2011年广州市高二数学学业水平测试题(附答案)

数学学业水平测试 第 1 页 （共 13 页）

2011学年度广州市高中二年级学生学业水平测试

数 学

本试卷共4页. 满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡指定的位置上.

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4. 本次考试不允许使用计算器.

5. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，

只有一个是符合题目要求的．

1. 已知集合{}1,2A =, {}1,0,1B =-, 则A B 等于

A .{}1 B. {}1,0,2- C. {}1,0,1,2- D. ? 2. cos120?

的值是

A

. 2

- B. 12

-

C.

12

D.

2

3. 不等式2230x x --<的解集是

A . ()3,1- B. ()1,3- C. ()(),13,-∞-+∞ D. ()(),31,-∞-+∞ 4. 已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12//l l , 则a 的值为 A . 8 B. 2 C. 12

-

D. 2-

数学学业水平测试 第 2 页 （共 13 页）

5. 函数sin 2y x =是

A . 最小正周期为2π的偶函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为π的奇函数 6. 在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==, 则2a 的值为 A . 2 B. 3 C. 4 D. 9

7. 如果实数x 、y 满足条件1,210,10.y x y x y ≤??

--≤??+-≥?

则2x y +的最大值为

A . 1 B.

53

C. 2

D. 3

8. 已知某几何体的三视图如图1所示, 其中俯视图

是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的体积为

A

. B.

C.

D.

9. 已知向量=a ()1,n , =b (),1n , 其中1n ≠±, 则下列

结论中正确的是

A . ()()//-+a b a b B. ()//+a b b

C. D. ()+⊥a b b

10. 已知函数(

)1f x =

, 则对任意实数12x x 、,且1202x x <<<, 都有

A. B. C. D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 函数()ln 21y x =-的定义域是 .

12. 在空间直角坐标系O xyz 中, 点()1,2,3-关于原点O 的对称点的坐标为 .

()()1221x f x x f x <()()1122x f x x f x >()()

-⊥+a b a b ()()

1221x f x x f x

>

4

正视图 侧视图

俯视图

图1

()()1122x f x x f x <

数学学业水平测试 第 3 页 （共 13 页）

13. 某公司生产A 、B 、C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为了检验该公

司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的轿车 比B 种型号的轿车少8辆，那么n = .

14. 已知函数1(0x y a a -=>且1)a ≠的图象恒过点A . 若点A 在直线 上, 则

12m n

+的最小值为 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15. （本小题满分12分）

编号分别为12312,,,,A A A A 的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下:

（1）完成如下的频率分布表:

（2）从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人 , 求这2人得分之和大于25的概率.

()

100mx ny mn +-=>

16．(本小题满分12分)

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知

1

3,2,cos

3

a b A

===．

（1）求sin B的值；

（2）求c的值.

17．(本小题满分14分)

如图2，在三棱锥P A B C

-中，5,4,3

AB BC AC

===，点D是线段P B的中点，平面P A C⊥平面ABC．

（1）在线段AB上是否存在点E, 使得

的位置,

并加以证明；若不存在,

（2）求证：P A B C

⊥.

数学学业水平测试第 4 页（共13 页）

数学学业水平测试 第 5 页 （共 13 页）

18. （本小题满分14分）

已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=, 424S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令1

2

111n n

T S S S =+++

，求证：34

n T <

.

19. （本小题满分14分）

已知圆C 的圆心坐标为()1,2, 直线:10l x y +-=与圆C 相交于M 、N 两点，

M N =2.

（1）求圆C 的方程;

（2）若1t ≠, 过点(),0A t 作圆C 的切线, 切点为B ，记1d AB =, 点A 到直线l 的

距离为2d , 求 的取值范围.

12

1

d d -

数学学业水平测试 第 6 页 （共 13 页）

20. （本小题满分14分） 已知

113

a ≤≤, 若函数()22f

x ax x =-在[]1,3上的最大值为()M a ,最小值为

()N a ,

令()()()g a M a N a =-.

（1）求()g a 的表达式;

（2）若关于a 的方程()0g a t -=有解, 求实数t 的取值范围.

数学学业水平测试 第 7 页 （共 13 页）

2011学年度广州市高中二年级学生学业水平测试

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分． 11. 1

,2??

+∞

???

12. ()1,2,3-- 13. 72 14.

3+三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分． (1) 解:频率分布表:

………4分 (2)解: 得分在区间[)10,20内的运动员的编号为2A ,3A ,4A ,8A ,11A .从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{}23,A A , {}24,A A ,{}28,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,

{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共10种. ………7分

“从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于25”(记为事件

B )的所有可能结果有:{}24,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,

{}411,A A ,{}811,A A ,共8种.

………10分

数学学业水平测试 第 8 页 （共

所以()80.810

P B =

=.

