电大-微积分初步完整版

微积分初步形成性考核作业（一）解答

————函数，极限和连续

一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数)

2ln(1

)(-=

x x f 的定义域是 ．

解：020)2ln({

>-≠-x x ， 2

3

{>≠x x

所以函数)

2ln(1

)(-=

x x f 的定义域是),3()3,2(+∞?

2．函数x

x f -=

51)(的定义域是 ．

解：05>-x ，5

x f -=

51)(的定义域是)5,(-∞

3．函数24)

2ln(1

)(x x x f -++=

的定义域是 ．

解：?????≥->+≠+04020)2ln(2x x x ，??

?

?

?≤≤-->-≠2

221

x x x 所以函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是]2,1()1,2(-?-- 4．函数72)1(2

+-=-x x x f ，则=)(x f

．

解：72)1(2

+-=-x x x f 6)1(6122

2

+-=++-=x x x 所以=)(x f 62

+x

5．函数???>≤+=0e

02)(2x x x x f x ，则=)0(f ．

解：=)0(f 2202

=+

6．函数x x x f 2)1(2

-=-，则=)(x f ．

解：x x x f 2)1(2-=-1)1(1122

2+-=-+-=x x x ，=)(x f 12

+x

7．函数1

3

22+--=x x x y 的间断点是 ．

解：因为当01=+x ，即1-=x 时函数无意义

所以函数1

3

22+--=x x x y 的间断点是1-=x

8．=∞

→x

x x 1

sin

lim ．

解：=∞

→x x x 1

sin

lim 11

1sin

lim =∞→x

x x

9．若

2sin 4sin lim

0=→kx

x

x ，则=k ．

解： 因为24

sin 44sin lim 4sin 4sin lim

00===→→k

kx

kx x x

k kx x x x 所以2=k

10．若23sin lim 0=→kx

x

x ，则=k ．

解：因为23

33lim 33lim 00===→→k

x x sim k kx x sim x x

所以2

3

=

k 二、单项选择题（每小题2分，共24分）

1．设函数2

e e x

x y +=-，则该函数是（ ）．

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．非奇非偶函数

D ．既奇又偶函数

解：因为y e e e e x y x

x x x =+=+=

-----2

2)()( 所以函数2

e e x

x y +=-是偶函数。故应选B

2．设函数x x y sin 2

=，则该函数是（ ）．

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．非奇非偶函数

D ．既奇又偶函数 解：因为y x x x x x y -=-=--=-sin )sin()()(2

2

所以函数x x y sin 2

=是奇函数。故应选A

3．函数2

22)(x

x x x f -+=的图形是关于（ ）对称．

A ．x y =

B ．x 轴

C ．y 轴

D ．坐标原点

解：因为)(222222)()()(x f x x x f x x x x -=+-=+?-=----- 所以函数222)(x

x x x f -+=是奇函数

从而函数2

22)(x

x x x f -+=的图形是关于坐标原点对称的 因此应选D

4．下列函数中为奇函数是（

）．

A ．x x sin

B ．x ln

C ．)1ln(2x x ++

D ．2

x x + 解：应选C

5．函数)5ln(4

1

+++=x x y 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x

解：??

?>+≠+0504x x ，???->-≠5

4

x x ，所以应选D

6．函数)

1ln(1

)(-=

x x f 的定义域是（ ）．

A ． ),1(+∞

B ．),1()1,0(+∞?

C ．),2()2,0(+∞?

D ．),2()2,1(+∞?

解：??

?>-≠-010)1ln(x x ，???>≠1

2

x x ，

函数)

1ln(1

)(-=

x x f 的定义域是),2()2,1(+∞?，故应选D

7．设1)1(2

-=+x x f ，则=)(x f （ ）

A ．)1(+x x

B ．2

x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 解：1)1(2

-=+x x f ]2)1)[(1()1)(1(-++=-+=x x x x )2()(-=x x x f ，故应选C

8．下列各函数对中，（

）中的两个函数相等．

A ．2

)()(x x f =，x x g =)( B ．2)(x x f =，x x g =)(

C ．2

ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D ．3

ln )(x x f =，x x g ln 3)(= 解：两个函数相等必须满足①定义域相同②函数表达式相同，所以应选D

9．当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ ）. A ．

x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2x

x 解：因为0)1ln(lim 0

=+→x x ，所以当0→x 时，)1ln(x +为无穷小量，所以应选C

10．当=k （ ）时，函数???=≠+=0,

0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.

A ．0

B ．1

C ．2

D ．1- 解：因为1)1(lim )(lim 2

=+=→→x x f x x ，k f =)0(

若函数???=≠+=0,0

,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则)(lim )0(0x f f x →=，因此1=k 。故应选B

11．当=k （ ）时，函数???=≠+=0,

,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 解：3)2(lim )(lim )0(0

=+===→→x

x x e x f f k ，所以应选D

12．函数2

33

)(2

+--=

x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x x

B ．3=x

C ．3,2,1===x x x

D ．无间断点

解：当2,1==x x 时分母为零，因此2,1==x x 是间断点，故应选A 三、解答题（每小题7分，共56分）

⒈计算极限4

2

3lim 222-+-→x x x x ．

解：423lim

222-+-→x x x x 41

21lim )2)(2()2)(1(lim 22=+-=-+--=→→x x x x x x x x 2．计算极限1

65lim 221--+→x x x x

解：165lim

221--+→x x x x 27

16lim )1)(1()6)(1(lim 11=++=-++-=→→x x x x x x x x 3．3

29lim 223---→x x x x

解：329lim 2

23---→x x x x 23

4613lim )3)(1()3)(3(lim 33==++=-+-+=→→x x x x x x x x 4．计算极限4

58

6lim 224+-+-→x x x x x

解：4586lim 2

24+-+-→x x x x x 3

2

12lim )4)(1()4)(2(lim 44=--=----=→→x x x x x x x x 5．计算极限6

586lim 222+-+-→x x x x x ．

解：6586lim 2

22+-+-→x x x x x 23

4

lim )3)(2()4)(2(lim 22=--=----=→→x x x x x x x x 6．计算极限x

x x 1

1lim

--→． 解：x x x 11lim

--→)

