数学分析总结计划选讲学习的教案.doc

精品文档《数学分析选讲》教案 1

授课时间2005 年 9 月 12 日第 3 周星期一第四大节授课 6402 实到 117 地点人数

授课题目函数的概念与性质、实数理论授课专业信息与计算

班级科学

教学目的

1. 掌握函数的概念、性质和运算的方法。

2. 理解实数理论的完备性，并会熟练运用，证明有关问题,.

与

教学要求

1、各种符号，函数的概念，几类重要函数，函数的性质，

定理 1.1 Contor 闭区间套定理，定理 1.2 （Bolzano --Weierstrass 主

定理）任何的有界数列必有收敛子列（列紧性），定理 1. 3(完要

备性定理 ) 数列收敛的充要条件是它为基本数列。定理 1.4 （单内

容

重点与难点

教学方法手段（教具）调收敛定理）单调有界数列必收敛。定理 1.5（确界存在定理）上有界的数集必有上确界；下有界的数集必有下确界。定理 1.6 （H eine－Borel 有限覆盖定理）

重点：函数的性质和实数理论。

难点：实数理论

讨论法，传统教学方法与使用多媒体相结合

数学分析，高等数学， 2005 年数学研究生考题

参考资料 2006 年高等数学考试测试题

课后作业与作业 1.2.3.4.5.6

思考题思考题：六个实数完备性定理的相互证明。教学后记

讲稿部分

教学过程

第一讲：函数的概念与性质，实数理论

一、函数的概念与性质

（一）常用符号 N, Z, R,U0 x0 , U x0 ,U x0 @ D

D

C a, b

D a, b R a, b T a, b T

(二) 函数的概念

1. 函数的定义

2. 几个重要函数

分段函数

1 x 0

符号函数Sgn( x) 0 x 0

1 x 0

1, x q p

Dirichlet 函数 D ( x)

q

0, x

p

1

x p

(0,1)

q x

Rinmann 函数R( x) q

p

0 x 0,1

x

q

3. 初等函数

4. 周期函数

5.奇偶函数

6. 复合函数

7. 反函数

(三 ) 函数的性质

有界性 f ( x) M x I

周期性 f ( x T ) f ( x)

奇偶性 f ( x) f ( x), f ( x) f (x)

单调性 f (x) f ( y)x y I 精品文档

时间

分配

20m

讲稿部分

时间

教学过程

分配

20m

Example 1. f (x) x x

x R g( x)

x2 x 0

求 f g x 2

,

x x 0

,

x ( x)

x 0

g( x) | g( x) | 2

Solution f g x = 2 2

2 x x x2 x 0

2

Example 2. 已知 f (x)

x

f n ( x) f { f [L f (x) L ]} ，求 f n (x) 1

,

x 2

Solution 设f (x) f1 ( x) f 2 ( x) f { f1 (x)} =

x

由数学归纳法1 2x2

f n ( x)

x

1 nx2

Example 3. 证明f (x) x n e x2 为 R 上的有界函数。

二、实数完备性定理

在研究数列极限以前，我们要讨论一下极限存在的环境问题。它

是数学分析的另一个基础：实数系和它的完备性。所谓完备性，实质

上就是对极限运算的“封闭性”。正因为实数系有完备性（或连续

统），所以在实数系中讨论极限问题时才没有后顾之忧。定理 1.1 Contor

闭区间套定理，

定理 1.2 （Bolzano --Weierstrass定理）任何的有界数列必有收敛子列（列紧性）。

定理 1. 3(完备性定理 ) 数列收敛的充要条件是它为基本数列。

第 2页共页

讲稿部分

时间

教学过程

分配

定理 1.4 （单调收敛定理） 单调有界数列必收敛。

20m

定理 1.5 （确界存在定理）上有界的数集必有上确界；下有界的数集

必有下确界。

定理 1.6 （Heine －Borel 有限覆盖定理）

三、概念辨析与问题证明

1、区间套与有限覆盖定理的应用

区间套定理通常用于将函数在某一闭区间上成立的性质归结为在某点邻域的

性质，体现了整体收缩为局部的特点。他所证明的结论涉及到某一点的问题，

例如，闭区间上连续函数的零点存在性问题，有界数列存在收敛子列问题等。

而有限覆盖定理得作用与区间套定理相反，它是把函数在每点某邻域的性质拓展

为函数在闭区间上所共有的性质。 例如函数在闭区间上逐点连续推出函数在闭区间

上一致连续。 区间套与有限覆盖定理是同一事物的两个方面，可以相互转化，从

反证法的观点来看，局部点的反面变成了整体， ，反之亦然。

Example 4. 若函数 f (x) 在 [a,b] 上有定义恒取正值，

x [a,b]

