高中 空间向量的应用 知识点+例题 分类全面
[例1] 若直线1l 与2l 的方向向量分别为)4,4,2(-=a 与)6,9,6(-=b ，则两条直线的位置关系是_________.垂直
[巩固1] 已知直线l 的一个方向向量为)2,1,1(--=a ，平面α的一个法向量为)4,2,2(--=b ，则直线l 与平面α的位置关系是____________.垂直
[巩固2]两个不重合平面的法向量分别为)1,0,1(1-=v 与)2,0,2(2-=v ，则这两个平面的位置关系是___________.平行
[巩固3]已知直线l 的方向向量是e ，平面α，β的法向量分别是1n 与2n ，若a =βα ，且1n e ⊥，2n e ⊥，则l 与a 的关系是_______.平行或重合
[例2] 已知平面α，β的法向量分别是（-2，3，m ），（4，λ，0），若α∥β，则λ+m 的值_________.-6
[巩固1] 已知平面α的法向量是（2，3，-1），平面β的法向量是（4，λ，-2），若α//β，则λ的值为_______.6
[巩固2] 若平面α，β的法向量分别是（-1，2，4），（x ，-1，-2）并且α⊥β，则x 的值为_________.-10
[例3] 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： （1）FC 1∥平面ADE ； （2）平面ADE ∥平面B 1C 1F ．
精典例题透析
[巩固]在边长是2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，A 1C 的中点．应用空间向量方法求解下列问题． （1）求EF 的长
（2）证明：EF ∥平面AA 1D 1D ； （3）证明：EF ⊥平面A 1CD.
1．求异面直线所成角
设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝><21,cos m m .（]2
,
0(π
θ∈）
[例]已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝CC 1，D 为B 1C 1的中点，求异面直线BD 和A 1C 所成角的余弦值．
如图所示，以C 为原点，直线CA 、CB 、CC 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 设CA ＝CB ＝CC 1＝2，
则A 1(2,0,2)，C (0,0,0)，B (0,2,0)，D (0,1,2)， ∴BD →＝(0，－1,2)，A 1C →
＝(－2,0，－2)，
知识模块3空间向量的应用
∴cos 〈BD →，A 1C →
〉＝BD →·A 1C →|BD →||A 1C →
|＝－105.
∴异面直线BD 与A 1C 所成角的余弦值为10
5
.
[巩固]如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求异面直线BA 1和AC 所成的角．
解 ∵BA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝AB →＋BC →
，
∴BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(AB →＋BC →) ＝BA →·AB →＋BA →·BC →＋BB 1→·AB →＋BB 1→·BC →. ∵AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴BA →·BC →＝0，BB 1→·AB →＝0， BB 1→·BC →＝0，BA →·AB →＝－a 2， ∴BA 1→·AC →＝－a 2. 又BA 1→·AC →＝|BA 1→|·|AC →|·cos 〈BA 1→，AC →〉，
∴cos 〈BA 1→，AC →
〉＝－a 22a ×2a
＝－12.
∴〈BA 1→，AC →
〉＝120°.
∴异面直线BA 1与AC 所成的角为60°.
2．求线面所成角
设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝> ,0[π θ∈） [例]如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点．若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值． 设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点， 分别以射线DC ，DF ，DA 为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图． 则M (1,0,2)，N (0,1,0)，可得MN → ＝(－1,1，－2)． 又DA → ＝(0,0,2)为平面DCEF 的法向量， 可得cos 〈MN →，DA → 〉＝MN →·DA →|MN →||DA → | ＝－63. 所以MN 与平面DCEF 所成角的正弦值为 |cos 〈MN →，DA → 〉|＝63. [巩固]如图所示，在几何体ABCDE 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，BE 和CD 都垂直于平面ABC ，且 n m α l n m α l BE ＝AB ＝2，CD ＝1，点F 是AE 的中点．求AB 与平面BDF 所成角的正弦值． 解 以点B 为原点，BA 、BC 、BE 所在的直线分别为x ，y ，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 B (0,0,0)，A (2,0,0)， C (0,2,0)， D (0,2,1)， E (0,0,2)， F (1,0,1)． ∴BD →＝(0,2,1)，DF → ＝(1，－2,0)． 设平面BDF 的一个法向量为 n ＝(2，a ，b )， ∵n ⊥DF →，n ⊥BD →， ∴????? n ·DF →＝0，n · BD →＝0. 即? ???? (2，a ，b )·(1，－2，0)＝0，(2，a ，b )·(0，2，1)＝0. 解得a ＝1，b ＝－2.∴n ＝(2,1，－2)． 