利用基本不等式求最值的类型及方法
利用基本不等式求最值的类型及方法 1
解析:y x 2(x 1) (x 1)
2(x 1)
x 1 x 1
2(x 1)「(x " T T ⑺1(x 1)
、几个重要的基本不等式:
①a2b2 2ab ab 2 ,2
a b /
(a、
2
b R),当且仅当a = b时,“=号成立;
3 2 2 2(x 1)2 1
2 ab ab a b
-2_
2
(a
、
当且仅当
b R ),当且仅当a = b时,“=号成立;
1 2(x
2 2(x 1)2
5
1)即x 2时,=”号成立,故此函数最小值是 -。
2
③a3b3
3
3 a
c 3abc abc —
b3 c
3
3
-(a、b
、
c R ),当且仅当a = b = c时,“号成立;
评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常
要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。
类型n:求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值:
3
b c 33 abc abc -_b_c
(a、
3
,当且仅当 a = b = c时,“号成立. ①
y x2(3 2x)(0 x 2
② y sin xcosx(0 x —)
注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件: 正”
、定、三等;
2x
②熟悉一个重要的不等式链:占
a b ab
2 2
a b
--------- 。
2 当且仅当
2 (
3 2x)(0
x 3 2x 即x 1
时,
x x(3 2x) [X x(3 2x)]3 1 ,
3
=”号成立,故此函数最大值
是
二、函数f(x) ax b(a、
x
② Ox
0)图象及性质
,.?. sin x 0,cos x
2
2
0,则y 0 ,欲求y的最大值,可先求y的最大值。
(1)函数f(x) ax a
、
0图象如图:
⑵函数f (x) ax a
、
0性质:
①值域: ,2 ab] [2 ab,);
②单调递增区间:(£],
三、用均值不等式求最值的常见类型
类型I:求几个正数和的最小值。
例1、求函数y x
1
2 (x 1)的最小值。
2(x 1)2
);单调递减区间:(0, ],[ ,0).
2 ?4 2
y sin x cos x
当且仅当
sin2x
.2
sin x
此函数最大值是^2-3。
9
sin x coSx
2cos x (0
2 2 2
1.2 .2^ 2、 1 ,sin x sin x 2cos x、3 4
(sin x sin x 2cosx) (
2 2
tanx . 2 ,即x arctan . 2 时
评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。
通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。类型川:用
均值不等式求最值等号不成立。
4
x —
x
例3、若x、y R,求f (x)
解法一:(单调性法)由函数f(x)
=”号成立,故
通常要
(0 x 1)的最小值。
K
ax - (a、b 0)图象及性质知,当x
x
(0,1]时,函
数
f (x) x -是减函数。证明:
x
任取X1, X2 (0,1]且0 X1 X2 1,则
f (xj f (
X 2) (X 1
4
4
X 2
)( )
X 1 x 2
(X 1 X 2) 4 X 2 为 X-|X 2
(X 1 X 2) X1X2 4 , x 1x 2 ??? 0 x 1 X2 1 : >
…
X 1 X 1X 2 4 X 2 0, X-|X 2
0, 则 f(X 1)
f (X 2) 0 f (X 1) f(X 2),
即 f(x)
X 4
X
在(0,1上是减函数。
故当
X 1时, f (X) X
4
在(0,1上有最小值5。
X
解法二:
(配方法) 因 0 X 1,则有 f (X)
X
x)2
4,
易知当0 x 1时, 2
- x 0且单调递减,则f (x )
当且仅当x 8即x
x 8
f(x) X 解法三: (拆分
法)
解法三:(三角换元法)令
则:X 2y
I T sin x cos x
10 2 (8cot x) (2tan 2 x)
12,此时y
. 2 sin
x
=”号成立,故此函数最小值是
18。
X )2 4在(0,1]上也是减函
数,
-在(0,1上是减函数,当 x 1时,f (x ) x
X
-在(0,1上有最小值5。
x
则有
8csC 2
cos x
x 2sec x
18,易求得x
8 -: 2 sin x
1 2
cos x
2 2 2 2
8(1 cot x) 2(1 tan x) 10 8cot x 2tan x 12,此时y 3时=”号成立,故最小值是