lim f (x) = A

0 则 f (x) 在[a, b] 上必有正的下界。

x x

2 聚点与聚点定理

E a 是 E 的聚点， 0, U 0 (a, ) E

聚点是对数集而言， 极限是对数列而言。 聚点不一定是极限点， 极限点也不一

定是聚点。当收敛数列有无穷项相异时，则极限点比为聚点。

Example 2. a ， a 不是 E 的聚点，但数列有极限。

1, 1 , 2,

1

, 3, , 1

, n 有聚点但不是没有极限点 2

3 n

第 3 页 共

页

讲稿部分

时间

教学过程

分配聚点的等价定义： a 是 E 的聚点，以下三个定义等价：20m I 0, U (a, ) 含有 E 的无穷多个点

II 0, U 0 (a, ) 含有 E 内至少一个点

III { x n } E { x n x m ,n m}, 使得 lim x n a

n

3．确界原理应用举例

Example 5. 设函数f (x) 在 [a,b] 上单调递增，且 a f (a) f (b) b

证明x0 (a,b) 使得 f ( x0 ) x0

proof ： E { x | f (x) x, x [a,b]} 由 a E ，E非空有上界 b ，

必有上确界 x0 supE 欲证 f ( x0 ) x0

x E, x x0 f (x) 单增x f (x) f (x.0 )

f (x.0 ) 是 E 的一个上界，所以x0 f ( x.0 ) （1）

又 f (x) 单增， a x0 f ( x.0 ) f (b) b

得到 f ( x0 ) f { f ( x.0 )} 即 f ( x0 ) E f ( x.0 ) x0 （2）

由（ 1）（2）知道f (x0 )x0

3.致密性定理应用举例

Example 6. 设函数 f (x)C[ a, b] ，且有唯一最值点x0[ a, b] ，若

{ x n } a,b { x n}[ a, b]

且 lim f ( x n ) f ( x0 ) 证明 lim x n x0

n n

proof ：If lim x n x000 x n k x n s.t | x n k x0 |0

n

{ x n k } [a, b]为有界数列，有收敛的子列记作{ x n k }

第 4 页共页

讲稿部分

教学过程

时间 分配

并记

lim x

n k

x

*

x

*

x 再由

f (x)

20m

C[ a, b]

k

显然

f ( x 0 )

lim f ( x n ) lim f ( x n k )

f ( x*)

n

k

这与 x 0 为 f ( x) 的唯一最值点矛盾。

4．多种方法证明

Example 7. 设函数 f (x) 在 [a,b] 上只有第一类间断点（可以有无穷多个） ，证明

f (x) 在 [a,b] 上有界

1． proof ：（致密性定理）反证，若

f (x) 在 [a,b] 上无界，存在 n

N ，可

找出 x n [ a, b] s.t | f (x n ) | n ， x n [ a, b] 有界，必有收敛的子列 { x n k }

lim x n k

x

*

[ab,] x x 0 时 f (x) 在[ a,b] 上无界。

k

小结：掌握函数的各种性质，理解初等函数的概念及复合运算。

第 5 页 共

页

讲稿部分

教学过程

作业题

1 f ( x) x , x R to show f f f x x , 求 f 1

x f ( x)

1

2 试证 f (x) sin x 不是周期函数

n, x m 互质

3 证明 f x n m, n 0，1 每一点都有有限值，但每一点的

x

0, x 0,1, x无理数

邻域内函数无界。

4 证明 3 是满足不等式r 2 3 一切正有理数的下确界。

5 已知 f (x) 在 a, b 上有定义，在每一点极限存在，证明 f (x) 在a, b 上有界6．设函数f (x) C[0, ) 且有界，R ，f (x) = 在 [0, ) 至多有有

时间分配35m

限实根，证明lim f ( x )

存在

x

第 6 页共页

《数学分析选讲》教案 2

授课时间2005 年 9 月 14 日第 3 周星期三第二大节授课 6403 实到 117 地点人数

授课题目数列极限，实数理论授课专业信息与计算

班级科学

教学目的

1 掌握数列的概念、性质和运算的方法。

2．掌握数列收敛的判别方法，并会熟练运用，证明有关问题,.

