北师大版版高考数学一轮复习平面解析几何直线的倾斜角与斜率直线的方程教学案理解析版

[考纲传真] １．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.２．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.３．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系．

１．直线的倾斜角

（１）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0.

（２）倾斜角的范围是[0，π）．

２．斜率公式

（１）直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝ta n_α.

（２）P１（x１，y１），P２（x２，y２）在直线l上，且x１≠x２，则l的斜率k＝错误!.

３．直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式y—y0＝k（x—x0）不含直线x＝x0

斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线

两点式错误!＝错误!不含直线x＝x１（x１≠x２）和直线y＝y１（y１≠y２）

截距式错误!＋错误!＝１不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式Ax＋By＋C＝0

（A２＋B２≠0）

平面内所有直线都适用

１．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：

α0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜１80°k0k＞0不存在k＜0

[基础自测]

１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（１）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．（）

（２）直线的倾斜角越大，其斜率就越大．（）

（３）过定点P0（x0，y0）的直线都可用方程y—y0＝k（x—x0）表示．（）

（４）经过任意两个不同的点P１（x１，y１），P２（x２，y２）的直线都可以用方程（y—y１）（x２—x

）＝（x—x１）（y２—y１）表示．（）

１

[答案] （１）×（２）×（３）×（４）√

２．（教材改编）已知两点A（—３，错误!），B（错误!，—１），则直线AB的斜率是（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!

Ｃ．错误!Ｄ．—错误!

D[k AB＝错误!＝—错误!，故选Ｄ．]

３．（教材改编）过点（—１,２）且倾斜角为３0°的直线方程为（）

Ａ．错误!x—３y＋6＋错误!＝0

Ｂ．错误!x—３y—6＋错误!＝0

Ｃ．错误!x＋３y＋6＋错误!＝0

Ｄ．错误!x＋３y—6＋错误!＝0

A[直线的斜率k＝ta n ３0°＝错误!.

由点斜式方程得y—２＝错误!（x＋１），即错误!x—３y＋6＋错误!＝0，故选Ａ．]

４．如果A·C＜0且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过（）

Ａ．第一象限Ｂ．第二象限

Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限

C[法一：由Ax＋By＋C＝0得y＝—错误!x—错误!.

又AC＜0，BC＜0，故AB＞0，从而—错误!＜0，—错误!＞0，

故直线不通过第三象限．故选Ｃ．

法二：取A＝B＝１，C＝—１，则直线x＋y—１＝0，其不过第三象限，故选Ｃ．]

５．过点M（３，—４），且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．

４x＋３y＝0或x＋y＋１＝0 [若直线过原点，则k＝—错误!，所以y＝—错误!x，即４x＋３y＝0．

若直线不过原点，设错误!＋错误!＝１，即x＋y＝a，则a＝３＋（—４）＝—１，所以直线方程为x＋y＋１＝0．]

直线的倾斜角与斜率的应用

【例１】（１）直线２x cos α—y—３＝0错误!的倾斜角的取值范围是（）

Ａ．错误!Ｂ．错误!

Ｃ．错误!Ｄ．错误!

（２）直线l过点P（１,0），且与以A（２,１），B（0，错误!）为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．

（１）B（２）（—∞，—错误!]∪[１，＋∞）[（１）直线２x cos α—y—３＝0的斜率k＝２cos α.由于α∈错误!，所以错误!≤cos α≤错误!，因此k＝２cos α∈[１，错误!]．设直线的倾斜角为θ，则有ta n θ∈[１，错误!]．由于θ∈[0，π），所以θ∈错误!，即倾斜角的取值范围是错误!.