设AB 与平面BDF 所成的角为θ， 则法向量n 与BA → 的夹角为π2 －θ， ∴cos ????π2－θ＝BA → ·n |BA →||n |＝(2，0，0)·(2，1，－2)2×3 ＝23， 即sin θ＝23，故AB 与平面BDF 所成角的正弦值为2 3. 3．求二面角（],0[πθ∈） 如图①，AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝> 如图②③，n 1，n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝><21,cos n n 或 ><-21,cos n n ． [例]如图，ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝BC ＝BA ＝1，AD ＝1 2 ，求面SCD 与面SBA 所成角 的余弦值大小． 建系如图，则A (0,0,0)， D ??? ?1 2，0，0，C (1,1,0)， B (0，1,0)，S (0,0,1)， ∴AS →＝(0,0,1)，SC → ＝(1,1，－1)， SD →＝????12，0，－1，AB →＝(0,1,0)，AD → ＝????12，0，0. ∴AD →·AS →＝0，AD →·AB →＝0. ∴AD →是面SAB 的法向量，设平面SCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有n ·SC →＝0且n ·SD →＝0. 即????? x ＋y －z ＝0，12 x －z ＝0.令z ＝1，则x ＝2，y ＝－1. ∴n ＝(2，－1,1)． ∴cos 〈n ，AD → 〉＝n ·AD →|n ||AD → |＝2×126× 12＝63. 故面SCD 与面SBA 所成的二面角的余弦值为 63 . [巩固]如图，在三棱锥S —ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点． （1）证明：SO ⊥平面ABC ； （2）求二面角A —SC —B 的余弦值． (1)证明 由题设AB ＝AC ＝SB ＝SC ＝SA . 连接OA ，△ABC 为等腰直角三角形， 所以OA ＝OB ＝OC ＝2 2 SA ， 且AO ⊥BC . 又△SBC 为等腰三角形， 故SO ⊥BC ，且SO ＝2 2 SA .从而OA 2＋SO 2＝SA 2， 所以△SOA 为直角三角形，SO ⊥AO . 又AO ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC . (2)解 以O 为坐标原点，射线OB 、OA 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 建立如图的空间直角坐标系Oxyz ，如右图． 设B (1,0,0)，则C (－1,0,0)， A (0,1,0)，S (0,0,1)． SC 的中点M ????－12，0，12， MO →＝????12，0，－12，MA → ＝????12 ，1，－12， SC → ＝(－1,0，－1)， ∴MO →·SC →＝0，MA →·SC →＝0. 故MO ⊥SC ，MA ⊥SC ，〈MO →，MA → 〉等于二面角A —SC —B 的平面角． cos 〈MO →，MA → 〉＝MO →·MA →|MO →||MA → |＝33，所以二面角A —SC —B 的余弦值为33. 4．异面直线间距离的求法 与两条异面直线均垂直、相交的直线叫两条异面直线的公垂线，两条异面直线的公垂线有且只有一条. 两条异面直线的公垂线段的长度，叫两条异面直线的距离. 设l 1，l 2是两条异面直线，n 是l 1，l 2的公垂线段AB 的方向向量，又C 、D 分别是l 1，l 2上的任意两点，则n n DC AB ?= [例]正四面体ABCD ，棱长均为a 求异面直线AD 、BC 的距离。 解：① E 、F 为BC 、AD 中点，连AE 、DE 、BF 、CF l 1 l 2 D A B n C ADE ?中，a DE AE 2 3 = = F 为等腰AED ?底边中点 ∴ EF ⊥AD 同上EF ⊥BC ∴ E 、F 为AD 、BC 公垂线 ∴ a AF AE EF 2 222= -= [巩固]P 为ABC ?所在平面外一点，E 为P A 中点，且AC BE ⊥，AC PC ⊥，a PA =，b PC =（b a >）。求异面直线BE 、PC 的距离。 解：F 为PC 中点连EF ? ? ? ? ? ??⊥????⊥⊥???? ⊥PC EF AC PC AC EF BE EF AC BE AC EF ////EF 为PC 、BE 公垂线 ∴ BE 、PC 距离为2 22b a - 5．点面距离求法 设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，则点B 到平面α的距离为 n n AB ? 线面距、面面距均可转化为点面距求解. [例]在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点，如图所示. 求点B 到平面CMN 的距离． 取AC 的中点O ，连结OS 、OB . ∵SA ＝SC ，AB ＝BC ， ∴AC ⊥SO ，AC ⊥BO . ∵平面SAC ⊥平面ABC ， 平面SAC ∩平面ABC ＝AC ， ∴SO ⊥平面ABC ， 又∵BO ?平面ABC ，∴SO ⊥BO . 如图所示，建立空间直角坐标系O —xyz ， 则B (0,23，0)，C (－2,0,0)，S (0,0,22)，M (1，3，0)，N (0，3，2)． ∴CM →＝(3，3，0)，MN →＝(－1,0，2)，MB → ＝(－1，3，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量， 则????? CM →·n ＝3x ＋3y ＝0 MN →·n ＝－x ＋ 2z ＝0 ，取z ＝1， 则x ＝2，y ＝－6，∴n ＝(2，－6，1)． ∴点B 到平面CMN 的距离d ＝|n ·MB →||n |＝42 3 . [巩固]如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝2 3.求点A 到平面MBC 的距离． 