2020-2021学年山东省实验中学高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年山东省实验中学高一（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，5}，B＝{1，3，6}，则?U（A∩B）＝（）
A．{4}B．?C．{1，2，4，5，6}D．{1，2，3，5，6} 2．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A．f（x）＝2x，g（x）＝
B．f（x）＝|x|，g（x）＝
C．f（x）＝，g（x）＝x+1
D．f（x）＝?，g（x）＝
3．（5分）命题“?x≥0，x3+x≥0”的否定是（）
A．?x＜0，x3+x＜0B．?x＜0，x3+x≥0
C．?x≥0，x3+x＜0D．?x≥0，x3+x≥0
4．（5分）在同一坐标系中，函数f（x）＝ax+与g（x）＝ax2的图象可能是（）A．B．
C．D．
5．（5分）已知4枝郁金香和5枝丁香的价格小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格大于24元．设2枝郁金香的价格为A元，3枝丁香的价格为B元，则A，B的大小关系为（）
A．A＞B B．A＝B C．A＜B D．不确定
6．（5分）若函数y＝f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）＝0，则的解集为（）
A．（﹣3，3）B．（﹣3，0）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
7．（5分）若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（）
A．2B．2C．5D．4
8．（5分）定义域是R的函数f（x）满足f（x）＝﹣f（﹣x），当x∈（0，2]时，f（x）＝
若x∈[﹣2，0）时，f（x）≥﹣有解，则实数t的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2﹣]∪[﹣2+，+∞）B．（﹣∞，2﹣]∪（0，2+]
C．（﹣∞，﹣2﹣]∪（0，﹣2+]D．（﹣∞，﹣]∪（0，]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）满足M?{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M可能是（）A．{a1，a2}B．{a1，a2，a3}
C．{a1，a2，a4}D．{a1，a2，a3，a4}
10．（5分）设函数f（x）定义域（﹣1.1），且满足：
①xe∈（﹣1，0）时，f（x）＞0；
②f（x）+f（y）＝f（），x，y∈（﹣1，1）．
则下列说法正确的是（）
A．f（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数
C．f（x）在定义域上是减函数
D．f（x）在定义域上是增函数
11．（5分）若a，b，c为实数，下列说法正确的是（）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．“关于x的不等式ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“a＞0，b2﹣4ac≤0”
D．“a＜1”是“关于x的方程x2+x+a＝0有两个异号的实根”的必要不充分条件12．（5分）对于定义在R上的函数f（x），下列说法正确的是（）
A．若f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称
B．若对x∈R，有f（x+1）＝f（x﹣1），则f（x）的图象关于直线x＝1对称
C．若函数f（x+1）的图象关于直线x＝﹣1对称，则f（x）为偶函数
D．若f（1+x）+f（1﹣x）＝2，则f（x）的图象关于点（1，1）对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）＝．
14．（5分）幂函数y＝（m2﹣m﹣5）x的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为
15．（5分）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如图：
高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表
高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/
千瓦时）
低谷月用电量
（单位：千瓦时）
低谷电价（单位：
元/千瓦时）
50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288
超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元（用数字作答）
16．（5分）函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．若A＝{y|y＝[x]+[2x]+[3x]，0≤x≤1}，则A中所有元素的和为．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知关于x的不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是M．
（1）若a＝3，求解集M；
（2）若M＝{x|＜x＜2}，解关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0．
18．（12分）已知函数．
（1）若函数g（x）＝f（x）﹣a为奇函数，求a的值；
（2）试判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．
19．（12分）已知函数f（x）＝．
（1）解不等式f（x）＞1；
（2）若f（x）+t＜0对任意实数x都成立，求实数t的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）．
（1）若a＝b＝1，求f（x）在[t，t+1]上的最大值；
