有理数培优题(有答案)之令狐文艳创作

有理数培优题

令狐文艳

基础训练题

一、填空：

1、在数轴上表示－2的点到原点的距离等于（）。

2、若∣a ∣=－a,则a （）0.

3、任何有理数的绝对值都是（）。

4、如果a+b=0,那么a 、b 一定是（）。

5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次，列式表示厚度是

（）。

6、已知||3,||2,||a b a b a b ==-=-，则a b +=（）

7、|2||3|x x -++的最小值是（）。

8、在数轴上，点A 、B 分别表示2

141，-，则线段AB 的中点所表示的数是（）。

9、若,a b 互为相反数，,m n 互为倒数，P 的绝对值为3，则

()

20102a b mn p p ++-=（）。

10、若abc ≠0，则||||||a b c a b c

++的值是（） . 11、下列有规律排列的一列数：1、43、32、85、5

3、…，其中从左到右第100个数是（）。

二、解答问题：

1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4，z 对应的点到-2对应的点

的距离是7，求x 、y 、 z 这三个数两两之积的和。

3、若2|45||13|4x x x +-+-+的值恒为常数，求x 满足的条件及此

时常数的值。

4、若,,a b c 为整数，且20102010||||1a b c a -+-=，试求

||||||c a a b b c -+-+-的值。

5、计算：－21 ＋65－127＋209－3011＋4213－56

15＋7217 6、应用拓展：将七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口

朝下。现要求每次翻转其中任意四只，使它们杯口朝向相反，

问能否经有限次翻转后，让所有杯子杯口朝下？

能力培训题

知识点一：数轴

例1：已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左

方，那么（）

A ．b ab <

B ．b ab >

C ．0>+b a

D ．0>-b a

拓广训练：

1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在

b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（）（“祖冲之杯”邀请赛试题）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3、把满足52≤

接。

2、利用数轴能直观地解释相反数；

例2：如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离

为5，那么A 、B 两点的距离为。

拓广训练：

1、在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则._________3=-a

2、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原

点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之

和等于。（北京市“迎春杯”竞赛题）

3、利用数轴比较有理数的大小；

例3：已知0,0<>b a 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系

是。（用“<”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题）

拓广训练：

1、若0,0>，比较m n n m n m n m --+--,,,,的大小，并

2、已知两数b a ,，如果a 比b 大，试判断a 与b 的大小

4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。

例5：有理数

c b a ,,在数轴上的位置如图所示，式子c b b a b a -++++化简结果为（）

1、有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，则化简

c c a b b a ------+11

a b

2、已知b b a b a 2=-++，在数轴上给出关于b a ,的四种情况如图

c a c -+-+-1化简后的结果是（）

（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题）

A ．1-

b B ．12--b a C ．

c b a 221--+ D ．b c +-21

D ．1-或23 2、（07乐山）如图，数轴上一动点A 向左移动2到达点B ，再向右移动5个单位长度到达点C 数为1，则点A 表示的数为（）

Ａ．7 Ｂ．3 Ｃ．3- Ｄ．2-

3、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，

点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数d c b a ,,,且102=-a d ，那么数

4、数d c b a ,,,所对应的点A ，B ，C ，D 在数轴上的位置如图所

示，那么c a +与d b +的大小关系是（）

5、不相等的有理数c b a ,,在数轴上对应点分别为A ，B ，C ，若

c a c b b a -=-+-，那么点B （）

6、设11++-=x x y ，则下面四个结论中正确的是（）

C ．有限个x （不止一个）使y 取最小值

D ．有无穷

多个x 使y 取最小值

7、在数轴上，点A ，B 分别表示31-和5

1，则线段AB 的中点所表示的数是。

8、若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 的取值范围是。

且,64366====d c b a 求c b a b d a -+---22323的值。

11、（南京市中考题）(1)阅读下面材料：

点A 、B 在数轴上分别表示实数b a ,，A 、B 两点这间的距离表示

为AB ，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，b a b OB AB -===；当A 、B 两点都不在原点时，

①如图2，点A 、B

都在原点的右边b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=； B (A)O B A O o B A O

