a ==，则71251

4716

a a d --===-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 19．D 【分析】

由()

1

1213n n n n S S a n +++=+-+得到()

1

1132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得

到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】

因为()1

1213n n n n S S a n +++=+-+，

所以()

1

1132n n n a a n ++=-+-，

所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-， 联立得：()212133k k a a +-+=， 所以()232134k k a a +++=， 故2321k k a a +-=，

从而15941a a a a ===???=，

22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，

则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，

()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，

()()20

1

411820622

k k =+?=-=

=

∑1220，

故①②③正确. 故选：D 20．C 【分析】

首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】

由21<，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++=

=

+，

()()()12323

22323<02

m m m m a a S m a +++++==

+， ()()()()1222212211>02

m m m m m a a S m a a ++++++=

=

++.

故选:C.

【点睛】

关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2

,1

n n n S S n a S n --≥?=?

=?，判断数列的项的正负，

第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负.

二、多选题

21．AC 【分析】

由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案 【详解】

解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，

所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误， 所以110105610()

5()02a a S a a +=

=+>，11111611()1102

a a S a +==<， 所以C 正确，D 错误， 故选：AC 22．ABC 【分析】

由)

2

12n a =

-

1=，再利用等差数列的定义求

得n a ，然后逐项判断. 【详解】

当2n ≥时，由)

2

12n a =-，

得)

2

21n a +=

，

1=，又12a =，

所以

是以2为首项，以1为公差的等差数列，

2(1)11n n =+-?=+，

即2

21n a n n =+-，故C 正确；

所以27a =，故A 正确；

()2

12n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；

数列{}n a 不具有周期性，故D 错误； 故选：ABC

23．无 24．无

25．ABD 【分析】

转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】

因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，

因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确； 所以6S 最大，故B 正确； 所以()113137

131302

a a S a

+?==<，故C 错误； 所以()111116

111102

a a S a

+?=

=>，故D 正确.

故选：ABD. 26．ACD 【分析】

利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解 【详解】

因为

1

112a =+，1(1)2

n n a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得1

5

d =-. 故选ACD 27．ACD 【分析】

由题可得16a d =-，0d <，21322

n d d S n n =

-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022

n d d

S n n =->，解出即可判断D. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，

10a >，0d ∴<，且()21113+

222

n n n d d S na d n n -==-， 对于A ，

81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；

对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为13

2

n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；

对于C ，4131648261822d d S d d d =

?-?=-=-，9138191822

d d S d =?-?=-，故49S S =，故C 正确；

对于D ，令213022

n d d

S n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】

方法点睛：由于等差数列()2111+

222n n n d d S na d n a n -?

?==+- ??

?是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 28．AD 【分析】

设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145

460

a d a d +=??

+=?，进而得13,2a d =-=，故

25n a n =-，24n S n n =-.

【详解】

解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a == 所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：1145

460

a d a d +=??+=?，

解方程组得：13,2a d =-=，

所以()31225n a n n =-+-?=-，2

4n S n n =-.

故选：AD. 29．AC 【分析】 由题意可知112222n n n

n a a a H n

-++

+==，即112222n n n a a a n -+++=?，则2

n ≥时，()()1

112

21212n n n n n a n n n ---=?--?=+?，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数

列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由112222n n n

n a a a H n

-++

+==，

得112222n n n a a a n -++

+=?，①

所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-?，②

得2n ≥时，()()1

112

21212n n n n n a n n n ---=?--?=+?，

即2n ≥时，1n a n =+，

当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．

所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错， 所以()

32

n n n S +=

，所以2020202320202S =，故C 正确．

25S =，414S =，627S =，故D 错，

故选：AC ． 【点睛】

本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般. 30．ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +=

=+得到

1112n n a a +-=，从而得到1n a ??

????

是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.

【详解】

对选项A ，因为121

n

n n a a a +=

+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n n

a a +-= 所以1n a ??

????

是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.

对选项B ，由A 知：

1

121

21n

n n a

数列1n a ??????

的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确.

对选项C ，因为1

21n n a =-，所以121

n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为1

21

n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.