（２）如图，∵k AP＝错误!＝１，k BP＝错误!＝—错误!，

要使过点P的直线l与线段AB有公共点，

只需k≥１或k≤—错误!，即直线l斜率的取值范围为（—∞，—错误!]∪[１，＋∞）．]

[母题探究] （１）若将本例（２）中P（１,0）改为P（—１,0），其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．

（２）若将本例（２）中的B点坐标改为B（２，—１），其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．[解] （１）∵P（—１,0），A（２,１），B（0，错误!），

∴k AP＝错误!＝错误!，

k BP＝错误!＝错误!.

如图可知，直线l斜率的取值范围为错误!.

（２）如图，直线PA的倾斜角为４５°，直线PB的倾斜角为１３５°，

由图像知l的倾斜角的范围为[0°，４５°]∪[１３５°，１80°）．

[规律方法] １．求倾斜角的取值范围的一般步骤

（１）求出斜率k＝ta n α的取值范围．

（２）利用三角函数的单调性，借助图像，确定倾斜角α的取值范围．

求倾斜角时要注意斜率是否存在．

２．斜率的求法

（１）定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝ta n α求斜率．

（２）公式法：若已知直线上两点A（x１，y１），B（x２，y２），一般根据斜率公式k＝错误!（x１≠x

）求斜率．

２

斜角的取值范围是（）

Ａ．错误!Ｂ．错误!∪错误!

Ｃ．错误!Ｄ．错误!

（２）设P为曲线C：y＝x２＋２x＋３上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为错误!，则点P的横坐标的取值范围为（）

Ａ．错误!Ｂ．[—１,0]

Ｃ．[0,１] Ｄ．错误!

（１）D（２）A[（１）由题（—a—２＋１）错误!＞0，

即（a＋１）（a＋错误!）＜0，

所以—错误!＜a＜—１，又直线l的斜率k＝a，

即—错误!＜k＜—１，

所以倾斜角的取值范围为错误!，故选Ｄ．

（２）由题意知y′＝２x＋２，设P（x0，y0），则k＝２x0＋２．

因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为错误!，所以0≤k≤１，即0≤２x0＋２≤１．

所以—１≤x0≤—错误!.故选Ａ．]

直线方程的求法

【例２】已知△ABC的三个顶点分别为A（—３,0），B（２,１），C（—２,３），求：

（１）BC边所在直线的方程；

（２）BC边上中线AD所在直线的方程；

（３）BC边的垂直平分线DE的方程．

[解] （１）因为直线BC经过B（２,１）和C（—２,３）两点，得BC的方程为错误!＝错误!，即x＋２y—４＝0．

（２）设BC边的中点D（x，y），则x＝错误!＝0，y＝错误!＝２．

BC边的中线AD过A（—３,0），D（0,２）两点，所在直线方程为错误!＋错误!＝１，即２x—３y ＋6＝0．

（３）由（１）知，直线BC的斜率k１＝—错误!，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k２＝２．所求直线方程为y—２＝２（x—0），即２x—y＋２＝0．

[规律方法] 求直线方程应注意以下三点

１在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.

２对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零.

３截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解.

该直线的方程为________．

（２）若直线经过点A（—错误!，３），且倾斜角为直线错误!x＋y＋１＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________．

（１）x＋２y＋１＝0或２x＋５y＝0 （２）错误!x—y＋6＝0 [（１）１当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将（—５,２）代入y＝kx中，得k＝—错误!，

此时，直线方程为y＝—错误!x，即２x＋５y＝0．

２当横截距、纵截距都不为零时，

设所求直线方程为错误!＋错误!＝１，

将（—５,２）代入所设方程，解得a＝—错误!，此时，直线方程为x＋２y＋１＝0．

综上所述，所求直线方程为x＋２y＋１＝0或２x＋５y＝0．

（２）由错误!x＋y＋１＝0得此直线的斜率为—错误!，

所以倾斜角为１２0°，从而所求直线的倾斜角为60°，

故所求直线的斜率为错误!.

又直线过点A（—错误!，３），所以所求直线方程为y—３＝错误!（x＋错误!），即错误!x—y＋6＝0．]