（2）若f（x）在区间[2，4]上的最大值为9，且最小值为1，求实数a，b的值．21．（12分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，在党和国家强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情，之后一方面防止境外输入，另一方面复工复产，某厂经调查测算，某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并将定价提高到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+a+3，g（x）＝mx+5﹣2m
（1）当a＝﹣3，m＝0时，求方程f（x）﹣g（x）＝0的解；
（2）若方程f（x）＝0在[﹣1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；
（3）当a＝0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围．
2020-2021学年山东省实验中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，5}，B＝{1，3，6}，则?U（A∩B）＝（）
A．{4}B．?C．{1，2，4，5，6}D．{1，2，3，5，6}【分析】求出A∩B＝{3}，由此能求出?U（A∩B）．
【解答】解：∵集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，5}，B＝{1，3，6}，
∴A∩B＝{3}，
?U（A∩B）＝{1，2，4，5，6}．
故选：C．
【点评】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A．f（x）＝2x，g（x）＝
B．f（x）＝|x|，g（x）＝
C．f（x）＝，g（x）＝x+1
D．f（x）＝?，g（x）＝
【分析】判断每个选项的两函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的为同一函数，否则不是同一函数．
【解答】解：A．f（x）＝2x的定义域为R，的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数；
B．f（x）＝|x|的定义域为R，＝|x|的定义域为R，定义域和对应关系都相同，是同一函数；
C.的定义域为{x|x≠1}，g（x）＝x+1的定义域为R，定义域不同，不是同
一函数；
D.的定义域为{x|x≥1}，的定义域为{x|x≤﹣1或x≥
1}，定义域不同，不是同一函数．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和对应关系是否都相同，考查了计算能力，属于基础题．
3．（5分）命题“?x≥0，x3+x≥0”的否定是（）
A．?x＜0，x3+x＜0B．?x＜0，x3+x≥0
C．?x≥0，x3+x＜0D．?x≥0，x3+x≥0
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为?x≥0，x3+x＜0，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
4．（5分）在同一坐标系中，函数f（x）＝ax+与g（x）＝ax2的图象可能是（）A．B．
C．D．
【分析】可先根据a的符号判断一次函数的图象的倾斜角以及它与y轴的交点，二次函数的图象的开口方向，然后作出选择．
【解答】解：当a＞0时，g（x）＝ax2的图象是开口向上的抛物线，函数f（x）＝ax+的图象是一条斜率为a直线，倾斜角为锐角，故A满足条件，B、C、D不满足条件．当a＜0时，g（x）＝ax2的图象是开口向下的抛物线，函数f（x）＝ax+的图象是一条
斜率为a直线，倾斜角为钝角，且直线过定点（0，），4个选项都不满足条件．故选：A．
【点评】本题主要考查函数的图象特征，一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等，体现了分类讨论的数学思想，
属于基础题．
5．（5分）已知4枝郁金香和5枝丁香的价格小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格大于24元．设2枝郁金香的价格为A元，3枝丁香的价格为B元，则A，B的大小关系为（）
A．A＞B B．A＝B C．A＜B D．不确定
【分析】设每枝郁金香和每枝丁香的价格分别为x元和y元，列出不等式组，把不等式组的右侧常数化为同一个数，得出不等式即可得出结论．
【解答】解：设每枝郁金香和每枝丁香的价格分别为x元和y元，
由题意可知：，即，
∴，
∴22x+11y＞16x+20y，即2x＞3y．
故A＞B．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题．
6．（5分）若函数y＝f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）＝0，则的解集为（）
A．（﹣3，3）B．（﹣3，0）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
【分析】利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．
【解答】解：因为y＝f（x）为偶函数，所以，
所以不等式等价为．
因为函数y＝f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）＝0，
所以解得x＞3或﹣3＜x＜0，
即不等式的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用数形结合的思想是解决本题的关键．7．（5分）若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（）A．2B．2C．5D．4
【分析】根据题意，分析可得+＝+＝++3，结合基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若正实数a，b，满足a+b＝1，
则+＝+＝++3≥2×+3＝5，
当且仅当b＝3a＝时等号成立，
即+的最小值为5；
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的形式，属于基础题．8．（5分）定义域是R的函数f（x）满足f（x）＝﹣f（﹣x），当x∈（0，2]时，f（x）＝
