随机变量及其分布知识点总结

圆梦教育中心 随机变量及其分布知识点整理

一、离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =???的概率

()i i P X x p ==，则称以下表格

X

x 1 x 2 … x i … x n P

p 1 p 2 … p i … p n

为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =???≥ （2）121n p p p ++???+= 1．两点分布

如果随机变量X 的分布列为 X

1

P 1-p p

则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布

一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为：

(),0,1,2,3,...,k n k M N M

n

N

C C P X k k m C --=== 则随机变量X 的概率分布列如下： X

1

… m

P

00n M N M

n

N

C C C -- 11n M N M

n

N

C C C -- …

m n m M N M

n

N

C C C -- {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。

注：超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率

一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()

(|)()

P AB P B A P A =

为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤

如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+

三、相互独立事件

设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立

一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =.

注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；

(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响. 四、n 次独立重复试验

一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.

在n 次独立重复试验中，记i A 是“第i 次试验的结果”，显然，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ???=??? “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征

第一：每次试验是在同样条件下进行； 第二：各次试验中的事件是相互独立的；

第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. n 次独立重复试验的公式：

n A X A p n A k 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为

()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n k

n n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中，而称p 为成功概率.

五、二项分布

一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则

()(1)0,1,2,,k k

n k n P X k C p p k n -==-=???，

X 0

1

… k … n

P

00n

n C p q

111

n n C p q -

…

k k n k

n C p q - …

n n n C p q

此时称随机变量X 服从二项分布，记作~(,)X B n p ，并称p 为成功概率.

六、离散随机变量的均值（数学期望） 一般地，随机变量X 的概率分布列为 X

x 1 x 2 … x i … x n P

p 1 p 2 … p i … p n

则称1122()i i n n E X x p x p x p x p =+++++

为X 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

1．若Y aX b =+，其中a ，b 为常数，则Y 也是变量 Y 1ax b + 2ax b + … i ax b + … n ax b +

P p 1 p 2 … p i … p n

则()EY aE X b =+，即()()E aX b aE X b +=+ 2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么

()=10(1)E X p p p ?+?-=

即若X 服从两点分布，则()E X p =

3．若~(,)X B n p ，则()E X np =

七、离散型随机变量取值的方差和标准差 一般地,若离散型随机变量x 的概率分布列为 X

x 1 x 2 … x i … x n P

p 1 p 2 … p i … p n

221122(())(())((.

n DX x E X p x E X p x E X DX X =-+-+???+-则称并称为随机变量的标准差

1．若X 服从两点分布，则()(1)D X p p =- 2．若~(,)X B n p ，则()(1)D X np p =- 3．2

()()D aX b a D X +=