18。
评析:此类问题是学生求解易错得一类题目,解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法:
8 1 8 1 __________________
x 2 y ( )(x 2y ) 2、 x 2 y 8。原因就是等号成立的条件不一
致。
x y Y x y
4 \
13 J 1
f (x) x (0 x 1) (x )
2 x
x \
x x V x
类型V:利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 例5、已知正数x 、y 满足xy x y 3,试求xy 、x y 的范围。 当且仅当x 1时“=”成立,故此函数最小值是 5。 评析:求解此类问题,要注意灵活选取方法,特别是单调性法具有一般性,配方法及拆分法 解法一:由x 0, y
0 ,则 xy x y 3 xy 3 x y 2 xy ,
即 C xy)2
2 xy
3 0 解得;xy
例4、 8 已知正数x 、y 满足一 1 1 求X 2y 的最小值。 X y
解法- 」:(利用均值不等式) X 2y (§ 1 )(x 2y) 10 X 16y 10 2 x 16y 18,
X y y X ■ y X 8 1 1 当且仅当
x y
即X 12,y 3时=”号成立, 故此函数最小值是 18。 也是较为简洁实用得方法。 类型W:条件最值问题。 当且仅当x 当且仅当x
解法二:由x
0,y
则:y
y 且xy x y 3 即 x
xy 计2
2
y 且xy x 0 , xy
y 3时取=”号,故xy 的取值范围是[9, (x y)2
4(x y) 12 0 x y
2(舍)或x
3时取="号,故x y 的取值范围是[6, (x 1)y
解法
二: (消兀法)
由
8 X
1 y 1得y X
由y 0
X
0 又 x 0
x 8
x 8,则
x 8 '
2x 2(x 8) 16
16 ,
小、16
l~ 16
x 2y
X
X
X 2 (x 8) 10 2 (x 8)
10 18。
x 8
X 8
x 8 x 8 V x 8
x 16y y x
则:xy
当且仅当
3 x 2 3x 1 x 1 2
(x 1)
5(x 1)
(x 1) —5
2 (x 1) 4
x 1
x 1
G (x
0)即x 3,并求得y 3时取 “=号,故xy 的取值范围是 [9,
(x 1) 4
2 2(x 1)
x 1
2x 9 3
9
3一 2x 2
3 2x 2x —2
33
36
x x
t (
x x 1 评析:解法一具有普遍性,而且简洁实用, 四、均值不等式易错例析: X 4 x 9
的最值。 当且仅当 0)即 x 3 , 并求得y 3时取=”号,故xy 的取值范围是[9,)。 易于掌握,解法二要求掌握构造的技巧。 当且仅当2x
,即x
3
36 2
3^36
时等号成立,所以当 x —岀时, 2
Y min
33 36 o
例1.求函数y 例3.
(x
R )的最小
值。
错解:y 4x9 x 2 13x 36 13 当且仅当 x 36 13 2 x 36 25 x x 错解: 因为y
2
x
:2
-x 4
x 36即x 6时取等号。所以当
x
6时,y 的最小值为25,此函数没有最大值。 分析: 忽视了取最小值时须
2 x 2
1
4
R
所以y min 2
/
4成立的条件, 而此式化解得
x 2
3,无解,所
因为函数y x 4 x 9的定义域为
x
,0 0, ,所以须对x 的正负加以分类讨论。 c , 36
36 __ 正解:1)当 x 0 时,y 13 x 13 2 J x — 25
x 1
, x 分析:上述解题过程中应用了均值不等式,却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。 以原函数y 取不到最小值2。 正解:令t < x 2
4 t 2,则y 1 t -(t 2)
当且仅当x 36即x
x 6时取等号。所以当x 6 时,Y min 25 2)当x 0时, x 0, 36 门 0, x x 36 36
2 x —— x 、 x 12
y 13 [( x) (- 36 )]13 12 x
1
当且仅当 x 36
x
即x 6时取等号,
所以当 x 6 时,Y max 13 12 1
例2.当x 0时, 求y 4x 9
2 x -的最小值。
又因为t
1 时,y t
-是递增的。所以当t 2,即x t
时,
y
min
错解:因为x 0,y 4x 所以当且仅当4x 3
9时, :4 y min
6x 2318
。 分析:用均值不等式求 和”或积”的最值时,必须分别满足 积为定值”或和为定值”而上述解法 9
中4x 与 号 的积不是定值,导致错误。
x
例4?已知x, y 1,求u x y 的最小值
错解:1
- x
分析:解题时两次运用均值不等式,但取等号条件分别为
时成立,故取不到最小值 8.
