a
a <
，即b a < (2)△＝4a 2－4(－a ＋2b )＝4a 2＋4a －8b ． ∵对于任何实数a ，此方程都有实数根，
∴对于任何实数a ，都有4a 2＋4a －8b ≥0，即a 2＋a －2b ≥0．
∴对于任何实数a ，都有?+≤22a
a b ∵,8
1
)21(21222-+=+a a a 当21-=a 时，2
2a a +有最小值81-．
∴b 的取值范围是8
1
-
≤b
一元二次方程的基本解法
第一讲：一元二次方程的基本解法 【知识要点】 ① 一元二次方程及其标准形式： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程叫一元二次方程。 形如ax 2+bx+c=0(a 、b 、c 为常数，且a≠0)的方程叫一元二次方程的标准形式。 任何一元二次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等过程，转化为标准形式。 ② 一元二次方程的解法主要有： 直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法。 一元二次方程的求根公式为x 1,2=)04(2422≥--±-ac b a ac b b . ③一元二次方程解（根）的含义：使方程成立的未知数的值 【经典例题】 例1、直接开平方法 （1）x 2－196＝0; （2）12y 2－25＝0； （3）（x ＋1）2－4＝0； （4）12（2－x ）2－9＝0. 例2 、配方法： （1）x 2－2x ＝0； （2）2 12150x x +-= （3）24x 2x 2=+ （4）17x 3x 2+= 例3 、求根公式法： (1) 1522-=x x (2) 052222 =--x x
（3）（x ＋1）（x －1）＝x 22 （4）3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1). 例4 、因式分解法： (1) x （3x ＋2）－6(3x ＋2)＝0. (2)4x 2 ＋19x －5＝0； (3) ()()2232 -=-x x x （4）x （x ＋1）－5x ＝0. 例5、换元法解下列方程： （1）06)12(5)12(2=+---x x (2) 06)1 (5)1(2=+---x x x x 例6、配方法的应用：求证：代数式122+--x x 的值不大于 4 5.
一元二次方程的解法(二)配方法(基础)
一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础） 【学习目标】 1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能 力. 【要点梳理】 知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： . (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 【典型例题】
一元二次方程解法讲义
龙文教育学科教师辅导讲义 课 题 一元二次方程的解法 教学目标 1. 理解一元二次方程及其有关概念 2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解 重点、难点 1. 一元二次方程的判定，求根公式 2. 一元二次方程的解法与应用 考点及考试要求 1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式 2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去 3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用 教学内容 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③ 整式方程．．．． 就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式 (3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式： 2 =++c bx ax 时，应满足（a≠0） (4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112 =-+ x x C 0 2 =++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
一元二次方程及其解法
第2课时 一元二次方程及其解法 一·基本概念理解 1 一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 2、一元二次方程的解法 （1）、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法适用于解形如 b a x =+2 )(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2 22)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 （3）、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式：
) 04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c （4）、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 （5）、韦达定理 若1x ，2x 是一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，则 a b x x -=+21，a c x x =21。以上的就称为韦达定理（或称为根与系数的关系）利用 韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=a b -，二根之积 =a c 也可以表示为a b x x -=+21,a c x x =21。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 3、一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42 -叫做一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?
