奇妙的幻方

134

1 36

5078106

12()2292

n阶幻方（标准幻方）.其中，相等的

4K型的数叫做

幻方具有轮换性.如右图所示的幻方，可以看成是先将五阶幻方的前

三行移到下面，再把移动后的左边的三列移到右边以后得到的（反过来移

动也行）.这样，随你怎样选取5 X5的一个方块后必然得到一个五阶幻方，这就是幻方的轮

换性.

幻方的构造方法:

学与练（一）

1 .奇数阶幻方的构造方法:

2210181

2581641225816

1921523619215

1321917513219

720311247203

11422101811422

2581641225816

1921523619215知识要点

幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格. 一般地, 在n x n （n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n xn个连续的自然数（注意,

这n x n个连续自然数不一定要从1开始），每个数占1格，并使每一行、每一列以及两条对角线上的几个自然数的和都相

等，这样排列成的数字图形叫做

和叫做幻和，n叫做阶.幻和=幻方内所有数字之和十阶数，奇数阶幻方的中心数=幻和十阶数. 非标准的幻方不限于连续自然数，右图所示即为一个非标准的三阶幻方.

幻方分为奇数阶幻方和偶数阶幻方?偶数阶幻方又分双偶数阶幻方和单偶数阶幻方（双偶数，4K+ 2型的数叫

做单偶数）.

幻方具有对称性.如下图的四阶幻方就具有丰富多彩的对称性. 同一曲线所串连的四个数的和都相

等,

并且和每行、每列、两条对角线上四个数的和相等，都等于这个幻方的幻和?这就是幻方的对称性.

⑴杨辉三阶幻方构造法:

我国古代著名数学家杨辉在《续古摘奇算法》中介绍的一种排法，它可以简

单地归纳为四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”?“九子斜排”

即以右图中A、B、C、D任一处为起点，按照从小到大的顺序和确定的方向（图

中以A处为起点，从向右向下方向），将1?9这九个数依次斜排；“上下对易，左右相更”，即将A处与C 处，B处与D处的两个数位置互换；“四维挺出”，即将四边中间的数移到各自箭头所批的位置?这样,

个三阶幻方就编排完了.

训练⑴

①用从1开始的连续自然数组成一个十阶幻方，其幻和是多少?

②用“杨辉三阶幻方构造法”及3?11编排一个三阶幻方，填入右图中.

如右图⑴的3 X3的阵列中填入1?9九个自然数，构成了我们熟知的三

阶幻方?现有一个3 X3的阵列如右图⑵，请选择九个不同的自然数填入

这九个方格中，使得其中最大数为20 ,最小数大于5, 而且且

每行、每

492

357

816

列及每条对角线上的三个数

④请编出一个三阶幻方，使其幻和为24，填入右图中.

如右图所示, 在3 X3的阵列中,

的和都相等.

6，请你在空格中填上适当的数，使方阵的行、列、对角线上的三个数之和均为36.

⑥ 把3、4、5、8、9、10、13、14、15编排一个三阶幻方，其幻和是多少?

v A I 1 *

第一行第三列的位置上填

三阶魔方入门教程

三阶魔方入门教程魔方结构魔方配色魔方有 6 个中心块、 8 个角块、 12 个棱块，和一个主轴，共26 个块组成；中心块有 1 个颜色，角块有3个颜色，棱块有 2 个颜色。

在正式开始学习魔方复原前，先掌握一些魔方的基础知识，会有利于后面的学习。下图是本教程介绍的三阶魔方入门的玩法（层先法）复原的基本步骤示意图：第一步：小白花（又称顶层架十字，黄色的中心块花蕊，四个白色的花瓣棱块）注：（本教程以白色为底面，为了方便交流与学习，请统一把白色作为底面）。图1 拿到一个打乱的魔方，先找到黄色的中心块，保持黄色中心块在上，开始找四个白色的棱块在哪里，如果有找到白色的棱块是已经在了上图中白色的位置，这代表该棱块已经完成，继续找其它没有完成的棱块。图101图102如果是图101或图102的情况，让该棱块的白色面对着自己，该棱块在靠左手位置，同时黄色面的左边没有白色花瓣，就向上转动左手一次，把该棱块的白色转动到黄色面，形成一个白色花瓣；如果在右手的位置，同时黄色面的右边没有白色花瓣，则向上转动右手一次，把该棱块的白色转动到黄色面形成一个花瓣。

公式符号说明左层向下转动90度左层向上转动90度右层向下转动90度右层向上转动90度上层向右转动90度上层向左转动90度前层顺时针转动90度前层逆时针转动90度魔方整体右转一次魔方整体左转一次如果是上图的情况（白色棱块白色面在中间层），请保持黄色中心块在上，整体转动魔方，直到该棱块的白色面对着自己。

