概率论作业 (1) 答案

作业 （1）

一、单选题

1．设A ,B ,C 为三事件，下列命题成立的个数是（ C ）.

（1）“A ,B ,C 都不发生或全发生”可表示为：ABC ∪ABC ；

（2）“A ,B ,C 中不多于一个发生”可表示为：1-ABC ；

（3）“A ,B ,C 中不多于两个发生”可表示为：ABC ；

（4）“A,B,C 中至少有两个发生”可表示为：AB ∪BC ∪AC .

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

2．设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N(-1,2)，Y~N(1,3),则Z=X+2Y 仍是正态分布，且有( B )

A.Z~N(1,8)

B.Z~N(1,14)

C.Z~N(1,22)

D.Z~N(1,40)

3．设随机变量X 与Y 相互独立，且它们分别在区间［-1,3］和［2,4］上均匀分布，则E (XY )=( A )

A.3

B.6

C.10

D.12

4．设F 1(x )与F 2（x ）分别为随机变量X 1与X 2的分布函数，为了使F （x ）=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数，在下列各组值中应取( A ) A.32,55a b ==- B.22,33

a b == C.13,22a b =-= D.13,22

a b ==- 二、填空题

1、设,7.0)(,4.0)(==B A P A P 若B A ,互不相容，则=)(B P 0.3 ，若B A ,相互独立，则=)(B P 0.5 。

2、设随机变量X 的密度函数为

)0,00

10,)(>>???<<=k b x bx x f k （其他 且75.0)2

1(=>X P ，则b = 2 ,k= 1 。 3、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且),2()1(===X P X P 则EX= 2

三、计算题

1.有朋友自远方来访,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为0.3, 0.2, 0.1, 0.4,

如果他乘火车、轮船、汽车来的话,迟到的概率分别为1

111234－－－，，，而乘飞机不会迟

到。结果他迟到了,试问他是乘火车来的概率?

解：用4321,,,A A A A 分别表示朋友乘火车、轮船、汽车、飞机，B 表示朋友迟到了。则有

,

4.0)(,1.0)(,2.0)(,3.0)(4321====A P A P A P A P

.0)|(,121)|(,31)|(,41)|(4321====A B P A B P A B P A B P 由Bayes 公式，得2

1)|()()

|()()|(31111==∑=i i

i A B P A P A B P A P B A P . 2．设有八门大炮独立地同时向一目标各射击一发炮弹，若有不少于2发炮弹命中目标时，目标就会被摧毁，如果每门炮的命中率均为0.6，求目标被击毁的概率。

解：设A ＝{一门大炮命中目标}，则8门大炮向同一目标射击炮弹可视为8重Bernoulli 试验，P （A ）＝0.6，以X 表示命中目标的炮弹数，则X ~ b (k ,8,0.6).

P （目标被击毁）＝991.0)6.0,8,(1)6.0,8,(1

082=-=∑∑==k k k b k b

3. 一电子仪器由两个部件组成，以X 和Y 分别表示这两个部件的寿命（单位：千小时），已知X 和Y 的联合分布函数为：

0.50.50.5()1(,)0x y x y e e e F x y ---+?--+?=???

00x y ≥≥若，；其他

（1）问随机变量X 和Y 是否相互独立？

（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率。

解：(1) X 和Y 的分布函数分别为

0.51()(,)0

x X e F x F x -?-=+∞=?? ， 0x ≥若其他 0.51()(,)0

y Y e F y F y -?-=+∞=?? ，0≥若y 其他。 由于()()X Y F F x F y （x,y）=，所以X 和Y 相互独立。

（2）(0.1,0.1)(0.1)(0.1)P X Y P X P Y e α>>=>>=－0.1＝。