一元二次方程的解法—公式法
课题：1.2一元二次方程的解法 (4) 班级 姓名 【学习目标】 1、会用公式法解一元二次方程. 2、用配方法推导一元二次方程的求根公式，明确运用公式求根的前提条件是b 2 －4ac ≥0． 【重点难点】 重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程。 难点：掌握一元二次方程的求根公式及代入时的符号问题. 【新知导学】 读一读：阅读课本P 14-P 16 想一想: 1. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 2. 用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 因为0a ≠，方程两边都除以a ，得 把常数项移到方程右边，得 配方，得 即2224()24b b ac x a a -+= 当 0≥时 ，2422b b ac x a a -+=± 即42b b ac x a -±-= 。 3.在上述配方过程中，若240b ac -≥＜ 0时，方程有实数根吗？ 练一练： 1.方程4-x 2=3x 中a= ，b= ，c= ， b 2-4ac= 2. 用公式法解方程0232 =+-x x 【新知归纳】 一般的，对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax
（1） 当_____________时，它的实数根是_________________.这个公式叫一元二次方程的求根 公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法。 （2） 当_____________时，方程没有实数根。 【例题教学】 例1.用公式法解方程： （1）22330 x x -+= （2）x x 2322=- （3）a a a =-+)2)(2(51 （4）23(1)y y += 例2.已知y 1＝2x 2＋7x －1，y 2＝6x ＋2，当x 取何值时y 1＝y 2？ 【当堂训练】 1.用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ） A.x=21214412-± B. x=2 1214412-±- C. x= 21214412+± D. x=64814412-± 2.用公式法解下列方程： （１）2220x x +-=； （２）2 30x x -=
《一元二次方程的解法》规律总结
《一元二次方程的解法》规律总结 1．一元二次方程的解法 (1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)， b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为a x 2=或b )a x (2 =-的形式，也可以用此法解． (2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根． (3)配方法：任何一个形如bx x 2 +的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解 的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，2 2226726x 6x ??? ??+-=??? ??++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1． (2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点． (3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、 c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方 程的一般步骤： ①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2 =++(a ≠0)的形式； ②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)； ③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)； ④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根． 说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法． 2．一元二次方程根的判别式 一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的 实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=?叫做一元二次方程0c bx ax 2 =++的根的判别式． △>0?方程有两个不相等的实数根． △＝0?方程有两个相等的实数根． △<0?方程没有实数根．
一元二次方程基本解法
一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次 方程。 一元二次方程的一般式为()200ax bx c a ++=≠。 与一元二次方程定义有关的参数问题： 处理方法：对照方程的一般形式。 条件中出现方程的根 处理方法：将根带入方程。 一、直接开平方法 二、配方法 一、直接开平方法 【例1】 ⑴2120y -= ⑵228x = ⑶()21382x -= 【例2】 用直接开平方法解方程： ⑴(3x ＋2)(3x －2)＝12 ⑵() 2 2463x -= ⑶(x －m )2＝n 一元二次方程基本解法
解关于x 的方程： ⑴()()222332x x +=+ ⑵()()225293x x -=+ ⑶()()22425931x x -=- 二、配方法 【例4】 填空：⑴()2210______x x x ++=+ ⑵()2 212_______x x x -+=- ⑶()2 25________x x x ++=+ ⑷() 2 22_______3x x x -+=- 【例5】 用配方法解方程： ⑴2420x x ++= ⑵211063x x +-= ⑶231y += ⑷ 3x 2－6x ＋4＝0
配方法的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为(x＋m)2＝n的形式； =-±若n＜0时，方程无实数解。 ④求解：若n≥0时，方程的解为x m 知识框架重现 一、直接开平方法 二、配方法
(完整版)一元二次方程的解法大全
一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】 ＝0(a≠0)， 把方程ax2+c 例：用直接开平方法解方程： 1．9x2-25＝0； ； 2．(3x+2)2-4＝0 4．(2x+3)2＝3(4x+3)． 解：1．9x2-25＝0 25 9x2＝ 2．(3x+2)2-4＝0 (3x+2)2＝4 3x+2＝±2 2±2 3x＝-
4．(2x+3)2＝3(4x+3) 4x2+12x+9＝12x+9 4x2＝0 ∴x1＝x＝0． 【配方法解一元二次方程】 将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除 + 以二次项系数，使二次项系数为1，如x2 1．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35； 3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0． 解：1．x2-4x-3＝0 x2-4x＝3 x2-4x+4＝3+4 7 (x-2)2＝
3．4x2+4x+1＝ 7