与

教学要求

主

要

内

容

重点与难点

教学方法手段（教具）

1、数列极限概念、性质，唯一性、有界性、包号性、保序性、

迫敛性。（Bolzano --Weierstrass定理）任何的有界数列必有收敛子列（列紧性），柯西基本列。

2、收敛数列判别单调收敛定理、单调有界数列必收敛。

海因定理。 Stolz 定理，压缩影响原理

3、判别法应用及运算技巧

重点：各种判别法。

难点：运算技巧

讨论法，传统教学方法与使用多媒体相结合

数学分析，高等数学， 2005 年数学研究生考题

参考资料 2006 年高等数学考试测试题

课后作业与作业 1.2.3.4.5.6

思考题思考题：各种判别法相互关系。教学后记

讲稿部分

教学过程

第二讲 数列的极限

数学分析的最根本的概念是极限。数学分析所有的概念都基于极限。如数列极

限，函数极限，连续，导数，积分等的定义都是某种类型的极限。

（一）基本概念和定理

lim x n x 0

x n x 0

0 N , n N , | x n _ x 0 |

n

1．性质 唯一性，有界性，保号性，保序性迫敛性

2．四则运算

0, | q | 1 3．几个公式

lim | q |n

1, | q | 1

n

, | q | 1

lim (1 a ) n e a

n

n

lim n sin

a

a

n

n

4 常用收敛判别方法

（1）Cauchy Principle, （ 2）单调有界定理，（3）两面夹定理，

（4）Stolz 定理。

（5）压缩映像原理，（ 6）定积分法

5 三个不等式

（1）Bernulli Inequality

(1 a)n

1 na, a

2

n 2

n

| a b 2

n

n

(2) Schwarz Inequality a b

| a k 2

b k 2

k

k

k k

k 1

k 1

k 1

k 1

1

n

n

1

n

a k

a k

(3)AG Inequality

n

k 1

k 1

时间

分配

20m

第 1 页 共页

讲稿部分不

教学过程

（二）应用举例

| q |n

0, | q | 1 Example1

lim

1/ 2, | q | 1

1

n

n

| q |

1, | q | 1

Example 2

lim (1 a ) n

e

a / 2

n

2n

Example 3

lim n 2

sin a tan

b

ab

n

n

n

Example 4

用 Cauchy Principle 证明调和级数

1

发散。

n 1

n

Example 5

用单调有界定理证明

x 0

a 0 a

x n sin x n 1

证明

2

lim x n 0

proof

x 0 a

0 a

0 x n

2

2

x n sin x n 1

x n 1单调递减 下确界为零

Example 6 设 a 1, b 1 为两正实数， a 1 b 1

a n

2a n 1

b

n 1

b n

a n 1

b

n 1

a n

b n

1 1

证明 a n , b n 收敛，并有相同的极限。

proof Let c n

1 , d n 1

a n

b n

精品文档

时间

分配

20m

第 2 页 共

精品文档

讲稿部分

教学过程

时间

分配

then c n

1

1 1 1

1

c n

d

n 1

,

20m

a n

( a n 1 b n

)