两次图103如果是图103或图104的情况，该棱块在靠左手位置，同时黄色面的左边没有白色花瓣，就向上转动左手两次，把该棱块的白色转动到黄色面，形成一个白色花瓣；如果在右手位置，同时黄色面的右边没有白色花瓣，则向上转动右手两次，把该棱块的白色转动到黄色面形成一个花瓣。两次图104 图105如果是图105或106的情况，用右手手掌心对着前面的中心块，转动一次右手，这时图105和图 106的情况，就转换成图01和图02的情况。图106 图107如左图107，当白色棱块在1的位置，此白色棱块要到A的位置；如果A的位置有白色花瓣，需要调整A位置没有白色花瓣。图108 如右图108，当白色棱块在2的位置，此白色棱块要到B的位置； B的位置有白色花瓣，需要调整B位置没有白色花瓣。掌握上述方法的核心要点，对比自己手中打乱的魔方，找到白色的棱块，观察该棱块是1/2/3/4/5/6六种情况的那一种情况，归好类了，就参照教程中的步骤和方法来完成。遇到困难，多思考，多尝试很快就可以完成小白花了。

初中数学_探寻神奇的幻方教学设计学情分析教材分析课后反思

探寻神奇的幻方》教学设计教学目标： 1、综合运用有理数混合运算、字母表示数及其运算，探索三阶幻方的本质； 2、通过观察、猜想、归纳、类比等活动，初步积累构造三阶幻方的经验； 3、通过对蕴含在具体事物中的规律性结论进行分析和解释，初步获得“由特殊到一般”的探究问题的方法和经验； 4、进一步体验合作交流、自主探究的学习方式。教学重点：运用有理数混合运算、字母表示数及其运算，探索三阶幻方的本质。教学难点：对问题中所蕴含的规律进行分析，发展数感。教学过程：

1）将 0、1、2、3、4、5、6、 7、 8 这九个数字做成三阶幻方，最核心的位置数字是 ___ . 学生独立完成，的学习情况 2）将-2 、-1 、0、1、2、3、4、5、 6 这九个数填入九宫格里，使每行、每列及两条对角线上三个数第五、课堂小结角线上三个数的和都相等 4 3 8 练习：在下图的空格里，填上合适的数，使横行、竖列及两条对角线上三个数的和都相等 . 3 17 1 本节课你有哪些收获和启发？基本知识： 1、填三阶幻方的方法：九宫图、阶梯法 2、数的规律思想方法： 1. 数形结合． 2. 分类讨论 . （ 2）中间数 =幻和÷ 3. （3） b=（a+c ） ÷2 中间数 =横行、竖行和对角线剩余两数之和÷ 2 角数 =对角两旁数的和÷ 2 学生归纳总结，进一步明确本节课的学习重点，引导学生归纳本节的基本内容，让学生及时小结，教师展示知识并提炼本节课的数学思想方法．示探究的规律 Ppt 展示本节课的教学要点，便于学生掌握. Ppt 出示检测本节课题目第六、达标检测 4)C=(A+B)÷2

幻方解法整理归纳

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。 1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例）奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。口诀： 1居首行正中央, 依次右上莫相忘上出格时往下放, 右出格时往左放. 排重便往自下放, 右上出格一个样图一 2、单偶数阶幻方 ()1 2 2＋＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例） ①把()1 2 2＋＝m n阶的幻方均分成4个同样的小幻方A、B、C、D(如图二) 图二

（注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312a a ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方（2n a ＝）(如图三) 图三（因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方） ③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调(如图四)：图四不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时，1＝m ，所以本例中只取了一个数） ④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调。（如图五）图五 3、双偶数阶幻方m n 4＝——轴对称法（如图三：以八阶幻方为例） ① 把m n 4＝阶的幻方均分成4个同样的小幻方（如图六）图六

三阶魔方复原(带图讲解)

三阶魔方入门玩法教程下图是本教程介绍的三阶魔方入门的玩法（层先法）复原的基本步骤示意图：第一步：底棱归位（又称底部架十字）我们以白色中心块做底层（上黄下白，前蓝后緑，左橙右红）第二步：底角归位（复原魔方第一层四个角块）第三步：中棱归位（复原魔方中层四个棱块的步骤）魔方中间层共有四个棱块，也只是四个棱块需要复原（注意中间层没有角块哟），图3-1和图3-2是两个比较常见的情形，我们主要介绍的就是这两种情况的复原方法，仔细分析比较这两个公式，步骤虽然有点多，可是很好记忆哟。公式3-1：（R' U'R' U' R' ）(URUR) 公式3-2 ：（LU LUL）（U'L' U'L'）