正解:u (x y
当且仅当
8, u 的最小值为8.
y ,而这两个式子不能同
二)
3,y 6时等号成立. 的最小值为9.
综上所述,应用均值不等式求最值要注意:
一要正:各项或各因式必须为正数;
二可定:必须满足和为定值"或积为定值”要凑出和为定值"或积为定值"的式子结构,如
1
果找不出 定值”勺条件用这个定理,求最值就会出错; 三能等:要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值。 解:令x
t(t 2),则 y
x 2
5
x 2
4
4
1 x
2 4
t t (t 2)
技巧一:凑项 5 x ,求函数y 4x 2
例1 :已知 1
的最大值。 4x 5 1不在区间2,
,故等号不成立,考虑单调
性。
解:因4x 5 0 ,所以首先要“调整” 符号,又 (4x 2)
1
不是常数,所以对 4x 2要进行
Mx 5 因为y t
1
-在区间
t
1,
单调递增,所以在其子区间
2,
为单调递增函数,故
y -。
2
拆、凑项,
当且仅当5 4x 5
, 5 4x 0,
4
1
,即x 5 4x 4x 2 1 5 4x 5 4x
1 3
2 3 1,
5 4x
所以,所求函数的值域为
5 2,
1时,上式等号成立,故当 1 时,y max 1。 技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,
要注意取等号的条件的一致性
否则就会出错。。
技巧二:凑系数 例2.当 时,求y x(8
解析:由 「■二知,;;匚 ,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,注意到 2x (8 2x) 8为定值,故只需将 y x(8 2x)凑上一个系数即可。 2x)的最大值。 2 :已知x 0, y 0 ,且- x -1,求 x
y
y 的最小
值。
丿=^(8-2x)气[2工?(E - 2巾 <
扩”:一吟-8
当二 「■',即x = 2时取等号 当x = 2时,y x(8 2x)的最大值为 & 技巧三:分离 2 x 7 x 10 例3.求y -------------------- (x 1)的值域。 1 0,y 0 x
弐 10 6 10
y
16
当且仅当 9x 时, y
上式等号成立,又
可得 x 4,y 12 时,
¥ min 16。
x 1 解:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有( X + 1 )的项,再将其分离。 4 —+5 歹+1
当“、T ,即■ _ 1 时,y 1)— 5 9 (当且仅当x = 1时取“=”号)。 巩固练习: 1、已知:
2
a, m b ,贝y mx (A) ?一
ab a (B)
—
b
2
(C)
: a 2 b 2
2 ny 的最大值为(
2
V a 2
(D)-
2、 若 a,x, y
I -------
(A) 2、2
3、 已知下列不等式:① ,且x y
(B) 2
x 3
3
a x y 恒成立,则
(C)2
2x(x R );
a 5 a 的最小值是
b 5 (D)1
,
3. 2
a b
a 2
b 3(a, b
技巧四:换元 解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元, 4 t
2 2 (t 1) 7(t 1)+10 _t 5t 4 丄
— t t 4
当:、,即t=八「 时,y 2 5 9 (当
t=2即x = 1时取“=”号)。
技巧五:在应用最值定理求最值时,
例:求函数y -x 5
的值域。
J x 2
4
t=x + 1 ,化简原式在分离求最值。
③a 2 (A)0 个 4、设 a,b (A) (a
b 2 1 1
b)(
; J 2(a b 1).其中正确的个数是
(B)1 个
(C)2 个
,则下列不等式中不成立的是
2 ,2
a b (B)
2 ab 若遇等号取不到的情况, 应结合函数f (x) x 旦的单调性。
x
5、设 a,b R 且2a
1,S 、ab
2 ab 4a 2 (A) 2 6、若实数
■ 2 1
(B)
—T
a,b 满足a b 2,则3a
(A)18
7、若正数 ) (D)3 个 )
1 吋ab b 的最大值是( 4
2 ) (D) 24 3
(C) - ab 3b 的最小值是
(C) 2 3
(B)6
a, b 满足ab a b 3,则ab 的取值范围是
(D 半.ab
a b
8、若x,y R ,且2x y 1,则--的最小值为____________________________
x y
利用基本不等式求最值的技巧Word文档
利用基本不等式求最值的技巧 在运用基本不等式ab b a 222≥+与2b a ab +≤ 或其变式解题时,要注意如下技巧 1:配系数 【例1】已知2 30<
【解】由于2>x ,所以, 3124)2(2124)2(2)2(3)22(26322=+-?-≥+-+-=---+-=-+-=x x x x x x x x x x y 当且仅当2 42-=-x x 即4=x 时,3min =y . 4:巧用”1”代换 【例4】已知正数y x ,满足12=+y x ,求y x 21+的最小值. 【解】注意到844244)21()2(21=+?≥++=+?+=+x y y x x y y x y x y x y x ,当且仅当x y y x =4即2 1,41==y x 时,8)21(min =+y x . 一般地有,2)())((bd ac y d x c by ax +≥++,其中d c b a y x ,,,,,都是正数.这里巧妙地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解. 【例5】已知正数z y x ,,满足1=++z y x ,求z y x 941++的最小值. 【解】注意到y z z y x z z x x y y x z y x z y x z y x 499414)941()(941++++++=++?++=++ 36492924214=?+?+?+≥y z z y x z z x x y y x ,当且仅当x y y x =4,x z z x =9,y z z y 49=即2 1,31,61===z y x 时,36)941(min =++z y x . 5:换元 【例6】已知c b a >>,求c b c a b a c a w --+--=的最小值. 【解】设c b y b a x -=-=,,则c a y x -=+,y x ,都是正数,所以42≥++=+++=x y y x y y x x y x w ,当且仅当x y y x =即b c a 2=+时,
基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧题型分析