②如图3，点A 、B 都在原点的左边

()b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=；

③如图4，点A 、B 在原点的两边()b a b a b a OB OA AB -=-+=+=+=。

综上，数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=。

（2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示-2和-5

的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离

是；

②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是，如果

2=AB ，那么x 为；

③当代数式21-++x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是；

④求1997321-+???+-+-+-x x x x 的最小值。

聚焦绝对值

一、阅读与思考

绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，

对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理

解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、

代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符

号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：

1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。

脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识

方法。

B A O

去绝对值符号法则：

2、恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离；b a -表示数a 、数b

的两点间的距离。

3、灵活运用绝对值的基本性质 ①0≥a ②222a a a ==③b a ab ?=④

()0≠=b b a b a ⑤b a b a +≤+⑥

b a b a -≥- 二、知识点反馈

1、去绝对值符号法则

例1：已知3,5==b a 且a b b a -=-那么=+b a 。

拓广训练：

1、已知,3,2,1===c b a 且c b a >>，那么()=-+2c b a 。（北京市

“迎春杯”竞赛题）

2、若5,8==b a ，且0>+b a ，那么b a -的值是（）

当1--=--+-=-++x x x x x ；

当11≤≤-x 时，()21111=--+=-++x x x x ；

当1>x 时()221111>=-++=-++x x x x x 。

比较可知，11-++x x 的最小值是2，故选A 。

解法2、由绝对值的几何意义知1-x 表示数x 所对应的点与数1所对应的点之间的距离；1+x 表示数x 所对应的点与数-1所对应的点之间的距离；11-++x x

距离和的最小值。如图易知

当11≤≤-x 时，

11-++x x 的值最小，最小值是2故选A 。

拓广训练：

1、已知23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求

b a +的值。

三、培优训练

1、如图，有理数b a ,则在4,2,,,2,--+---+b a b a a b a b b a 中，负数共有（）（湖

2、若m 是有理数，则m m -一定是（）

3、如果022=-+-x x ，那么x 的取值范围是（）

4、b a ,是有理数，如果b a b a +=-，那么对于结论（1）a 一定

不是负数；（2）b 可能是负数，其中（）（第15届江苏省

5、已知a a -=，则化简21---a a 所得的结果为（）

6、已知40≤≤a ，那么a a -+-32的最大值等于（）

7、已知c b a ,,都不等于零，且abc abc c c b b a a x +++=

，根据c b a ,,的不同取值，x 有（）

8、满足b a b a +=-成立的条件是（）（湖北省黄冈市竞

x x x x x x +-----2255的值为。 10、若0>ab ，则

ab ab b b a a -+的值等于。 11、已知c b a ,,是非零有理数，且0,0>=++abc c b a ，求

abc abc c c b b a a +++的值。

12、已知d c b a ,,,是有理数，16,9≤-≤-d c b a ，且

25=+--d c b a ，求c d a b ---的值。

13、阅读下列材料并解决有关问题：我们知道()()()

0000

<=>?????-=x x x x x x ，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式21-++x x 时，可令

01=+x 和02=-x ，分别求得2

,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的零点值）。在有理数范围内，零点值1-=x 和2=x 可将

全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：

（1）当1-

（2）当21<≤-x 时，原式=()321=--+x x ；

（3）当2≥x 时，原式=1221-=-++x x x 。

综上讨论，原式=()()()

2211123

2≥<≤--

（1）分别求出2+x 和4-x 的零点值；（2）化简代数式

42-++x x

14、（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？

（2）当x 取何值时，25+-x 有最大值？这个最大值是多少？

（3）求54-+-x x 的最小值。（4）求987-+-+-x x x 的最小

值。

15、某公共汽车运营线路AB 段上有A 、D 、C 、B 四个汽车站，

如图，现在要在AB 段上修建一个加油站M ，为了使加油站选址合理，要求A ，B ，C ，D 四个汽车站到加油站M 的路程总和最小，试分析加油站M 在何处选址最好？

16、先阅读下面的材料，然后解答问题：

在一条直线上有依次排列的()1>n n 台机床在工作，我们要设置

一个零件供应站P ，使这n 台机床到供应站P 的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：

A 2乙P （P ）12

①②

如图①，如果直线上有2台机床（甲、乙）时,很明显P设在

A和2A之间的任何地方都行,因为甲和乙分别到P的距离之和1

等于

A到2A的距离.