第四步：顶棱面位（也称顶层架十字）魔方底下两层复原以后，我们接着要来复原最上面的顶层了。首先我们要在顶层架一个十字也就是让顶层的四个棱块先面位（先不考虑顺序是否正确）当顶棱已经面位，请省略这一步。这一步我们只用一个公式就可以完成顶部十字，如果你现在的状况正好是图4-1的情况，你只需要用一个公式4就可完成顶部十字公式4：F （R U R' U'）F' 如果是图4-2的情况，你只需要连续用两次公式即可完成两遍公式4 如果是图4-3的情况，我们用三次公式4即可转成十字。两遍公式4 + U + 公式4 第五步：顶角面位（魔方的四个顶角的顶面色全部调至顶面的步骤）当我们完成了顶层十字以后，我们来完成顶角的面位（即顶层角块的翻色），我们还是先观察一下，现在我们的魔方的四个角块是什么状况，如果是已经有一个角的黄色在顶层，其他三个角的顶面颜色不是黄色，我们来对照图5-1和图5-2看是那种情况，我们首先把顶层面是黄色的那个角块移动到前右的位置，再来对照图示，看是图5-1的情况还是图5-2的情况，是那种情况，我们对应用那个公式来完成即可完成顶角面位的步骤。公式5-1：R' U(UR U R' U R) 公式5-2：（U' R U'）（U' R' U'）（ R U' R'）如果不是这两种情况，那一定是下图中的其他5种情况其中的一种情况，按照这5种情况的对应图示放好自己的魔方，然后按照对应的操作步骤来完成。如图503的情况，顶层两

探寻神奇的幻方

综合与实践探寻神奇的幻方太原第二实验中学白志红学生起点分析 “探寻神奇的幻方” 是学生初中阶段接触的第一个“综合与实践”，学生此前已完成“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，部分学生对用1～9填成三阶幻方，在方法上有初步的感性认识.学生的认知条件决定了它主要立足于丰富学生的数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，对解决问题的方法和经验进行反思，从中感受对学生而言，一种全新的以自主探究为特色的学习方式. 教学任务分析本“综合与实践”以探寻三阶幻方的本质特征为载体，帮助学生感受图形的对称；提高字母表示数的技能和探索规律的能力；体验数形结合的思想.教学时要提供学生充足的探索数量关系并符号化的时间，培养学生言之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交流的能力，同时要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试，不要以教师的讲解代替学生的思考、讨论；可以组建四人活动小组，每组有一份评分标准（见教师用书），促成学生以良好的情感态度主动参与合作交流；引导学生在独立思考的基础上与同伴进行合作交流；教学目标 1、借助字母表示数、探索规律揭示几种简单的三阶幻方的本质特征；体验有理数混合运算、字母表示数、探索规律与几种简单的三阶幻方本质特征的内在联系；能够快速对含有具体数字的不完整幻方进行补充，掌握幻方的形成和相等关系的一般性描述. 2、在幻方规律的发现、幻方之间关系的探索过程中，形成初步的研究体验，获得一些发现问题、研究问题的经验，提高能力； 3、借助洛书、杨辉幻方等史料，帮助学生感受祖国文化的博大精深，增强民族自豪感，激发他们将民族瑰宝进一步发扬光大的信心和决心，从幻方对称的图形、美妙的结论中，初步感受数学的美. 教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备——查阅资料；第二环节：结识幻方；第三环节：研究三阶幻方；第四环节：制作三阶幻方；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.

七年级数学综合与实践：探寻神奇的幻方教案

综合与实践：探寻神奇的幻方教学目标 1．综合运用有理数混合运算、字母表示数及其运算，探索三阶幻方的本质特征。 2．经历观察、猜想、归纳、类比等活动初步积累构造三阶幻方的经验。 3．进一步体验合作交流、自主探究的学习方式。教学重点探索三阶幻方的本质特征教学难点构造符合要求的三阶幻方教法与学法指导: 教法：情景体验法、引导发现法。具体地，首先通过神话故事引入三阶幻方，学生从图形感受三阶幻方的对称美，然后设计一系列开放性的问题串引导学生独立思考、大胆质疑、交流合作，从而引导学生借助有理数混合运算、字母表示数及其运算，揭示简单的三阶幻方的本质特征，最后让学生应用归纳得到的本质特征尝试构造满足要求的三阶幻方，初步获取构造三阶幻方的经验。学法：小组讨论、自主探究、合作交流．教具准备：投影片教学过程：一、巧设情景，引入新课［师］语文课上我们学过很多古诗，大家能不能背一首？［生］能。背诵一首古诗。［师］其实，在数学中也有许多美妙古诗，今天老师就给大家带来一首，请看：（出示投影片）四海三山八仙洞，九龙王子一枝莲。二七六郎赏月半，周围十五月团圆。学生先默读这首诗，再齐声读这首诗。［师］要想解释这首诗的意思，先让我们先看看这首诗的来历吧。（引入神话传说）相传三千多年前大禹治水的时候，有一只神龟出自洛水。龟背上刻有神奇的图案。（出示投影片：龟背图） 97 54 32