若x∈[﹣2，0）时，f（x）≥﹣有解，则实数t的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2﹣]∪[﹣2+，+∞）B．（﹣∞，2﹣]∪（0，2+] C．（﹣∞，﹣2﹣]∪（0，﹣2+]D．（﹣∞，﹣]∪（0，]
【分析】由题意可知函数f（x）是R上的奇函数，画出函数f（x）在[﹣2，2]上的大致图象，得到当x∈[﹣2，0）时，0＜f（x）≤1，由题意可知，从而求出t的取值范围．
【解答】解：∵定义域是R的函数f（x）满足f（x）＝﹣f（﹣x），
∴函数f（x）是R上的奇函数，
又∵当x∈（0，2]时，f（x）＝，
∴利用函数的奇偶性画出函数f（x）在[﹣2，2]上的大致图象，如图所示：
，
当x∈[﹣2，0）时，0＜f（x）≤1，
∵若x∈[﹣2，0）时，f（x）≥﹣有解，
∴，
即，
解得：x或0，
故选：B．
【点评】本题主要考查了分段函数的应用，考查了解不等式，是中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）满足M?{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M可能是（）A．{a1，a2}B．{a1，a2，a3}
C．{a1，a2，a4}D．{a1，a2，a3，a4}
【分析】根据条件即可得出集合M一定含元素a1，a2，可能含a4，然后即可得出集合M 可能的情况．
【解答】解：∵M?{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}，
∴集合M一定含元素a1，a2，可能含a4，
∴M＝{a1，a2}或{a1，a2，a4}．
故选：AC．
【点评】本题考查了列举法的定义，子集的定义，交集的定义及运算，属于基础题．10．（5分）设函数f（x）定义域（﹣1.1），且满足：
①xe∈（﹣1，0）时，f（x）＞0；
②f（x）+f（y）＝f（），x，y∈（﹣1，1）．
则下列说法正确的是（）
A．f（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数
C．f（x）在定义域上是减函数
D．f（x）在定义域上是增函数
【分析】由条件②，令x＝y＝0，可得f（0）＝0，再令y＝﹣x，即可得到f（x）+f（﹣x）＝0，从而可得函数的奇偶性，判断选项A，B；利用函数单调性的定义，结合条件①可得函数f（x）的单调性，从而判断选项C，D．
【解答】解：f（x）+f（y）＝f（），
令x＝y0，则f（0）+f（0）＝f（0），
所以f（0）＝0，
令y＝﹣x，则f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，
又因为x∈（﹣1，1），
所以f（x）为奇函数，故A对，B错；
任取﹣1＜x1＜x2＜0，
所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝f（），
因为﹣1＜x1＜x2＜0，所以x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，所以1﹣x1x2＞0，
所以＜0，因为+1＝＞0，所以＞﹣1，所以﹣1＜＜0，
由条件①得f（）＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＝＞0，
所以f（x）在（﹣1，0）上单调递减，
所以f（x）在（﹣1，1）上单调递减，故C对，D错．
故选：AC．
【点评】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的判断，属于中档题．
11．（5分）若a，b，c为实数，下列说法正确的是（）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．“关于x的不等式ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“a＞0，b2﹣4ac≤0”
D．“a＜1”是“关于x的方程x2+x+a＝0有两个异号的实根”的必要不充分条件
【分析】根据不等式的基本性质，可以判断选项A、B是否正确；通过举反例可以判断选项C错误；求出命题成立的充要条件，判断选项D正确．
【解答】解：对于A：若a＞b，则ac2＞bc2，在c＝0时不成立，所以A错误；
对于B：根据不等式的性质，若a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，
所以﹣a2＜﹣ab，﹣ab＜﹣b2，
所以a2＞ab，ab＞b2，即a2＞ab＞b2，选项B正确；
对于C：a＝b＝0，c＝0时，不等式ax2+bx+c≥0也恒成立，所以选项C错误；
对于D：方程x2+x+a＝0有两个异号的实根的充要条件是a＜0，
所以a＜1是“关于x的方程x2+x+a＝0有两个异号的实根”的必要不充分条件，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了简易逻辑推理的应用问题，是基础题．
12．（5分）对于定义在R上的函数f（x），下列说法正确的是（）
A．若f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称
B．若对x∈R，有f（x+1）＝f（x﹣1），则f（x）的图象关于直线x＝1对称
C．若函数f（x+1）的图象关于直线x＝﹣1对称，则f（x）为偶函数
D．若f（1+x）+f（1﹣x）＝2，则f（x）的图象关于点（1，1）对称
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，将f（x）的图象向右平移1个单位得到函数f（x﹣1）的图象，f（x）为奇函数，则其图象关于点（0，0）对称，则函数f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，A正确；
对于B，若对x∈R，有f（x+1）＝f（x﹣1），即f（x﹣2）＝f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，其图象不一定关于直线x＝1对称，B错误，
对于C，将f（x+1）的图象向右平移1个单位得到函数f（x）的图象，若函数f（x+1）的图象关于直线x＝﹣1对称，则f（x）的图象关于直线x＝0对称，即f（x）为偶函数，C正确，