如图②,如果直线上有3台机床(甲、乙、丙)时，不难判断，P 设在中间一台机床

A处最合适，因为如果P放在2A处，甲和丙

分别到P的距离之和恰好为

A到3A的距离；而如果P放在别

处，例如D处，那么甲和丙分别到P的距离之和仍是

A处是最佳选择。不难知道，如果直线上有4台机床，

P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置。

在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算。

数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确

地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算

相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的

计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；

c b a a b b a 加法结合律加法交换律乘法运算律()()()?????+=+??=???=?ac ab c b a c

b a

c b a a b b a 乘法分配律乘法结合律乘法交换律例1：计算：??

? ??--+-??? ??---32775.2324523 解：原式=15.175.56.4375.26.43

2775.23246.4-=-=--=---++ 拓广训练：

1、计算（1）115292.011275208.06.0++--+-- （2）

941911764131159431+++??? ??+-??? ??+-+ 例2：计算：5025249???

? ??- 解：原式=()49825005025150105025110-=--=??

? ???-?-=???? ??-- 拓广训练：

1、计算：()??

? ??---????514131215432 2、裂项相消

（1）b a ab b a 11+=+；（2）()11111+-=+n n n n ；（3）

()m

n n m n n m +-=+11 （4）()()()()()

21111212++-+=++n n n n n n n 例3、计算2010

20091431321211?+???+?+?+? 解：原式=??? ??-+???+??? ??-+??? ??-+??? ?

?-201012009141313121211 =2010

1200914

1313121211-+???+-+-+- =20102009201011=- 拓广训练：

1、计算：2009

20071751531311????+?+?+? 3、以符代数

例4：计算：??

? ??-+÷??? ??-+39385271781712133937111712727717 解：分析：39

7610393711,17242617127,27341627717

=== 令A =3938527178171213-+，则A 23976101724262734163937111712727717=-+=-+ 原式=22=÷A A

拓广训练：

1、计算：

? ?????++???? ?????+++-??? ?????+++???? ??+???++20051312120061312112005131211200613121

4、分解相约

例

5：计算：293186293142842421??? ????+???+??+????+???+??+??n n n n n n 解：

原式

=()()()()293193129314214212421???

? ????+???+???+????+???+???+??n n =()()2

2193121421??????+???++???+???++???n n =729649314212=??? ?????? 三、培优训练

1、

a 是最大的负整数，

b 是绝对值最小的有理数，则200820092007b a +=。

2、计算：（1）1999

19971971751531?+???+?+?+?=；（2）()()()()[]??? ??-

÷-÷-+--?-243431622825.0=。 3、若a 与b -互为相反数，则ab

b a 199799189822+=。 4、计算：??? ??+???+++???+??? ??+++??? ??++989798

3981656361434121=。 5、计算：10987654322222222222+--------=。

6、99

98,19991998,9897,19981997----这四个数由小到大的排列顺序是。 7、（“五羊杯”）计算：86.66.68686.06284.3114.3?+?+?=

28864215144321-+???-+-+-+-???+-+-等于（） A ．41 B ．41- C ．21 D ．2

1- 9、（“五羊杯”）计算：4

5.41892235.2465÷?+÷?÷?+÷?=（） A ．25 B ．310 C ．920 D ．940 10、（2009鄂州中考）为了求2008322221++++ 的值，可令S

＝2008322221++++ ，则2S ＝20094322222++++ ，因此2S-S ＝

122009-，所以2008322221++++ ＝122009-仿照以上推理计算出

2009325551++++ 的值是（）

A 、15

2009-B 、152010-C 、4152009-D 、4152010- 11、2004321,,,a a a a ???都是正数，如果

()()

200432200321a a a a a a M +???++?+???++=，()()200332200421a a a a a a N +???++?+???++=，那么N M ,的大小关系是