这个龟背图很特别，用黑白圈来表示数，并用直线连接这9个数。你能说出它们分别代表哪些数吗？学生回答。白色是单数，黑色是双数。［师］这幅图被称为“洛书”，实际上是一个三阶幻方，（即三行三列九个方格）如图2（出示投影片2）。学生认识图2。［师］由于洛书是9个数组成，故称为“九宫”。我国的少数民族如：藏族和纳西族都曾有“九宫图”。这首诗就是当时赞美九宫图的。九宫图还有很多好听的名字，如宋朝数学家杨辉曾给它起名“纵横图”，后来传到外国，取名为“幻方”，意思是变幻莫测的方块。幻方曾使大数学家欧拉、著名物理学家富兰克林很感兴趣。但是外国人研究幻方比我们的祖先晚了两千多年。今天我们就来探寻神奇的幻方。教师板书课题。【设计意图：用一首古诗引入新课，可以激发学生强烈的求知欲；介绍神话故事和幻方的历史，使学生对幻方简单的了解，不仅有利于学生课余时间对幻方深入探究，还培养了学生民族自豪感。】二、明确任务小组探究［师］同学们仔细观察图2的幻方，先独立思考一下问题，然后小组讨论你没有解决的问题，10分钟后，每个小组选派一名代表展示你们的答案，比一比哪一个小组完成的更好！教师出示学习任务。(投影片出示课本“议一议”) 在如图的三阶幻方中：（1）每行、每列、每条对角线上的三个数之和分别是多少？你能发现哪些相等的关系？（2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些连线会构成一个怎样的图形？描述你得到的图形有什么特点？（3）你能否改变幻方中数字的位置，使它们仍然满足你刚才发现的那些相等关系？（4）在你构造的幻方中，最核心的位置是什么？有没有“成对”的数？

探寻神奇的幻方教学设计原稿

《探寻神奇的幻方》（1）教学设计甘肃省张掖市甘州区新墩镇中心学校闫治春一、教材分析《探寻神奇的幻方》是学生初中阶段接触的第一个“综合与实践”，这节内容是以古老的幻方知识为引子，以探寻三阶幻方的本质特征为载体，让学生借助对实际问题中的数量关系符号化抽象的过程，从而达成领会问题、探究方法、提升问题、解决问题的目标。本节共2课时，作为第一课时，重在引导学生获得“从特殊到一般”的研究方法，其过程是落实数学活动经验积累、学会学习的重要载体，其方法是一种全新的以自主探究为特色的学习方式。二、学情分析学生已完成了“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，有过“探索规律”的经历，对图形对称性也有初步了解。本节课主要面临的问题是从哪里入手以及从哪些角度研究三阶幻方的本质特征和构造思路，如何讲清特征背后的道理、提炼幻方构造的普适性方法。本节课是学生初中阶段第一次接触综合实践活动，其研究意识和研究思路还不成形，教学定位在示范引领学生初步掌握研究性学习的方法，以面向全体学生的数学活动为主线，在层层递进的探究过程中引导学生积累数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，进而从中感受和反思解决问题的方法和经验。三、任务分析《探寻神奇的幻方》是北师大版数学七年级上册综合与实践学习课题之一。根据新课标的要求，通过本课题的学习应让学生能够结合实际情境，经历解决具体问题的方案的过程；在参与过程中学会反思，并能进行交流，进一步获得数学活动经验；能够通过对有关知识的探讨，了解所学知识之间的关联，发展应用意识和能力。因此，本节课的设计以探寻三阶幻方的本质特征为载体，帮助学生感受图形的对称；以“有理数及其运算”与“整式及其加减”的知识为基础，提高字母表示数的技能和探索规律的能力；体验数形结合的思想.教学时要提供学生充足的探索数量关系并符号化的时间，培养学生言之有据的习惯，

幻方常规解法汇总

幻方常规解法汇总没法，组合数学还考幻方构造。这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数： 1、每一个数放在前一个数的右上一格； 2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； 3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； 4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； 5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。例，用该填法获得的5阶幻方：双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。如在三阶幻方中，每一对和为10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17 的数，是一对互补数。双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（16，11）（7，10）互换即可。对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。以8阶幻方为例： (1) 先把数字按顺序填。然后，按