一元二次方程ax2+bx+c＝ 0(a 广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法 ＝0(a≠0)的求根公式。 例：用公式法解一元二次方程： 2．2x2+7x-4＝0； ． 4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x) 2．2x2+7x-4＝0 ∵a＝2，b＝7，c＝-4． 81 b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝
4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0) x2-3ax+2a2-ab-b2＝0 ∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2 b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2) ＝9a2-8a2-4ab+4b2 ＝a2-4ab+4b2 ＝(a-2b)2 2b≥0)时，得 当(a- 【不完全的一元二次方程的解法】 在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。即b与c至少一个等于零，这类项方程从形式与解法上比一般一元二次方程要简单，因此要研究这类方程最简捷的解法，从规律上看有两种方法：一是因式分解，二是直接开平方法： 例：解下列一元二次方法： ．
一元二次方程的解法知识点汇总
一元二次方程的解法知识点汇总 知识点一：直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。一般地，对于形如x=a（a≧0）的方程，根据平平方根的定义，可解的x =，x=-。 知识点二：用因式分解法解一元二次方程 1.因式分解法的意义：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的 方法，如对于方程x-4=0，左边分解因式可得（x+2）（x-2）=0， 则必有x+2=0或x-2=0，所以x=-2，x=2，这种解法叫做因式分解 法，即利用因式分解法的方法解方程称为因式分解法。 2.因式分解法一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为0 ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积 ③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 知识点三：配方法 把一个一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 知识点四：公式法
1.一般地，对于一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0），如果b-4ab≥0， 那么方程的两个根为x=-b±/2a。 这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做求根公式法。 2.一元二次方程的求根公式的推导过程 一元二次方程的求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的过程。 解：a≠0，方程两边都除以a，得x+bx/a+c/a=0 移项，得x+bx/a=- c/a， 配方，得x+2*x*b/2a+（b/2a）=（b/2a）- c/a 即（x+ b/2a）=b-4ac/4a ∵a≠0，∴4a＞0，当b-4ac≥0时，直接开平方，得 x+ b/2a=±/2a ∴x=- b/2a±/2a， 即x=-b±/2a
一元二次方程的四种解法
一元二次方程的解法 (1) 一元二次方程的概念 一、考点、热点回顾 1、一元二次方程必须同时满足的三个条件： (1) ___________________________________________________ ⑵ ___________________________________________________ ⑶ ___________________________________________________ 2、一元二次方程的一般形式： 二、典型例题 ③ x 2 2x 3y 0 ④ x 2 3 (x 1)(x 4) 三、课堂练习 1、 下列方程中，关于x 的一元二次方程是() 2 1 1 A3(x 1) 2(x 1) Br 2 0 x y 2 2 2 C.ax bx c 0 D.x 2x x 1 2、 用换元法解方程(x 2+x)2+ (x 2 + x) = 6时，如果设x 2 + x = y ,那么原方程可变 形为() 2 2 2 2 C 、 y — y + 6— 0 D 、y + y + 6— 0 例2: 元— 一次方程的二次项系数、一次项系数和常数项 . (1)x 2 10x 900 0 ⑵5x 2 10x 2.2 0 (3)2 x 2 15 0 (4)x 2 3x 0 ⑸(x 2)2 3 ⑹ (x 3)(x 3) 0 例3: 当m 时 ， 关于x 的方程(m+2 x |m| +3mx+1=0是一 儿二次方 程。 ⑤ ax 2 bx c 0 ⑥mx 2 0 (m 是不为零常数) 例1:判断下列方程是否为 儿二次方程: ① x 2 x 1 ② x 2 1
一元二次方程的解法归纳总结
一元二次方程的解法归纳总结 一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法. 在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法. 我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解. 一、直接开平方法 解形如p x =2（p ≥0）和()c b ax =+2 （c ≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤: （1）把一元二次方程化为p x =2（p ≥0）或()c b ax =+2 （c ≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程; （3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解. 注意: （1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解; （2）对于一元二次方程p x =2,当0
c 时,一元二次方程有两个不相等的实数根; ②当0=c 时,一元二次方程有两个相等的实数根; ③当0一元二次方程的四种解法
一元二次方程的解法 （1）一元二次方程的概念 一、考点、热点回顾 1、一元二次方程必须同时满足的三个条件: (1) (2) (3) 2、一元二次方程的一般形式: 二、典型例题 例1：判断下列方程是否为一元二次方程： ①12=+x x ②12=x ③0322=+-y x x ④)4)(1(32--=-x x x ⑤02=++c bx ax ⑥02=mx （ｍ是不为零常数） 例2：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. (5)3)2(2=+x (6)0)3)(3(=-+x x 例3：当m ________时，关于x 的方程（m+2）x |m|+3mx+1=0是一元二次方程。 三、课堂练习 1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） 2222211.3(1)2(1) .20.0 .21 A x x B x y C ax bx c D x x x +=++-=++=+=- 2、用换元法解方程(x 2＋x)2＋(x 2＋x)＝6时，如果设x 2＋x ＝y ，那么原方程可变形为（ ） A 、y 2＋y －6＝0 B 、y 2－y －6＝0 C 、y 2－y ＋6＝0 D 、y 2＋y ＋6＝0 2(2)510 2.20x x +-=2(4)30 x x +=2(1)109000 x x --=2(3)2150x -=