答: 从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人, 这2人得分之和大于25的概率为 0.8. ………12分

16．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分．

（1）解：∵0A π<<，1cos 3

A =

，

∴sin 3A ==

． ………2分 由正弦定理得：sin sin a b A

B

=

， ………4分

∴2sin 3sin 3

9

b A B a

?=

=

=. ………6分

（2）解：∵13,2,cos 3

a b A ===

，

∴2

2

2

123

b c a

bc

+-=

. ………8分

∴

2

2

2

231223

c c

+-=

?，

解得3c =. ………12分

17．本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识，考查空间想象能力、推理论证能

力和运算求解能力．满分14分．

（1）解：在线段AB 上存在点E , 使得//D E 平面PAC , 点E 是线段AB 的中点. …2分 下面证明//D E 平面PAC :

取线段AB 的中点E , 连接D E ， ………3 ∵点D 是线段P B 的中点，

∴D E 是△P A B 的中位线. ………4 ∴//D E P A . ………6 ∵PA ?平面PAC ，D E ?平面PAC ，

∴//D E 平面PAC . (8)

数学学业水平测试 第 9 页 （共 13 页）

（2）证明：∵5,4,3AB BC AC ===,

∴222AB BC AC =+.

∴A C B C ⊥. ………10分 ∵平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面ABC A C =，B C ?平面ABC ， ∴B C ⊥平面PAC . ………12分 ∵PA ?平面PAC ，

∴P A B C ⊥. ………14分

18．本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理

论证能力．满分14分．

（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d , ∵ 1310a a +=, 424S =,

∴112210,43

424.2

a d a d +=??

??+

=?? ………2分 解得13a =, 2d =. ………4分 ∴ ()32121n a n n =+?-=+. ………6分

（2）证明：由（1）得()

()

()132122

2

n n n a a n n S n n +++=

=

=+， ………8分

∴ 1

2

111n n

T S S S =

+++

()

111

1

13

24

352

n n =

+

+

++??

?+

=

111

11

11111123243

5112

n n n n ???????

????

?-+-+-++-+- ? ? ? ?

???-

++?????

??????? ………10分

数学学业水平测试 第 10 页 （共 13 页）

111112212n n ??=

+-- ?++?? =

3111

4212n n ??

-

+

?++??

………12分 34

<. ………14分

19．本小题主要考查直线与圆的方程、不等式等基础知识，考查运算求解能力及推理论证 能力．满分14分．

(1)解: 设圆C 的半径为r ，圆C 的圆心()1,2到直线l

的距离d =

=.

………2分 ∵ M N =2, ∴

2=. ………3分

∴

2=. ………4分

解得r =

………5分

∴ 所求的圆C 的方程为()()2

2

123x y -+-=. ………6分 (2) 解:∵圆C ：()()2

2

123x y -+-=的圆心()1,2

C ,半径r =

∴1d AB

==

=

=

.

………8分 又点()

,0A t 到直线l 的距离2

d =

=

………9分

∴

12

1d d

-

=

= (10)

分

m =，则1t -= ………11分

∵1t ≠，∴1m >.

数学学业水平测试 第 11 页 （共 13 页）

∴

12

1d d

-=

=

=. ………12分

∵1m >, ∴12m +>. ∴2011

m <

<+.

∴20111

m <-

<+. ………13分

∴0

<

<.

∴

12

1d d -

的取值范围是(. ………14分

20．本小题主要考查二次函数的最值、方程等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨

论的数学思想方法．满分14分．

(1) 解: ()2

2f x ax x =-2

11a x a a ?

?=-- ??

?. ………1分

∵

113

a ≤≤, ∴113a

≤≤. ① 当112a

≤

≤,即

112

a ≤≤时, 则3x =时, 函数()f

x 取得最大值; 1x a

=

时, 函数

()f x 取得最小值.

∴()()396M a f a ==-，()11N a f a a ??

==- ?

??

. ∴ ()()()g a M a N a =-=196a a

+-. ………3分

② 当123a <

≤,即

1132

a ≤<

时, 则1x =时, 函数()f x 取得最大值; 1x a

=

时, 函数

()f x 取得最小值.

∴()()12M a f a ==-，()11N a f a a ??

==-

?

??

.

数学学业水平测试 第 12 页 （共 13 页）

∴ ()()()g a M a N a =-=12a a

+-. ………5分

综上，得()g a =1112,,

32

1196, 1.

2

a a a

a a a ?+-≤<

???

?+-≤≤??

………6分

（2）解：任取1211,,32a a ??

∈????

，且12a a <， ()()121212

11

22g a g a a a a a ????-=+--+- ? ?????

()()

121212

1a a a a a a --=

. ………7分

∵1211,,32a a ??

∈????，且12a a <，

∴1212120,0,10a a a a a a -<>-<. ∴

()()121212

10a a a a a a -->,即()()120g a g a ->.

∴()()12g a g a >. ∴函数()g a 在11,

32??

????上单调递减. ………8分 任取341

,,12a a ??

∈????

，且34a a <，

()()34343411

9696g a g a a a a a ????-=+--+- ? ??

???

()()343434

91a a a a a a --=

. ………9分

∵341,,12a a ??

∈????

，且34a a <，

数学学业水平测试 第 13 页 （共 13 页）

∴3434340,0,910a a a a a a -<>->. ∴

()()343434

910a a a a a a --<,即()()340g a g a -<.

∴()()34g a g a <. ∴函数()g a 在

1,12??

????

上单调递增. ………10分 当12

a =

时,()g a 取得最小值,其值为12g ??

=

?

??

12, ………11分 又13g ??

=

???

43, ()1g =4. ∴函数()g a 的值域为

1,42??

????

. ………12分

∵关于a 的方程()0g a t -=有解等价于()t g a =有解，

∴实数t 的取值范围为函数()g a 的值域． ………13分

∴实数t 的取值范围为1,42?????

?

. ………14分