基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧题型 分析 The latest revision on November 22, 2020
基本不等式应用 一.基本不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ (当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和 为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.
(2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+ 12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4 x <,求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42) 45 x x --不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项,
基本不等式应用-解题技巧归纳
基本不等式应用解题技巧归纳 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x 技巧一:凑项 例1:已知54x <,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。 技巧三: 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 技巧四:换元 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()a f x x x =+的单调性。例:求函数2 y = 练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. (1)231,(0)x x y x x ++=> (2)12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈
2.已知01x <<,求函数y = 的最大值.;3.203x <<,求函数y =. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ,则b a 33+的最小值是 . 变式:若44log log 2x y +=,求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。 2:已知0,0x y >>,且 191x y +=,求x y +的最小值。 变式: (1)若+∈R y x ,且12=+ y x ,求y x 11+的最小值 (2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ,求y x +的最小值 技巧七、已知x ,y 为正实数,且x 2 +y 22 =1,求x 1+y 2 的最大值. 技巧八:已知a ,b 为正实数,2b +ab +a =30,求函数y =1ab 的最小值. 变式:1.已知a >0,b >0,ab -(a +b )=1,求a +b 的最小值。 2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。
利用基本不等式求最值的类型及方法
利用基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式: ①,、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②, 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③,、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; ④)(333 3 + ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; ② 熟悉一个重要的不等式链:b a 112 +2a b ab +≤≤≤ 2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab ; ②单调递增区间:(,]b a -∞,[,)b a +∞;单调递减区间:(0,b a ,[,0)b a . 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1)y x x x =+ >-的最小值。 解析:21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 3 2 111 31 222(1)x x x --≥??-312≥+52=, 当且仅当 211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时,“=”号成立,故此函数最小值是5 2 。 评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值: ①23 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析:① 30,3202 x x <<->∴, ∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3 (32)[]13 x x x ++-≤=, 当且仅当32x x =-即1x =时,“=”号成立,故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴,则0y >,欲求y 的最大值,可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2 x x x =??22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π << tan 2x ?=2x arc = “=”号成立,故 23 评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ:用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ,求4 ()f x x x =+ )10(≤
(全)基本不等式应用_利用基本不等式求最值的技巧_题型分析
基本不等式应用 一.基本不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
必修5--基本不等式几种解题技巧及典型例题