对于D，若f（1+x）+f（1﹣x）＝2，即f（1+x）﹣1＝﹣[f（1﹣x）﹣1]，则f（x）的图象关于点（1，1）对称，D正确，
故选：ACD．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质，涉及函数的周期性分析，属于基础题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）＝．
【分析】利用指数幂的运算法则即可得出．
【解答】解：原式＝﹣1﹣+＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了指数幂的运算法则，属于基础题．
14．（5分）幂函数y＝（m2﹣m﹣5）x的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为m＝3
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质可得m2﹣m﹣5＝1，且m2﹣4m+1为偶数，由此求得m的值．
【解答】解：∵幂函数y＝（m2﹣m﹣5）x的图象分布在第一、二象限，
∴m2﹣m﹣5＝1，且m2﹣4m+1为偶数，求得m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
15．（5分）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如图：
高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表
高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/
千瓦时）
低谷月用电量
（单位：千瓦时）
低谷电价（单位：
元/千瓦时）
50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288
超过50至200的部
分
0.598超过50至200的部分0.318
超过200的部分0.668超过200的部分0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为148.4元（用数字作答）
【分析】先计算出高峰时间段用电的电费，和低谷时间段用电的电费，然后把这两个电费相加．
【解答】解：高峰时间段用电的电费为50×0.568+150×0.598＝28.4+89.7＝118.1 （元），低谷时间段用电的电费为50×0.288+50×0.318＝14.4+15.9＝30.3 （元），
本月的总电费为118.1+30.3＝148.4 （元），
故答案为：148.4．
【点评】本题考查分段函数的函数值的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．16．（5分）函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．若A＝{y|y＝[x]+[2x]+[3x]，0≤x≤1}，则A中所有元素的和为12．
【分析】推导出A＝{y|y＝[x]+[2x]+[3x]，0≤x≤1}＝{0，1，2，3，6}，由此能求出A中所有元素的和．
【解答】解：∵函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，
∴A＝{y|y＝[x]+[2x]+[3x]，0≤x≤1}＝{0，1，2，3，6}，
则A中所有元素的和为0+1+2+3+6＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查集合中所有元素的和的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知关于x的不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是M．
（1）若a＝3，求解集M；
（2）若M＝{x|＜x＜2}，解关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0．
【分析】（1）不等式为3x2+5x﹣2＞0化为（3x﹣1）（x+2）＞0，解得即可．
（2），2是方程ax2+5x﹣2＝0的两根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．
【解答】解：（1）当a＝3时，所以不等式为3x2+5x﹣2＞0，即（3x﹣1）（x+2）＞0，解得x＜﹣2或x＞，
所以集合M＝{x|x＜﹣2或x＞}，
（2）∵M＝{x|＜x＜2}，
∴，2是方程ax2+5x﹣2＝0的两根，
∴×2＝﹣，
∴a＝﹣2，
∴不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0即为﹣2x2﹣5x+3＞0，即（2x﹣1）（x+3）＜0，
解得﹣3＜x＜，
故解集为{x|﹣3＜x＜}．
【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a的值，是解答本题的关键．
18．（12分）已知函数．
（1）若函数g（x）＝f（x）﹣a为奇函数，求a的值；
（2）试判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．
【分析】（1）根据函数的奇偶性求出a的值即可；
（2）根据函数的单调性的定义证明即可．
【解答】解：（1）由已知g（x）＝f（x）﹣a，
得g（x）＝1﹣a﹣，
∵g（x）是奇函数，
∴g（﹣x）＝﹣g（x），
即1﹣a﹣＝﹣（1﹣a﹣），
解得a＝1 （5分）
（2）函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．（6分）
证明如下：设任意x1，x2满足0＜x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝（1﹣）﹣（1﹣）＝，
∵0＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0
从而＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数（12分）
【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查根据单调性的定义证明函数的单调性问题，是一道中档题．
19．（12分）已知函数f（x）＝．
（1）解不等式f（x）＞1；