三阶魔方入门教程(精编文档).doc

【最新整理，下载后即可编辑】三阶魔方入门玩法教程（为了便于学习，将魔方上黄下白，前蓝后緑，左橙右红放置）先了解一下公式中的字母含义

下图是本教程介绍的三阶魔方入门的玩法（层先法）复原的基本步骤示意图： 1,底棱归位2,底角归位3,中棱归位4,顶棱面位5,顶面归位 6, 顶角归位7,顶棱归位第一步：底棱归位（又称底部架十字，底层四个棱块正确复原的过程）魔方底层架十字可以无师自通，只是我们这一步要复原的四个棱块的相对位置顺序要注意，如果我们先复原了白蓝这个棱块，那我们在保持白色中心块在底部的情况下，白红的棱块就一定要放在白蓝棱块的右边，白橙棱块放在白蓝棱块的左边，白緑棱块放在白蓝棱块的对面，由于魔方的中心块不会发生变化，所以在复原的过程中，我们是以中心块为参照物的，第一步我们在复原白蓝、白红、白绿、白橙这四个棱块的时候，我们可以先把白色面旋转到顶层，和黄色中心块同一个平面，然后再把他对应的另一个颜色（蓝或红或緑或橙）经过旋转最上层，使之和对应的中心块的颜色同色，这样我们再旋转180度，对应的棱块就正确复原到底部了。注意：图101的情况是没有正确归位的情况，需要调整白蓝和白红两个棱块的位置，才是正确的完成了底棱归位图1 图101 第二步：底角归位（复原魔方第一层四个角块）魔方的四个底角正确归位以后一定会出现倒T字型，如图2所示，如果不是这样肯定是底面角块没有正确归位。底角归位也可无师自通，有兴致的朋友可以自己琢磨一些技巧和完成这一步。有难度的朋友可参考我下面介绍的一种技巧来完成，我们先看图2-1和图2-2，

首先我们先确定目标块的位置是在他要正确归位的正上面的位置，然后我们再看白色的面朝向何方，就很快的能快速判断出来是下图几种情况中的哪一种了。复原基本思想：先将目标角块调至顶层侧面，再转动能与之相连形成顺色整体的面，使目标角与底棱连成一个(1×1×2)的归位整体，再转至正确的位置。因此，下列的五个实例并没有必要当成公式来死记。图2 图2-1图2-2 公式2-1：（R U R' ）公式2-2 ：（F'U'F）记忆技巧：白色朝右，第一步就旋转右层记忆技巧：白色朝前，第一步就旋转前层图201图202图203用两次公式2-1用两次公式2-2用三次公式2-1 （R U R'）U' （R U R'）（F'U'F）U （F'U'F）（R U R'）（R U R'）U' （R U R'）第三步：中棱归位（复原魔方中层四个棱块的步骤）魔方中间层共有四个棱块，也只是四个棱块需要复原（注意中间层没有角块哟），图3-1和图3-2是两个比较常见的情形，我们主要介绍的就是这两种情况的复原方法，仔细分析比较这两个公式，步骤虽然有点多，可是很好记忆哟。当碰到图301的情形时，你需要的棱色块不在顶面，而在中间层棱块的位置，但颜色反了，碰到这种情况或者类似这种情况，我们就用3-1或者3-2的公式把最上面一层的其他颜色的棱块转移到该位置，我们要的那个蓝红棱块就自然换到顶层了，这稍微有点麻烦，不过这种转换的思想可好好领会一下，在以后的学习过程中会经常用到类似的魔方转换思想。

北师大版七年级数学(上册)《探寻神奇的幻方》参考教案

综合与实践探寻神奇的幻方学生起点分析 “探寻神奇的幻方” 是学生初中阶段接触的第一个“综合与实践”，学生此前已完成“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，部分学生对用1～9填成三阶幻方，在方法上有初步的感性认识.学生的认知条件决定了它主要立足于丰富学生的数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，对解决问题的方法和经验进行反思，从中感受对学生而言，一种全新的以自主探究为特色的学习方式. 教学任务分析本“综合与实践”以探寻三阶幻方的本质特征为载体，帮助学生感受图形的对称；提高字母表示数的技能和探索规律的能力；体验数形结合的思想.教学时要提供学生充足的探索数量关系并符号化的时间，培养学生言之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交流的能力，同时要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试，不要以教师的讲解代替学生的思考、讨论；可以组建四人活动小组，每组有一份评分标准（见教师用书），促成学生以良好的情感态度主动参与合作交流；引导学生在独立思考的基础上与同伴进行合作交流；教学目标 1、借助字母表示数、探索规律揭示几种简单的三阶幻方的本质特征；体验有理数混合运算、字母表示数、探索规律与几种简单的三阶幻方本质特征的内在联系；能够快速对含有具体数字的不完整幻方进行补充，掌握幻方的形成和相等关系的一般性描述. 2、在幻方规律的发现、幻方之间关系的探索过程中，形成初步的研究体验，获得一些发现问题、研究问题的经验，提高能力； 3、借助洛书、杨辉幻方等史料，帮助学生感受祖国文化的博大精深，增强民族自豪感，激发他们将民族瑰宝进一步发扬光大的信心和决心，从幻方对称的图形、美妙的结论中，初步感受数学的美. 教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备——查阅资料；第二环节：