3、已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 4、已知关于x 的一元二次方程2(1)60x k x -+-=的一个根是2，求k 的值． 四、课后练习 1.将方程3(1)5(2)x x x -=+化成一元二次方程的一般形式，得 ；其中二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 . 2.方程2(4)5230k x x k -+++=是一元二次方程，则k 就满足的条件是 . 3. 已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，则代数式m 2-m=_____________ 4.在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，则x 满足的方程是（ ） （A ） 213014000x x +-= （B ）2653500x x +-= （C ）213014000x x --= （D ）2653500x x --= 5．关于x 的方程 0)3(2=++-m nx x m ，在什么条件下是一元二次方程在什么条件下是一元一次方程 （2）--直接开方法 一、考点、热点回顾 1、了解形如x 2=a(a ≥0)或(x ＋h)2= k(k ≥0)的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法 小结：如果一个一元二次方程具有n m x =+2)((0≥n )的形式，那么就可以用直接开平方法求解。（用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯）
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法 (直接开平方法、配方法、公式法和分解法) 一元二次方程定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0）。 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数) 交点式：y=a(x-x?)(x-x?) (a≠0) [有交点A（x?，0）和B（x?，0）的抛物线，即b2-4ac≥0] . 直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。 用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=m± 配方法: 1.将此一元二次方程化为ax2+bx+c=0的形式(此一元二次方程满足有实根) 2.将二次项系数化为1 3.将常数项移到等号右侧 4.等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.左右同时开平方 7.整理即可得到原方程的根 公式法： 1.化方程为一般式：ax2+bx+c=0 （a≠0） 2.确定判别式，计算Δ（=b2-4ac）； 3.若Δ>0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x= 若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根:x?=x?= 若Δ<0，该方程在实数域内无实数根 因式分解法： 因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。 用因式分解法解一元二次方程的步骤 1. 将方程右边化为0； 2. 将方程左边分解为两个一次式的积；
一般的一元二次方程的解法—知识讲解
一元二次方程的解法（二） 一般的一元二次方程的解法—知识讲解（提高） 【学习目标】 1．了解配方法和公式法的概念、一元二次方程求根公式的推导过程，会用配方法和公式法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法和公式法解一元二次方程的基本步骤； 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，通过求根公式的推导，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次 方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为 的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 要点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：
《一元二次方程的解法》规律总结归纳
精心整理 精心整理 《一元二次方程的解法》规律总结 1．一元二次方程的解法 (1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)， b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=； b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为a x 2 =或b )a x (2 =-的形式，也可以用此法解． (2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根． (3)配方法：任何一个形如bx x 2+的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解07x 6x 2=++时，可 把方程化为7x 6x 2-=+，2 2226726x 6x ??? ??+-=??? ??++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1． (2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点． (3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在 0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方程的一般步骤： ①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2=++(a ≠0)的形式； ②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)； ③计算0ac 4b 2 <-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)； ④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根． 说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法． 2．一元二次方程根的判别式 一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有 实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=?叫做一元二次方程0c bx ax 2=++的 根的判别式． △>0?方程有两个不相等的实数根． △＝0?方程有两个相等的实数根． △<0?方程没有实数根． 判别式的应用 (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 3．韦达定理及其应用