11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x

x x x x x x 21

1

11

lim

-=+--=→x x

7．计算极限x

x x 4sin 1

1lim

--→

解：x x x 4sin 11lim

--→)

11(4sin )

11)(11(lim 0+-+---=→x x x x x 81

)

11(44sin 1lim 41)11(4sin lim

00-=+--=+--=→→x x

x x x x

x x

8．计算极限2

44sin lim

-+→x x x ．

解：2

44sin lim

-+→x x x )

24)(24()24(4sin lim

++-+++=→x x x x x

16)24(44sin lim 4)24(4sin lim 00=++=++=→→x x

x

x x x x x

微积分初步形成性考核作业（二）解答（除选择题）

————导数、微分及应用

一、填空题（每小题2分，共20分） 1．曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的斜率是 ．

解：x

x f 21)(=

'，斜率2

1)1(=

'=f k 2．曲线x

x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 解：x

e x

f =')( ，斜率1)0(0

=='=e f k

所以曲线x

x f e )(=在)1,0(点的切线方程是：1+=x y 3．曲线2

1-=x

y 在点)1,1(处的切线方程是

．

解：23

21--='x y ，斜率2

12

11

2

3

1-=-='==-

=x x x y k

所以曲线2

1

-=x

y 在点)1,1(处的切线方程是：)1(2

1

1--

=-x y ，即：032=-+y x 4．=')2

(x

． 解：=')2(x x

x

x

x

22

ln 2

2ln 212

=

?

5．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(0) =

．解：6)3)(2)(1()0(-=---='y

6．已知

x x x f 3)(3+=，则)3(f '=

．解：3ln 33)(2

x

x x f +='，)3(f '3ln 2727+=

7．已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．解：x x f 1)(='，21)(x

x f -='' 8．若x

x x f -=e )(，则='')0(f ．

解：x x xe e

x f ---=')(，x x x x x xe e xe e e x f -----+-=---=''2)()(， ='')0(f 2-

9．函数y x =-312

()的单调增加区间是 ．

解：0)1(6≥-='x y ，1≥x ，所以函数y x =-312

()的单调增加区间是),1[+∞ 10．函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ．

解：02)(≥='ax x f ，而0>x ，所以0≥a 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．函数2

)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ D ） A ．单调增加 B ．单调减少

C ．先增后减

D ．先减后增

2．满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ C ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 3．若x x f x

cos e

)(-=，则)0(f '=（ C ）．

A . 2

B . 1

C . -1

D . -2 4．设y x =lg2，则d y =（ B ）． A ．

12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1

d x

x 5．．设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ D ）．

A ．x x f d )2(cos 2'

B ．x x x f d22sin )2(cos '

C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'

D ．x x x f d22sin )2(cos '- 6．曲线1e

2+=x

y 在2=x 处切线的斜率是（ C ）．

A ．4

e B ．2

e C ．4

2e D ．2 7．若x x x f cos )(=，则='')(x f （ C ）．

A ．x x x sin cos +

B ．x x x sin cos -

C ．x x x cos sin 2--

D ．x x x cos sin 2+ 8．若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ C ）．

A ．2

3cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos

9．下列结论中（ B ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.

D ．若)(x f 在[a ，b ]内恒有0)(<'x f ，则在[a ，b ]内函数是单调下降的. 10．若函数f (x )在点x 0处可导，则( B )是错误的．

A ．函数f (x )在点x 0处有定义

B ．A x f x x =→)(lim 0

，但)(0x f A ≠

C ．函数f (x )在点x 0处连续

D ．函数f (x )在点x 0处可微

11．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ）． A ．sin x B ．e x C ．x 2 D ．3 - x 12.下列结论正确的有（ A ）．

A ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0

B ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点

C ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点

D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点

三、解答题（每小题7分，共56分）

⒈设x

x y 12

e =，求y '．

解：x x x

x e xe x

e x xe y 11212

12)1

(2-=-+='x e x 1

)12(-=

2．设x x y 3

cos 4sin +=，求y '. 解：x x x y sin cos 34cos 42

-=' 3．设x

y x 1

e 1

+

=+，求y '. 解：2

1

11

21x e

x y x -

+=

'+ 4．设x x x y cos ln +=，求y '. 解：x x x x x y tan 2

3cos sin 23-=-+=

' 5．设)(x y y =是由方程42

2

=-+xy y x 确定的隐函数，求y d . 解：两边微分：0)(22=+-+xdy ydx ydy xdx xdx ydx xdy ydy 22-=- dx x

y x

y dy --=

22

6．设)(x y y =是由方程122

2

=++xy y x 确定的隐函数，求y d . 解：两边对122

2

=++xy y x 求导，得：0)(222='++'+y x y y y x 0='++'+y x y y y x ，)()(y x y y x +-='+，1-='y dx dx y dy -='=