趣味数学061：一些特殊的幻方

一些特殊的幻方由我国古代数学瑰宝“洛书”所开创的“幻方”，不仅以其特有的奇妙性质，受到世界各国数学爱好者的青睐，也成为数学文化中一个饶有兴味的课题。对此，前面在多篇文章中，已经做过一些介绍，这里再撷取几个比较特殊的幻方，供网友们玩赏。这些幻方的奇妙性质更加扑朔迷离，兴味无穷。一、间隔幻方 1 35 24 54 43 9 6 2 32 6 40 19 49 48 14 5 7 27 47 13 58 28 5 39 20 50 44 10 61 31 2 36 23 53 22 56 3 33 64 30 41 11 17 51 8 38 59 25 46 16 60 26 45 15 18 52 7 37 63 29 42 12 21 55 4 34 这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是260。如果，把这些数同时按行和列隔一个取一个，竟然可以组成两个四阶幻方： 1 24 43 6 2 35 54 9 32 47 58 5 20 13 28 39 50 22 3 64 41 56 33 30 11 60 45 18 7 26 15 52 37 它们每行、每列、每条对角线上4个数的和相等，都是130。所以，这个幻方叫做“间隔幻方”。

16 41 36 5 27 62 55 18 26 63 54 19 13 44 33 8 1 40 45 1 2 22 51 58 31 23 50 59 30 4 37 48 9 38 3 10 47 49 24 29 60 52 21 32 57 39 2 11 46 43 14 7 34 64 25 20 53 61 28 17 56 42 15 6 35 这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是260，而且每行、每列、每条对角线上8个数的平方和也相等，都是11180，所以，这个幻方叫做“多重幻方”。三、双料幻方 46 81 117 102 15 76 200 203 19 60 232 175 54 69 153 78 216 161 17 52 171 90 58 75 135 114 50 87 184 189 13 68 150 261 45 38 91 136 92 27 119 104 108 23 174 225 57 30 116 25 133 120 51 26 162 207 39 34 138 243 100 29 105 152 这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是840，而且每行、每列、每条对角线上8个数的积也相等，都是2058068231856000，所以，这个幻方叫做“双料幻方”。

幻方的性质与应用

郑州大学毕业论文题目：幻方的性质与应用学生姓名：学号：专业：信息与计算科学专业院（系）：完成时间 2010年5月20日目录

幻方的性质与应用 (1) 摘要 (1) 引言 (2) 1幻方及其基本性质 (2) 2幻方的构造 (4) 3幻方的应用 (8) 综述 (9) 结束语及致谢 (10) 参考文献 (10)

幻方的性质与应用【摘首先，我们简单的介绍一般幻方的定义以及一些特殊的幻方，然后随着我们对幻方的研究我们又着重介绍了幻方的一些构造，，最后我们浅谈一下有关幻方的应用前景，比方说在美术设计方面的应用，在智力开发方面的应用，在科学技术方面的应用等等。【abstract】 First, we simply introduce the general definition of magic squares as well as some special magic square，Then as we study magic squares we have highlighted some of the magic square construction，For example, from low-order magic square Magic Squares, Magic Squares of odd order, even order magic square construction and general construction of magic square.， Finally, we look at the Magic Square of prospects，For example, in the art design application, the application of intellectual development in science and technology-based applications。【关键字】幻方的定义幻方的构造幻方的应用【keyword】 The definition of magic squares Magic Square Application of Magic Squares 1幻方及其基本性质 1.1幻方的定义 1.2几种常见的幻方 2幻方的构造 2.1由低阶幻方构造高阶幻方的方法 2.2奇数阶幻方的构造 2.3偶数阶幻方的构造 2.4一般幻方的构造 3幻方的应用前景 3.1幻方应用于美术设计 3.2幻方应用于智力的开发功能 3.3幻方应用于科学技术之中引言所谓幻方也叫纵横图，就是在n′n的方阵中放入从1开始到2n个自然数，在一定的布局下各行，各列和两条对角线上的数字之和正好相等，这个和数就叫幻方常数或幻和。由于幻方具有这种特殊的性质，几千年来吸引着数学家和数学爱好者的兴趣，并进行了广泛深入的研究，在本论文中我们主要探讨幻方的基本性质及其构造它的一般方法，最后我们在浅谈一下有关它的一些应用前景。 1幻方及其基本性质 1.1幻方的定义幻方是一系列的数排列成一个方阵，使它的每行和，每列和以及每条

三阶魔方公式图文

查看文章三阶魔方还原公式图文教程（希望对新手有用 2010-02-16 19:20 魔方还原法Rubic's Cube Solution ————先看理论“ 魔方的还原方法很多在这里向大家介绍一种比较简单的魔方六面还原方法。这种方法熟练之后可以在大约30秒之内将魔方的六面还原。在介绍还原法之前，首先说明一下魔方移动的记法。魔方状态图中标有字母“F”的为前面，图后所记载的操作都以这个前面为基准。各个面用以下字 F：前面 U：上面 D：下面 L：左面 R：右面 H：水平方向的中间层 V：垂直方向的中间层魔方操作步骤中，单独写一个字母表示将该面顺时针旋转90度，字母后加一个减号表示将该面逆时针旋转90度，字母后加一个数字2表示将该面由上向下看来决定顺逆时针方向；V的情况下，由右向左看来决定顺逆时针方向。例如 U：将上层顺时针旋转90度 L-：将左面逆时针旋转90度 H2：将水平中间层旋转180度目录上层四角还原下层四角还原上下层八角还原上下层边块还原中层边块还原上层四角还原首先我们用最简单的几步使得上层的三个角块归位，暂不必考虑四周的色向位置）。还有一个角块存在五种情况，归位方法如下。 L D L- F- D- F D L2 D- L2 F L D- L- L- F- D F