均值不等式应用(技巧)技巧一:凑项 1、求y = 2x+ 1 x - 3 (x > 3)的最小值 2、已知x > 3 2 ,求y = 2 2x - 3 的最小值 3、已知x < 5 4 ,求函数y = 4x – 2 + 1 4x - 5 的最大值。 技巧二:凑系数 4、当0 < x < 4时,求y = x(8 - 2x)的最大值。 5、设0 < x < 3 2 时,求y = 4x(3 - 2x)的最大值,并求此时x的值。 6、已知0 < x < 1时,求y = 2x(1 - x) 的最大值。 7、设0 < x < 2 3 时,求y = x(2 - 3x) 的最大值 技巧三:分离 8、求y = x2 + 7x + 10 x + 1 (x > -1)的值域; 9、求y = x2 + 3x + 1 x (x > 0)
的值域 10、已知x > 2,求y = x2 - 3x + 6 x - 2 的最小值 11、已知a > b > c,求y = a - c a - b + a - c b - c 的最小值 12、已知x > -1,求y = x + 1 x2 + 5x + 8 的最大值 技巧四:应用最值定理取不到等号时利用函数单调性 13、求函数y = x2 + 5 x2 + 4 的值域。 14、若实数满足a + b = 2,则3a + 3b的最小值是。 15、若 + = 2,求1 x + 1 y 的最小值,并求x、y的值。 技巧六:整体代换 16、已知x > 0,y > 0,且1 x + 9 y = 1,求x + y的最小值。
17、若x、y∈R+且2x + y = 1,求1 x + 1 y 的最小值 18、已知a,b,x,y∈R+ 且a x + b y = 1,求x + y的最小值。 19、已知正实数x,y满足2x + y = 1,求1 x + 2 y 的最小值 20、已知正实数x,y,z满足x + y + z = 1,求1 x + 4 y + 9 z 的最小值 技巧七:取平方 21、已知x,y为正实数,且x2 + y2 2 = 1,求x 1 + y2的最大值。 22、已知x,y为正实数,3x + 2y = 10,求函数y = 3x + 2y的最值。 23、求函数y = 2x - 1 + 5 - 2x(1 2 < x < 5 2 )的最大值。 技巧八:已知条件既有和又有积,放缩后解不等式 24、已知a,b为正实数,2b + ab + a = 30,求函数y = 1 ab 的最小值。
利用基本不等式求最值的类型及方法
1 利用基本不等式求最值的类型及方法 1 解析:y x 2(x 1) (x 2(x 1) 1) 芳 1(x 1) -1 ?」1(x 1) 2 2 2(x 1) 、几个重要的基本不等式: ① a 2 b 2 2ab a 2 b 2 ab (a 、b R ),当且仅当a = b 时,"=”号成立; 2 1 2 2(x 1) ② a b 2 ab 2 a b ab (a 、b R ),当且仅当a = b 时,“=”号成立; 2 当且仅当 1)即x 2时,“ 5 ”号成立,故此函数最小值是 -。 2 ③ a 3 b 3 c 3 3abc 3 abc ― b 3 3 3 c ( (a 、 立; ④ a b c 3v abc abc a b 3 c (a abc 3 a 、 b 、 c R ),当且仅当a = b = c 时,“=”号成 b 、 c R ),当且仅当a = b = c 时,“=”号 成立? 注:①注意运用均值不等式求最值时的条件:一 “正”、二“定”、三“等”; 评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常 要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型n :求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值: ①y x 2 (3 2x)(0 x 2 ② y sin xcosx(0 x ) 2 ② 熟悉一个重要的不等式链: b 2 2 解析:①Q 0 x - ,? 3 2 2x ?- y 当且仅当 (3 2x)(0 x 3 2x 即 x ,?? sin x 2 3 x x (3 2x) 3 )x x (3 2x) [ ] 1 , 2 3 1时,“=”号成立,故此函数最大值是 1 。 0,cos x 0,则y 0 ,欲求y 的最大值,可先求y 2的最大值。 二、函数 f(x) ax X b 0)图象及性质 (1)函数 f(x) ax b a 、 X b 0图象如图: ⑵函数 f(x) ax b a 、 X b 0性质: ①值域:( J 2 ab] [2 一ab,); ②单调递增区间:( 2 . 4 2 y sin x cos x 当且仅当 故此函数最大值是 sin 2 x sin 2 x coSx 1 2 2 2 (sin x sin x 2cosx) 2 1 sin 2 x sin 2x 2co^ x 3 4 「 -------- —) 刃 .2 sin x 2cos x (0 tan x 2,即 x arctan^^ 时“=”号成立, );单调递减区间: b ], a ,[ (0, ,0) ? 评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型川:用均值不等式求最值等号不成立。 4 x — x 例 3、若 x 、y R ,求 f (x ) (0 x 1)的最小 值。 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型I :求几个正数和的最小值。 解法一:(单调性法)由函数 f(x) K ax - (a 、b 0)图象及性质知,当 x (0,1]时,函数 x 例1、求函数y 1 x 2^(x 1) 的最小值。 f (x ) x -是减函数。证明: x 任取 X 2 (0,1]且 0 禺 X 2 1,则 f(xj f(X 2) (X 1 X 2) (— —) (X 1 X 2)4 匹 为 (X 1 X 2)4 , x-1 X 2 X !X 2 X 1X 2
基本不等式求值的类型与方法-经典大全
基本不等式求最值的类型与方法-经典大全
