安徽省滁州市2020-2021学年度上学期期末试卷数学(文)试题 (含答案)

安徽省滁州市2020-2021学年度上学期期末试卷

高二（文科）数学

考生注意：

1、本试卷分为选择题和非选择题。考试时间：120分钟，满分150分。

2、本卷命题范围：选修1-1。

第I卷选择题(60分)

一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1.已知条件p：x<－3或x>1，条件q：x>a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )

A．a≥－1 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤－3

2.已知命题p：5≥3；命题q：若x2＝4，则x＝2，则下列判断正确的是( ) A．p∨q为真，p∧q为真，?p为假

B．p∨q为真，p∧q为假，?p为真

C．p∨q为假，p∧q为假，?p为假

D．p∨q为真，p∧q为假，?p为假

3.下列命题错误的是( )

A．命题“若p，则q”与命题“若q，则p”互为逆否命题

B．命题“?x0∈R，x－x0>0”的否定是“?x∈R，x2－x≤0”

C．?x>0且x≠1，都有x＋>2

D．“若am2

4.已知椭圆＋＝1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝4x＋m对称，则实数m的取值范围是( )

A． B．

C． D．

5.已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，则满足△PF1F2的周长为6＋2

的动点P的轨迹方程为( )

A．＋＝1 B．＋＝1(x≠0) C．＋＝1 D．＋＝1(x≠0) 6.已知点A(1,2)是抛物线C：y2＝2px与直线l：y＝k(x＋1)的一个交点，则抛物线C的焦点到直线l的距离是( )

A． B． C． D． 23

7.设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，点P处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为( )

A．∪ B．∪

C． D．

8.设f(x)为可导函数且满足＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )

A． 2 B．－1 C． 1 D．－2

9.正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )

A． [0，]∪[，π) B． [0，π)

C [，] D． [0，]∪[，]

10.已知f(x)＝ln x，则f′(1)的值为( )

A． 1 B．－1 C． e D．0

11.已知函数y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，xf′(x)＜f(－x)成立(其中f′(x)是f(x)的导函数)，若a＝f()，b＝f(1)，c＝f，则a，b，c的大小关系是 ( )

A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b

12.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则x为多少时，银行可获得最大收益．( )

A．0.016 B． 0.032 C． 0.024 D． 0.048

第II卷非选择题(90分)

二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)

13.如图是y＝f(x)的导函数的图象，现有四种说法：

①f(x)在(－3,1)上是增函数；

②x＝－1是f(x)的极小值点；

③f(x)在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数；

④x＝2是f(x)的极小值点；

以上正确的序号为____________．

14.已知函数f(x)在x＝1处的导数为1，则＝________.

15.如图，直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线

的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为______．

16.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线y

＝x被椭圆C截得的线段长为，则椭圆C的方程为________．

三、解答题(共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. (10分) 给定两个命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0恒成立；q：

关于x的方程x2－x＋a＝0有负实数根．如果p或q为真命题，p且q为假命题，

求实数a的取值范围．

18. (12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点P到左，右两焦点F1，F2的距离之

和为2，离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M(0，)满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．

19. (12分)过双曲线－＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F

为左焦点．

1

(1)求|AB|；

(2)求△AOB的面积．

20. (12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．

(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；

(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

21. (12分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x －4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)求证曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.

22. (12分)货车欲以x km/h的速度行驶，去130 km远的某地，按交通法规，限制x的允许范围是50≤x≤100，假设汽油的价格为2元/升，而汽车耗油的速率是升/小时．司机的工资是14元/小时，试问最经济的车速是多少？这次行车往返的总费用最低是多少？

参考答案

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

C D D B B B A B A C A B

13.②③

14.1

15. 48

16. ＋y2＝1

17.对于命题p：当a＝0，不等式ax2＋ax＋1＞0变为1＞0，对任意实数x恒成

立；

当a≠0时，对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0恒成立，必需

解得0＜a＜4，∴0≤a＜4.

对于命题q：关于x的方程x2－x＋a＝0有负实数根，需a＜0，

∴当a＜0时，命题q为真命题．

∵p或q为真命题，p且q为假命题，

∴p与q必然一真一假．

若p真q假，则解得0≤a＜4；

若p假q真，则解得a＜0.

∴实数a的取值范围是a＜4.

18.解(1)由题意知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，

所以a＝.

又因为e＝＝，

所以c＝×＝1，

所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，

所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.

(2)已知F2(1,0)，直线斜率显然存在，

设直线的方程为y＝k(x－1)，

A(x

，y1)，B(x2，y2)，

1

联立直线与椭圆的方程得

化简得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，

所以x1＋x2＝，

y

＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.

1

所以AB的中点坐标为(，)．

①当k≠0时，AB的中垂线方程为y－＝－ (x－)，

因为|MA|＝|MB|，

所以点M在AB的中垂线上，

将点M的坐标代入直线方程得，

＋＝，

即2k2－7k＋＝0，

解得k＝或k＝；

②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意．

所以斜率k的取值为0，或．

19.(1)由双曲线的方程得a＝，b＝，

∴c＝＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．

直线AB的方程为y＝(x－3)．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x2＋6x－27＝0. ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.

∴|AB|＝|x1－x2|

＝·

＝·＝.

(2)直线AB的方程变形为x－3y－3＝0.

∴原点O到直线AB的距离为

d＝＝.

∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝.

∴△AOB的面积为.

20.(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，

∴p＝2，故所求的抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.

(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，由得y2＋2y

－2t＝0，

∵直线l与抛物线C有公共点，

∴Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.

另一方面，由直线OA与直线l的距离等于，

可得＝，∴t＝±1，

由于－1?[－，＋∞)，1∈[－，＋∞)，

∴符合题意的直线l存在，其方程为y＝－2x＋1.

21.(1)解7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，

当x＝2时，y＝.

又f′(x)＝a＋，所以解得

故f(x)＝x－.

(2)证明设点P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋可知，曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为

y－y

＝(x－x0)，

即y－＝(x－x0).

令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－).

令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0).

所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为··|2x0|＝6.

故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x围成的三角形的面积为定值，此定值为6.

22.单程行驶：汽车运行的时间为小时，耗油量为·升，耗油费用为2··元，司机的工资为14×元，

故这次行车的单程费用为

y＝2··＋14·＝130·.

所以y′＝130·.

令y′＝0得，x＝18≈57(km/h)，

当50≤x＜18时，y′＜0，y单调递减；

当18≤x≤100时，y′＞0，y单调递增，

当x＝18时，y取得最小值，

即所以y＝130×≈82.2(元)．

所以最经济的车速是57 km/h，这次行车往返的总费用最低约为2×82.2＝164.4(元)．