下层四角还原上层四角归位后，将上层放在下面位置上，作为下层。然后看上层和四周的颜色和图案排列，按照以下的操作使上层四个角块一次归位。共存在七R2 U2 R- U2 R2 R- U- F- U F U- F- U F R R U R- U R U2 R- L- U- L U- L- U2 L R- U- F- U F R R U R- U- F- U- F R U- R- U- F- U F 上下层八角还原要是上层和下层八个角块色向位置全部相同，存在下面五种情况：当上下二层八个角块色向位置都不对时：按照(1)旋转。当下层四个角块色向位置不对，上层相邻两个角块色相位置对时：将上层色向位置相同的两个角块放在后面位置上，按照(2)旋转。当下层四个角块色向位置对，上层相邻两个角块色相位置也对时：将上层色向位置相同的两个角块放在前面位置上，按照(2)旋转后即变成第一种情当下层四个角块色向位置对，上层四个角块色向位置不对时：按照(2)旋转后即变成第二种情况。当下层相邻两个角块色向位置对，上层相邻两个角块色向位置也对时：将下层色向位置相同的两个角块放在右面位置上，上层色相位置相同的两个角旋转之后即变成第二种情况。 (1) R2 F2 R2 (2) R- D F- D2 F D- R 上下层边块还原按照下图所示操作方法将上下层的边块归位。在上层边块归位时，要注意四周的色向位置。留下一个边块不必马上归位，留作下层边块归位时调整上层三个边块归位之后，将该层放在下面位置上作为下层，然后将上层的四个边块归位。操作时，为了不破坏下层已经归位的边块，必须将下层留着上层要归位的边块的位置。 R- H- R R H R- F H- F- V- D2 V F H- F2 H2 F

三阶魔方简易教程(从零开始)

三阶魔方入门玩法教程朱智浩TEL: 下图是本教程介绍的三阶魔方入门的玩法（层先法）复原的基本步骤示意图：第一步：底棱归位（又称底部架十字，底层四个棱块正确复原的过程）第二步：底角归位（复原魔方第一层四个角块）魔方的四个底角正确归位以后一定会出现倒T字型，如图2所示，如果不是这样肯定是底面角块没有正确归位。图2图2-1图2-2 公式2-1：上右，左上，上左，左下公式2-2：上左，右上，上右，右下记忆技巧：白色朝前记忆技巧：白色朝前图201图202图203做完公式变图2-1（白色朝前）做完公式变图2-2做完公式变图2-1

第三步：中棱归位（复原魔方中层四个棱块的步骤）第四步：顶棱面位（也称顶层架十字，顶层四个棱块的顶面颜色和顶层中心块颜色一样）图4-1图4-2图4-3相对顶棱面位相邻顶棱面位无顶棱面位公式4：前顺，右上，上左，右下，上右，前逆公式4做两遍两遍公式4 + 上左+ 公式4 第五步：顶角面位（魔方的四个顶角的顶面色全部调至顶面的步骤）图5图5-1图5-2 公式5-1：右下，上左，上左，右上，上左，右下，上左，右上（小鱼①）公式5-2：上右，右上，上右，上右，右下，上右，右上，上右，右下（小鱼②）图501图502图503图504图505 公式5-2--公式5-1公式5-2--公式5-1公式5-2 --- 公式5-1公式5-1---公式5-1公式5-1--公式5-1注释：寻找一个侧面黄色，放右边前面，黄色朝前，顶面缺2个黄色，小鱼②开始，缺4块的，小鱼①开始第六步：顶角归位（面位的四个顶角的其他两面颜色和对应面的中心块颜色同色）图3图4 图3-1图3-2图301 公式3-1：右下，上右，右下，上右，右下，上左，右上，上左，右上公式3-2 ：左下，上左，左下，上左左下，上右，左上，上右，左上图301用3-1操作

小学思维数学讲义：幻方(一)-带详解

幻方（一） 1. 会用罗伯法填奇数阶幻方 2. 了解偶数阶幻方相关知识点 3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图： 98 76 54321 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33?的数阵称作三阶幻方，44?的数阵称作四阶幻方，55?的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样， 9 87654 32 1 13 414151 6 1297 8 105113 2 16 三、解决这幻方常用的方法 ⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和：所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独知识点拨教学目标

幻方

奇数阶幻方教授（带图） 11 18 25 2 9 10 12 19 21 3 4 6 13 20 22 23 5 7 14 16 17 24 1 8 15 （1）五阶幻方