12、设三个互不相等的有理数，既可表示为a b a ,,1+的形式，又可表示为b a

b ,,0的形式，求20001999b a +的值（“希望杯”邀请赛试题）

13、计算

（1）()000000164.05700006.019.000036.07.5?-?-?（2009年第二十

届“五羊杯”竞赛题）

（2）()()()()()??? ??-÷????????-÷-+-?-??? ??-+-?-2423431625.6134313825.0（北

京市“迎春杯”竞赛题）

14、已知n m ,互为相反数，b a ,互为负倒数，x 的绝对值等于3，

求()()()20032001231ab x n m x ab n m x -++++++-的值

15、已知022=-+-a ab ，求

()()()()

()()2006200612211111+++???+++++++b a b a b a ab 的值（香港竞赛）

16、（2007，无锡中考）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形

如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上

一层多一个圆圈，一共堆了n 层．将图1倒置后与原图1拼成

图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为(1)1232n n n +++++=．图１图 2 图3 图4

如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆

圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1234，，，，，则最底

层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆

圈中都按图4的方式填上一串连续的整数23-，22-，21-，

，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．

【专题精讲】

【例1】计算下列各题

⑴32333333251233()0.750.5()(1)()4()44372544

-?+?-+??+÷- ⑵12713923(0.125)(1)(8)()35

-?-?-?- 【

例2】计算：1234567891011122005200620072008--++--++--+++--+ 【例3】计算：⑴

111111261220309900++++++⑵1111133557

99101++++???? 反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是

两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可以用裂项相消法

()()n n k k n n k =-++ ③1

[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++④1

()(1)(1)211n n n n =--+-+

【例4】（第18届迎春杯）计算：1

112481024++++ 【例5】计算：

2341235859()()()()23344455556060606060++++++++++++++++ 【例6】（第8届“希望杯”）计算：

【例7】请你从下表归纳出333331234n +++++的公式并计算

出：33333123450+++++的值。【实战演练】 1、用简便方法计算：999998998999998999999998?-?= 2、（第10届“希望杯”训练题）

(1)(1)(1)(1)(1)20042003100210011000-?-??-?-?-=

3、已知

199919991999

200020002000200120012001

,,199819981998199919991999200020002000a b c ?-?-?-=-=-=-?+?+?+则

abc =

4、计算：1

111315131517293133+++=??????

5、（“聪明杯”试题）212424824()139261839n n n

n n n ??+??++??=??+??++??

6、1

(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++?????的值得整数

7、48121640133557791921

-+-+-=????? 8、计算：23201012222S =++++

+ 9、计算111112123123100+++???+++++++???+的值. 10、计算：

1111

32010241111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)223234232010

； 9、－8； 10、±3，±1； 11、101200

6、不可能，因为每次翻转其中任意4个，无论如何翻转，杯口朝上的个数都是奇数个，所以不可能让杯口朝上的杯子个数为偶数零，故不可能。

3、因为25,52a a <≤-≤<-，所

例4、解：当45a <<时，4a >；当44a -≤≤时，4a ≤；当

15-； 8、b x a ≤≤； 9、195

221

10、5； 11、①3，3，4；②1x +，1或－3；③12x -≤≤；④997002

拓广训练：1、通过零点值讨论得a=5,b=5;所以a+b=10.

9、1； 10、1或－3； 11、0； 12、－7；

13、⑴零点值分别为－2，4. ⑵略。(分三种情况讨论)

14、⑴、3； ⑵、-2； ⑶、1； ⑷、2

15、加油站应建在D,C 两汽站之间(包括D,C 两汽车站) 16、95172

有理数的运算

例1、拓广训练：⑴－1.2； ⑵16211

9985997，－8； 3、1； 4、12252

； 5、6；

6、199819979897199919989998-<-<-<-；

7、C ；

8、D ；

9、B ； 10、20105214-(原题无答案)； 11、 A;

12、0；解析如下：由题意：10b a b a b a

≠+≠≠≠且 13、⑴31.846810-?，⑵－92

14、28或－26； 15、20072008

； 16、67，1209 专题讲解