含绝对值不等式解法要点归纳

含绝对值不等式解法要点归纳

解含绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与一般不等式相同．因此，掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键．

一、含有绝对值不等式的几种去掉绝对值符号的常用方法

去掉绝对值符号的方法有很多，其中常用的方法有：

1．定义法去掉绝对值符号

根据实数绝对的意义，即| x | =

(0)

(0)

x x

x x

≥

?

?

-<

?

，有：

| x |＜c?

(0)

(0)

c x c c

c

φ

-<<>

?

?

≤

?

；| x |＞c?

(0)

0(0)

(0)

x c x c c

x c

x R c

<->>

?

?

≠=

?

?∈<

?

或

；

2．利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化为| x |＜c或| x |＞c (c＞0)来解．不等式|ax＋b|＞c (c＞0)可化为ax＋b＞c或ax＋b＜－c，再由此求出原不等式的解集；不等式|ax＋b|＜c (c＞0)可化为－c＜ax＋b＜c，再由此求出原不等式的解集，对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a≤| x |≤b?a≤x≤b或－b≤x≤－a求解．这是一中典型的转化与化归的数学思想方法．3．平方法去掉绝对值符号．

对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用| x |2= x2可在两边脱去绝对值符号求解，这样解题要比按绝对值定义，讨论脱去绝对值符号解题简捷．解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要分类讨论，只有不等式两边均为非负数，(式)时，才可以直接两边平方，去掉绝对值符号，尤其是解含参数不等式更必须注意的一点．

4．零点分段法去掉绝对值符号．

所谓“零点分段法”是指：设数x

1，x

2

，x

3

，…，x

n

是分别使含有|x－x

1

|，

|x－x

2|，|x－x

3

|，…，|x－x

n

|的代数式中相应的绝对值为零，称x

1

，x

2

，

x

3，…，x

n

为相应绝对值的零点，零点x

1

，x

2

，x

3

，…，x

n

将数轴分为n＋1

段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，从而得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值的不等式组来解．即令每一项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．“零点分段法”是解含有多个绝对值符号的不等式的常用手段，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化，思路直观．

5．数形结合法去掉绝对值符号

解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．数形结合法形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于| x－a|＋| x－b |＞m或| x－a|＋| x－b |＜m (m

为正常数)类型的不等式．

二、几点注意事项

1．根据绝对值定义，将| x |＜c或| x |＞c (c＞0)转化为两个不等式组，这两个不等式组的关系是“或”而不是“且”，因而原不等式的解集是这两个不等式组解的并集，而不是交集．

2．| x |＜c和| x |＞c (c＞0)的解集公式要牢记，以后可以直接作为公式使用．但要注意的是，这两个公式是在c＞0时导出的，当c≤0时，需要另行讨论，不能使用该公式．

3．解不等式问题与集合运算有密切联系，在应用集合有关容处理绝对值不

等式的过程中，要注意在不等式组的解集中，对不等式端点值的取舍情况．再有，因为已学习了集合表示法，所以不等式的解集要用集合形式表示，不要使用不等式的形式．

4．解含有绝对值的不等式的关键是把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值符号的不等式，然后再求解，但这种转化必须是等价转化，尤其是平方法去掉绝对值符号时，一定要注意两边非负这一条件，否则就会扩大或缩小解集的围．

5．要学会灵活运用分类讨论思想、数形结合思想、等价专化与化归思想方法处理绝对值不等式问题．

三、典型例题思路点拨

例1 关于x 的不等式| kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值． 思路点拨：按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k 的取值不确定，要以k 的不同取值分类处理．

解：原不等式可化为－4≤kx ≤6，当k ＞0时，－

k 4≤x ≤k

6，依题意，有 ???????=-=-.26,34k k ??????==3,34k k ，此时无解．

当k = 0时，显然不满足题意．

当k ＜0时， k 6≤x ≤－k 4，依题意，有???????-==-.36,24k

k ? k =－2． 例2 解不等式| x －1|＜| x ＋a |．

思路点拨：由于两边均为非负数，因此可以两边平方去掉绝对值符号．

解：由于| x －1|≥0，| x ＋a |＞0，所以两边平方有| x －1|2＜| x ＋a |2，

即有x 2－2x ＋1＜x 2＋2ax ＋a 2，

整理得：(2a ＋2)x ＞1－a 2，

当2a ＋2＞0，即a ＞－1时，不等式的解为x ＞

21(1－a)； 当2a ＋2 = 0，即a =－1时，不等式无解；

当2a ＋2＜0，即a ＜1时，不等式的解为x ＜2

1(1－a)． 例3 若不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 的解集为空集，求a 的取值围． 思路点拨一：此不等式左边含有两个绝对值符号，如何去掉绝对值符号呢？可考虑采用“零点分段”，即令每一项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．

解一：⑴当a ≤0时，不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 的解集为空集． ⑵当a ＞0时，先求不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 有解时a 的取值围． 令x －4 = 0，得x = 4，令3－x = 0，得x = 3．

①当x ≥4时，原不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 化为：x －4＋x －3＜a ，即2x －7＜a ，

解不等式组???<-≥.

72,4a x x ? 4≤x ＜27+a ?4＜27+a ， ∴a ＞1．

②当3＜x ＜4时，原不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 化为：4－x ＋x －3＜a ，解得a ＞1．

③当x ≤3时，原不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 化为：4－x ＋3－x ＜a ，即7－2x ＜a ，

解不等式组???<-≤.

27,3a x x ? 27a -＜x ≤3?，27a -＜3，

∴a＞1．

综合①②③可知，当a＞1时，原不等式有解，从而当0＜a≤1时，原不等式解集为空集．

由⑴、⑵两种情况可知，不等式 | x－4|＋| 3－x |＜a 的解集为空集，a 的取值围是a≤1．

思路点拨二：解法一是按去掉绝对值符号的方法求解，这是处理此类问题的一般方法，但运算量大．若仔细观察不等式左边的结构，联想到绝对值| a＋b|≤| a |＋| b|，便可把问题简化．

解二：∵a＞| x－4|＋| 3－x |≥| x－4＋3－x | = 1，

∴当a＞1时| x－4|＋| 3－x |＜a有解，

从而当0＜a≤1时，原不等式解集为空集．

例4对任意实数x，若不等式| x＋1|－| x－2 |＞k恒成立，求 k的取值围．

思路点拨一：要使| x＋1|－| x－2 |＞k对任意x恒成立，只要| x＋1|－| x－2 |的最小值大于k．因| x＋1|的几何意义为数轴上点x到－1的距离，| x －2 |的几何意义为数轴上点x到2的距离，| x＋1|－| x－2 |的几何意义为数轴上点x到－1与2的距离的差，其最小值可求．

解法一：根据绝对值的几何意义，设数x，－1，2在数轴上对应的点分别为P、A、B，原不等式即求| PA|－| PB|＞k成立，因为|AB| = 3，即| x＋1|－| x－2 |≥－3，故当k＜－3时，原不等式恒成立．

思路点拨二：如果把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出其图象，从图象观察k的取值围．

解法二：令y = | x ＋1|－| x －2 |，

则 y =?????≥<<---≤-.2.321,

121,3x x x x 要使| x ＋1|－| x －2 |＞k 恒成立，从图象可以看出，只要k ＜－3即可．

故k ＜－3满足题意思．