1

2 1

2

d n

1

c n 1

.d

n

1

b n

c n

d n

byAG Inequality

c n

1

c n 1

d

n 1

1

c n 1 c

n 1

c n 1 ,

2

2

d n

1

c n 1

.d

n 1

d

n 1

b n

c 1 c 2 L c n 1 c n

d n

d n 1 L d 2 d 1

limc

1

, limd

1,

lima l,

limb s

n

n

l

n

n

s

n

n

n

n

l

2ls , s ls

l

s

l s

（三） 压缩映像原理

1．压缩数列

x

| x n x n 1 | r | x n 1 x n 2 |, n 1,2,K ,0 r 1

n

2．压缩函数 | f ( x 1 ) f ( x 2 ) | r | x 1 x 2 | 0 r 1

3 有界变差数列

x | x n x n 1 | |x n 1 x n 2 | L |x 2 x 1 | M

n

第 3 页 共 页

精品文档讲稿部分

教学过程

Theorem有界变差数列，压缩数列均收敛

proof先证有界变差数列收敛

y10, y2| x2x1 | L

y n|x n x n 1 | | x n 1 x n 2 | L | x2x1 |

y n单调地递增有上界故收敛

| y n y m | | x n x n 1| |x n 1x n 2| L | x m 1x m|

|x n x m | | x n x n 1| | x n 1x n 2| L | x m 1x m|

x n收敛

再证压缩数列收敛

x | x n x m | | x n 1 x n 2 |

n

|

x n 2 x n 3 | | x n 3 x n 4 | L | x m 1 x m | r n 2 | x2 x1 | +r n 3| x2 x1 | +L r m 1 | x2 x1 |

r m 1 | x x | 1

0, m

2 1

r

1

2．压缩函数| f ( x1) f ( x2 ) | r | x1 x2 | 0 r 1

压缩函数列应用

设 f ( x) x 2

. x0 1, x n 1 f ( x n ) n 0, 1, 2

x 1

证明 lim x n 2 n

时间分配20m

第 4 页 共

页

讲稿部分

教学过程

时间

分配

此题证明有理数逼近无理数。

20m

x n 2

1

proof x n 1

x n

1

x n 1 n 0,1,2

1 1 | f (x) |

1 1

( x 1)

( x 1)2 2

|x n 1 x n | | f ( ) || x n x n 1 |

1

| x n x n 1 |

x n 为压缩数列

2

lim x n

2

n

(四 )Stolz 定理

1． Theorem 如

果

y n

单调递增趋于正无穷，

lim

x n

1

x n

A ( )

n

y n

y n

1

then lim

x n

A

y n

2 应用举例

Example 1 （算术平均收敛公式）设 lim x n

a b n

x 1 x 2 ... x n

n

n

证明 lim b n

a

n

Example 2

lim

1

2

n

n 1

n

n

Example 3 lim x n a to show lim

x 1

2x 2 ... nx n a

n

n

n(n 1)

2

（五）运用定积分求极限

Example

n

(n 1)(n 2) (n n)

4

1 求 lim

n

（

）

n

e

第 5 页 共 页

讲稿部分

教学过程

时间

分配

n

n! , ( 1

)

20m

Example 2

lim

n

n e

sin sin 2

sin n

2

Example

lim ( n

n

n 3

)

n

n 1

n

1

n

1

2 n

（六）运用级数收的必要条件证明极限为零

Example 1 证明 lim

n! 0,

n n

n

Example 2

Evaluate lim 5n .n!n ,

n

(2n)

（七）运用海因定理求极限

1

Evaluate lim [( n 1)

n ],

Example

n

Solution lim [( n 1)

n ] lim n [(1

1 ) 1]

n

n

n

令 t

1 Consider lim (1

t) 1,

n t 0 t

1

lim

(1

t) 1 1 t

t

1

(1 t) 1

(1 t )

1

lim

t lim

t 1

t 0

t 0

1

(1 t)

1

(1 t)

1

t 1

lim

t lim

t

1

lim

(1 t) 1

t 0

t

t 0

第 6 页共页

讲稿部分

教学过程

时间

分配

0 0 20m

lim (1 t) 1 lim t [1

(1 t ) ] 0

t 0 t t 0 (1 t)

小结：

本次课主要掌握数列极限的各种收敛定理，判别方法，以及求极限的各种技巧，要多做练习，达到熟能生巧，融会贯通。

作业 2

1．设x0 2 x n 1 1 x n 2

, n 0,1,2

2 x n

求 lim x n

n

2．x n0 n1,2,

3 若lim x n a p n

n n 1

4 求lim

1 1 n 1 n 2

n

5 求lim n

n

n

n n!3

6 已知0 f (x)C[ a,b] lim x n a 证明lim n x1x2 x n a

n n

n

p k a k

p n 0 lim 1 a

证明n

n p k

1

1

n n

求 lim n f (

1

) f (

2

) f (

n

)

n n n n

第 7 页共页