（2）若f（x）+t＜0对任意实数x都成立，求实数t的取值范围．
【分析】（1）分段求出不等式f（x）＞1的解集．再取并集即可．
（2）分段求出f（x）的范围，再取并集得到f（x）的范围，进而求出﹣f（x）的范围，f
（x）+t＜0对任意实数x都成立，等价于t＜﹣f（x）对任意实数x都成立，只需t小于﹣f（x）的最小值即可．
【解答】解：（1）由题意f（x）＝，
①当x＜﹣1时，f（x）＝x﹣5＞1，
解得：x＞6，
又∵x＜﹣1，
∴无解，
②当﹣1≤x≤2时，f（x）＝3x﹣3＞1，
解得：x＞，
又∵﹣1≤x≤2，
∴，
③当x＞2时，f（x）＝﹣x+5＞1，
解得：x＜4，
又∵x＞2，
∴2＜x＜4，
综上所述，不等式f（x）＞1的解集为：（，4）．
（2）①当x＜﹣1时，f（x）＝x﹣5＜﹣6，
②当﹣1≤x≤2时，﹣6≤f（x）＝3x﹣3≤3，
③当x＞2时，f（x）＝﹣x+5＜3，
所以f（x）≤3，
所以﹣f（x）≥﹣3，
∵f（x）+t＜0对任意实数x都成立，
∴t＜﹣f（x）对任意实数x都成立，
∴t＜﹣3，
即实数t的取值范围为：（﹣∞，﹣3）．
【点评】本题主要考查了分段函数的应用，考查了解不等式，是中档题．
20．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）．
（1）若a＝b＝1，求f（x）在[t，t+1]上的最大值；
（2）若f（x）在区间[2，4]上的最大值为9，且最小值为1，求实数a，b的值．
【分析】（1）对称轴定，区间动，分类讨论，利用对称轴与区间的位置关系，解出函数在区间的最值；
（2）由函数解析式可知函数在区间[2，4]上单调递增，可解出a，b的值．
【解答】解：（1）f（x）＝x2﹣2x+2，x∈[t，t+1]，
因为对称轴x＝1，而，所以，
①t+≤1，即t时，最大值f（t）＝t2﹣2t+2；
②t+，即t时，最大值f（t+1）＝t2+1；
综合可知，t时，最大值为t2﹣2t+2；t时，最大值t2+1；
（2）因为函数f（x）图象的开口方向向上，且对称轴方程为x＝1，
所以，函数f（x）在区间[2，4]上单调递增，
∴，
解得，．
【点评】本题考查了含参的二次函数求最值问题，已知最值求参数问题，属于中档题．21．（12分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，在党和国家强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情，之后一方面防止境外输入，另一方面复工复产，某厂经调查测算，某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并将定价提高到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
【分析】（1）设每件定价为t元，由题意列关于t的不等式求解；
（2）当x＞25时，不等式ax≥25×成立，分离参数a，再由基本不等式求最值，则答案可求．
【解答】解：（1）设每件定价为t元，依题意得，
≥25×8，整理得t2﹣65t+1000≤0，解得25≤t≤40．∴要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为40元；
（2）依题意，当x＞25时，不等式ax≥25×成立，
等价于x＞25时，a有解，
由于，当且仅当，即x＝30时等号成立．
∴a≥10.2．
故当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时商品的每件定价为30元．
【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了不等式的解法及利用基本不等式求最值，是基础题．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+a+3，g（x）＝mx+5﹣2m
（1）当a＝﹣3，m＝0时，求方程f（x）﹣g（x）＝0的解；
（2）若方程f（x）＝0在[﹣1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；
（3）当a＝0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）直接把a＝﹣3，m＝0代入方程，求解一元二次方程得答案；
（2）求出函数f（x）的对称轴，得到f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，由函数在区间[﹣1，1]上存在零点得不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围；
（3）把对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立转化为函数y ＝f（x）的值域为函数y＝g（x）的值域的子集，然后求g（x）的值域得答案．
【解答】解：（1）当a＝﹣3，m＝0时，求方程f（x）﹣g（x）＝0化为x2﹣4x﹣5＝0，解得：x＝﹣1或x＝5；
（2）∵函数f（x）＝x2﹣4x+a+3的对称轴是x＝2，
∴f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，
∵函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则必有：
，即，解得﹣8≤a≤0．
故所求实数a的取值范围为[﹣8，0]；
（3）若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，
只需函数y＝f（x）的值域为函数y＝g（x）的值域的子集．
f（x）＝x2﹣4x+3，x∈[1，4]的值域为[﹣1，3]，
下面求g（x）＝mx+5﹣2m的值域．
①当m＝0时，g（x）＝5﹣2m为常数，不符合题意舍去；
②当m＞0时，g（x）的值域为[5﹣m，5+2m]，要使[﹣1，3]?[5﹣m，5+2m]，
需，解得m≥6；
③当m＜0时，g（x）的值域为[5+2m，5﹣m]，要使[﹣1，3]?[5+2m，5﹣m]，
需，解得m≤﹣3．
综上，m的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）．
【点评】本题考查了函数的零点，考查了函数恒成立问题，训练了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．