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5 6 专题:基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式: ①,、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②, 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③,、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; ② 熟悉一个重要的不等式链:b a 112 +2a b ab +≤≤≤ 2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ; ②单调递增区间:(,]b a -∞-,[,)b a +∞;单调递减区间:(0, ]b a ,[,0)b a -. 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析:21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1) x x x x --=+++>- 3 2 111 31222(1) x x x --≥??+-312≥+52=, 当且仅当 211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时,“=”号成立,故此函数最小值是5 2 。 评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值: ①23 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析:①30,3202 x x << ->Q ∴, ∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3 (32)[]13 x x x ++-≤=, 当且仅当32x x =-即1x =时,“=”号成立,故此函数最大值是1。 ②0,sin 0,cos 02 x x x π << >>Q ∴,则0y >,欲求y 的最大值,可先求2y 的最 大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2 x x x =??22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π << tan 2x ?=,即tan 2x arc =时 “=”号成立,故 此函数最大值是 23 9 。 评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ:用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ,求4 ()f x x x =+ )10(≤
基本不等式求最值的类型与方法,经典大全
专题:基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式: ①,、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②, 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③, 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; ② 熟悉一个重要的不等式链: b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab ; ②单调递增区间:(,-∞ ,)+∞ ;单调递减区间:(0, ,[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析:21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=, 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时,“=”号成立,故此函数最小值是52。 评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值: ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析:① 3 0,3202 x x <<->∴, ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=, 当且仅当32x x =-即1x =时,“=”号成立,故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴,则0y >,欲求y 的最大值,可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立,故 评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ:用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ,求4 ()f x x x =+ )10(≤
专题27 应用基本不等式求最值的求解策略高中数学黄金解题模板
【高考地位】 基本不等式是《不等式》一章重要内容之一,是求函数最值的一个重要工具,也是高考常考的一个重要知识点。应用基本不等式求最值时,要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”,忽略理任何一个条件,就会导致解题失败,因此熟练掌握基本不等式求解一些函数的最值问题的解题策略是至关重要的。【方法点评】 方法一凑项法 使用情景:某一类函数的最值问题 解题模板:第一步根据观察已知函数的表达式,通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”,将其配凑(凑项、凑系数等)成符合其条件; 第二步使用基本不等式对其进行求解即可; 第三步得出结论. 例1已知 5 4 x<,求函数1 42 45 y x x =-+ - 的最大值。 【答案】 max 1 y=. 第三步,得出结论:
故当1x =时,max 1y =。学#科网 点评:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 【变式演练1】【江苏省盐城市阜宁中学2017-2018学年高二上学期第一次学情调研数学(文)试题】函数 4 2(0)y x x x =-->的最大值为________. 【答案】-2 【解析】4422242y x x x x ?? =---+≤-- ??? =2=, 当且仅当4 x x = ,即x =2时,“=”成立 【变式演练2】【2018届山西高三上期中数学(理)试卷】当1x >时,不等式1 1 x a x + ≥-恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .(,2]-∞ B .[2,)+∞ C .[3,)+∞ D .(,3]-∞ 【答案】D 【解析】 考点:均值不等式. 方法二 分离法 使用情景:某一类函数的最值问题 解题模板:第一步 首先观察已知函数的表达式的特征,如分子(或分母)是二次形式且分母(或分子)是一次形式; 第二步 把分母或分子的一次形式当成一个整体,并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式; 第三步 将其化简即可得到基本不等式的形式,并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.