（2）七阶幻方

22 31 40 49 2 11 20 21 23 32 41 43 3 12 13 15 24 33 42 44 4 5 14 16 25 34 36 45 46 6 8 17 26 35 37 38 47 7 9 18 27 29 30 39 48 1 10 19 28 （1）幻方简介：幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。幻方也是一种汉族传统游戏。旧时在官府、学堂多见。它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。幻方也称纵横图、魔方、魔阵，发源于中国古代的洛书——九宫图。公元前一世纪，西汉宣帝时的博士戴德在他的政治礼仪著作《大戴礼·明堂篇》中就有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛书九宫数记载。2500年前，孔子在他研究《易经》的著作《系词上传》中记载了：“河出图，洛出书，圣人则之。”最早将数字与洛书相连的记载是2300年前的《庄子·天运》，它认为：“天有六极五常，帝王顺之则治，逆之则凶。九洛之事，治成德备，监照下土，天下戴之，此谓上皇。”明代数学家程大位在《算法统宗》中也曾发出“数何肇？其肇自图、书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物”的感叹，大意是说，数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。《周易本义》中的《洛书》，一个三阶幻方宋杨辉著《续古摘奇算法》中曾叙述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”。（2）解幻方方法： 1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例）奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。

探寻神奇的幻方

探寻神奇的幻方摘要：魔方是我们常见的一种玩具，生活中随处可见，但又有多少人明白它的真正奥义呢？目录一、幻方的特点 (1) 二、尝试改变幻方 (2) 三、尝试构建新幻方..3 四、总结 (3) 五、知识延伸……..4-5 创作成员：陈炫均

一、研究幻方的特点：幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把“洛书”用数学符号翻译过来，就是一个三阶幻方。如图在上图中每行、每列、每条对角线上的三个数之和皆是15。这是幻方的特点，在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻洛书” 如果把和相等的每一组数分别连线，这些连线会构成一个“口字里面还有一个米字”的图形。

二、尝试改变幻方在发现了幻方的特点之后，我想要改变上图的数字位置，变成另一个新的幻方，如下图 6 1 8 7 5 3 2 9 4

三、尝试构建新幻方通过上面的幻方分析，我尝试构建一个三阶幻方取11、12、13、14、15、16、17、18、19 16 17 12 11 15 19 18 13 14 四、总结其实在我们解三阶幻方时是有一种规律的：如我们最开始的那个魔方，想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。这每对数的和再加上5都等于15，可确定中心格应填5，这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。先填四个角，若填两对奇数，那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的格里已不可再填奇数，不行。若四个角分别填一对偶数，一对奇数，也行不通。因此，判定四个角上必须填两对偶数。对角线上的数填好后，其余格里再填奇数就很容易了。五、知识延伸（1）幻方的种类：完全幻方：完全幻方指一个幻方行列、对角线，及“折断”了的对角线各数之和相等。

幻方求解新法

幻方求解新法摘要数学是美的,幻方更美,幻方是数学按着一种规律布局成的一种体系.每个幻方不仅是一个智力成就,而且还是一个艺术佳品,都以整齐划一,均衡对称,和谐统一的特性,迸发出耀人的数学美的光辉,具有很高的美学价值.幻方在数学教学中, 具有提高学生学习兴趣,美化教材,启迪思维的功能,幻方中数字的丰富变化,把数学教材中的各个内容联系起来.如方程幻方,根式幻方,分数幻方,黑洞数幻方,积幻方,差幻方,平方幻方等,它们都可用在数学教学当中,使数学内容产生魅力,当今的《奥林匹克数学》书中,幻方是一个重要内容.本文正是在此之上,详细介绍了幻方的起源,幻方的发展,现状以及应用前景,主要针对三阶幻方的解法作了探讨,尝试用非齐次线性方程组去寻找它的解,使三阶幻方的求解更加条理,思路更加清淅. 关键词：三阶幻方问题；非齐次线性方程组；三阶幻方

ABSTRACT Mathematics is beautiful, more beautiful, the illusion of illusion fang fang is a mathematical law according to layout of a kind of system. Each party is not only an illusion of intellectual accomplishments, but also an art market, with neat and tidy, balanced symmetrical, harmonious and unified, the characteristics of yewchung burst, mathematical beauty high aesthetic value. Illusion in mathematics teaching, improving students' learning interest and beautify the textbooks, enlightenment function of thinking, the illusion of rich change, the number of mathematics curriculum content of each link. If equation, radical unreal illusion, scores, black holes for unreal illusion, accumulate illusion, poor illusion, square illusion, such as used in mathematics teaching, make mathematics contents have charm, today's "Olympic mathematics, is an important content of illusion. In this paper, it introduced the origin, the illusion of the current development, the illusion and application prospect, mainly in the illusion of third-order method were discussed, try to use the homogeneous linear equations to find the solution, the illusion of the third-order solving more organized, thinking more clearer. Key words: third-order unreal square problem；Nonhomogeneous linear equations； Three order