基本不等式求最值技巧
基本不等式求最值技巧 一. 加0 在求和的最小值时,为了利用积的定值,有时需要加上零的等价式。 例1. 已知,且,求的最小值。 解:因为,所以,所以, ,所以。式中等号当且仅当时成立,此时。所以当时, 取最小值。 例2. 设,且,求的最小值。 解:因为,,所以,所以,且。 所以 式中等号当且仅当时成立,此时。将它代入 中得。所以当时,取最小值 。
2. 乘1 在求积的最大值时,为了凑出和的定值,有时需要乘上1的等价式。 例3. 已知,且,求xyz的最大值。 解:因为,且, 所以 式中等号当且仅当时成立,此式可写为,令其比值为t,则,,,把它们代入,解得。所以当, 时,xyz取最大值。 3. 拆式 在运用基本不等式求最值时,为满足解题需要,有时要进行拆式。 例4. 求函数的最小值。 解:因为,所以, 所以
式中等号当且仅当时成立,解得,所以当时,。例5. 设且,求的最小值。 解:因为, 所以 式中等号当且仅当时成立,此时,所以当时,取最小值3。 4. 拆幂 在求积的最大值时,为了满足和为定值时对项数的要求,有时要拆幂。 例6. 设,求函数的最大值。 解:因为,所以 所以 式中等号当且仅当时即时成立。所以当时,。例7. 设,且为定值,求的最大值。
解:因为 所以 式中等号当且仅当时成立,此时。 所以当,取最大值。 5. 平方 在求积的最大值时,有时要凑出和的定值很困难,但积式平方后却容易凑出和的定值。 例8. 设,且为定值,求的最大值。 解:因为, 所以 所以 式中等号当且仅当时成立,此时
所以当时,取最大值。 例9. 已知,求的最大值。 解:因为,所以, 所以 所以。式中等号当且仅当,即时成立。所以当时,。
基本不等式求最值的类型及方法,经典大全
专题:基本不等式求最值的类型及方法 解析:y x 1 2(x 1) (x 2(x 1) 1) 2(x L 2LJ 2 1(x 1) 2 2 2(x 1) 、几个重要的基本不等式: ①a 2 b 2 2ab ab a 2 b 2 (a 、 x 1 x 1 33 立; b R),当且仅当a = b 时,“=”号成立; 2 2(x 1) ③a 3 成立? 注: 二、函数 b 3 2 ab ab 2 (a 、 当且仅当 b R ),当且仅当a = b 时,“=”号成立; 2(x 2(x 1)2 1)即x 2时,“ 5 ”号成立,故此函数最小值是 - 2 3 c 3 3abc abc — b 3 c 3 3 -(a 、 b 、 R ),当且仅当a = b = c 时,“=”号成 评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常 要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型n :求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值: 3 3 ----- abc , b c 3v abc abc ---------------- (a 、 3 ① 注意运用均值不等式求最值时的条件: ② 熟悉一个重要的不等式链: ab f(x) ax b (a 、 x 0)图象及性质 (1)函数 f (x) ax a 、 0图象如图: (2)函数 f(x) ax a 、 0性质: ①值域: ,2 ab] [2 ab,); R ),当且仅当a = b = c 时,“=”号 定 、三 等 ; 2 2 a b J -------------- 2 ①y x 2 解析:①Q 0 ?- y (3 2x)(0 x x - ,? 3 2 当且仅当 2 . 4 2 y sin x cos x 当且仅当 故此函数最大值是 (3 2x)(0 ②单调递增区间:( );单调递减区间: :], (0, ] , ,0). 2x x 3 2x 即 x ,?? sin x 2 sin 2 x sin 2 x .2 sin x 2 ② y sin xcosx(0 x ) 2 3 x x (3 2x) 3 )x x (3 2x) [ ] 1 , 2 3 1时,“=”号成立,故此函数最大值是 1 。 0,cos x 0,则y 0 ,欲求y 的最大值,可先求y 2的最大值。 coSx 2cos x (0 1 2 2 2 (sin x sin x 2cosx) 2 1 sin 2 x sin 2x 2co^ x 3 4 二 -------- —) 刃 tan x 2,即 x arctan^^ 时“=”号成立, 评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型川:用均值不等式求最值等号不成立。 4 x — x 例 3、若 x 、y R ,求 f (x) (0 x 1)的最小值。 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型I :求几个正数和的最小值。 解法一:(单调性法)由函数 f(x) K ax 一(a 、b 0)图象及性质知,当 x (0,1]时,函数 x 例1、求函数y x 1 2(x 1)的最小值。 2(x 1)2 f (x) x -是减函数。证明: x 任取 X 2 (0,1]且 0 禺 X 2 1,则
基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧题型分析
基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧 题型分析 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.
基本不等式应用 一.基本不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取 “=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时 取“=”) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植 时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+ 12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--?? 231≤-+=
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法一.配项 例1:设x>2,求函数y=x+9 2 x- 的最小值 解析:y=x-2+ 9 2 x- +2≥8 当x-2= 9 2 x- 时,即x=5时等号成立 例2:已知a,b是正数,满足ab=a+b+3,求ab的最小值 法1:ab=a+b+3≥当a=b3即ab≥9当a=b=3时 等号成立。 法2:已知可化为(a-1)(b-1)=4.又ab=(a-1)+(b-1)+5≥9当a-1=b-1=2时等号成立,即a=b=3 二.配系数 例3:设0
解析:y=2sin 2x+2sinxcosx =2 sin 2x+ 2sin (cos )x a x a (a>0) ≤2 sin 2x+222sin cos x a x a + =a+22(21)sin a a x a +- 若为定值,则221a a +-=0,+1, 所以y 时成立。 六. 常值代换 例7:已知x>0,y>0,且x+2y=3,求1x +1y 的最小值 解析:1x +1y =13(x+2y)( 1x +1y )=1+13( 2y x +x y )≥1+23 当且仅当2y x =x y ,且x+2y=3,即-1),y=32)时, 取得最小值为1+23
基本不等式应用题
基本不等式应用题 最值问题 一.教学目标:1.进一步掌握用均值不等式求函数的最值问题; 2.能综合运用函数关系,不等式知识解决一些实际问题。 二.教学重点、难点:化实际问题为数学问题。 三.教学过程: (一)复习:1.均值不等式: 2.极值定理: (一)练习题 1、已知R y x ∈,,且2=+y x ,求xy 的取值范围。 2、已知R y x ∈,,且2=xy ,求y x +的取值范围。 3、已知R y x ∈,,且2=+y x ,求22y x +的取值范围。 4、已知0,>y x ,且211=+y x ,求y x 2+的最小值。 5、已知0,,>z y x ,且4=++c b a ,求证:abc c b a 8)4)(4)(4(≥---。 6、(选做题)已知R y x ∈,,且222=+y x ,求y x +的取值范围。 7 3+1,a b R x y x y ∈+=+已知a,b,x,y ,且 求的最小值 (二)新课讲解: 例1(1)用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,1.4,2224,24x y x y x y x y +=++=+已知求的最小值。 变式题:已知求的最小值。22222.,4,log log ,24,log log x y R x y x y x y R x y x y ++∈+=+∈+=+已知、求的最大值。变式题:已知、求的最大值。
所用篱笆最短。最短的篱笆是多少? (2)段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少? 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m 3,深为3m ,如果池底每1m 2的造价为150元,池壁每1m 2的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元? 例3.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为34800m ,深为3m ,如果池底每21m 的造价为150元,池壁每21m 的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总 造价是多少元? 例4.如图,设矩形()ABCD AB AD >的周长为24,把它关于AC 折起来,AB 折过去后,交DC 于P ,设AB x =,求ADP ?的最大面积及相应的x 值。 例5.甲、乙两地相距S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c 千米/时,已知汽车每小..时的运输成本...... (以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度x (千米/时)的平方成正比,比例系数为b ,固定部分为a 元, (1)把全程运输成本......y (元)表示为速度x (千米/时)的函数,指出定义域; (2)为了使全程运输成本...... 最小,汽车应以多大速度行驶?