解：取CD 中点O ，连结OB ，OM ， 则OB ⊥CD ，OM ⊥CD . 又平面MCD ⊥平面BCD ， 则MO ⊥平面BCD . 取O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴、 y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图． OB ＝OM ＝3，则各点坐标分别为 C (1,0,0)，M (0,0，3)， B (0，－3，0)，A (0，－3，23)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面MBC 的法向量， 则BC →＝(1，3，0)，BM → ＝(0，3，3)， 由n ⊥BC →得x ＋3y ＝0；由n ⊥BM → 得3y ＋3z ＝0. 取n ＝(3，－1,1)，BA → ＝(0,0,23)， 则d ＝|BA →·n ||n |＝235＝2155. 1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM → 〉的值等于__________. 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，易知DB 1→ ＝(1,1,1)， CM → ＝? ???1，－12，0， 故cos 〈DB 1→，CM → 〉＝DB 1→·CM →|DB 1→||CM → | ＝1515， 从而sin 〈DB 1→，CM → 〉＝21015 . 2．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为________. 建立空间直角坐标系如图． 则A (1,0,0)，E (0,2,1)， B (1,2,0)，C 1(0,2,2)． BC 1→＝(－1,0,2)，AE → ＝(－1,2,1)， 夯实基础训练 cos 〈BC 1→，AE → 〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE → |＝3010. 所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为 30 10 . 3． P 是二面角α—AB —β棱上的一点，分别在α、β平面上引射线PM 、PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α—AB —β的大小为___________. 不妨设PM ＝a ，PN ＝b ，作ME ⊥AB 于E ，NF ⊥AB 于F ， 如图： ∵∠EPM ＝∠FPN ＝45°， ∴PE ＝22a ，PF ＝2 2b ， ∴EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN →－PF →) ＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF → ＝ab cos 60°－a ×22b cos 45°－22ab cos 45°＋22a ×2 2 b ＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab 2＝0， ∴EM →⊥FN → ，∴二面角α—AB —β的大小为90°. 4．已知正四棱锥P —ABCD 的棱长都相等，侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成的二面角的余弦值是________． 解析 如图建立空间直角坐标系，设正四棱锥的棱长为2， 则PB ＝2，OB ＝1，OP ＝1. ∴B (1,0,0)，D (－1,0,0)， A (0,1,0)，P (0,0,1)， M ????12，0，12， N ????－12 ，0，12， AM → ＝????12，－1，12， AN → ＝????－12 ，－1，12， 设平面AMN 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 由? ?? n ·AM →＝1 2x －y ＋12 z ＝0， n ·AN → ＝－12x －y ＋12 z ＝0， 解得x ＝0，z ＝2y ，不妨令z ＝2，则y ＝1. ∴n 1＝(0,1,2)，平面ABCD 的法向量n 2＝(0,0,1)， 则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2 |n 1|·|n 2|＝25 ＝255. 5．如图，P A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°且P A ＝AC ＝BC ＝a ，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于________． 解析 PB →＝P A →＋AB →，故PB →·AC →＝(P A →＋AB →)·AC →＝P A →·AC →＋AB →·AC → ＝0＋a ×2a ×cos 45°＝a 2. 又|PB →|＝3a ，|AC → |＝a . ∴cos 〈PB →，AC →〉＝33，sin 〈PB →，AC → 〉＝63 ， ∴tan 〈PB →，AC → 〉＝ 2. 6．如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为________． 解析 不妨设正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)， D ????32 ，－1 2，2. 则CD → ＝????32 ，－12，2， CB 1→ ＝(3，1,2)， 设平面B 1DC 的法向量为 n ＝(x ，y,1)，由????? n · CD →＝0，n · CB 1→＝0， 解得n ＝(－3，1,1)．又∵DA → ＝??? ?32，－12，－2， ∴sin θ＝|cos 〈DA → ，n 〉|＝45 . 7．如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD . (1)求二面角B －AD －F 的大小； (2)求直线BD 与EF 所成的角的余弦值． 解 (1)∵AD 与两圆所在的平面均垂直， ∴AD ⊥AB ，AD ⊥AF ， 故∠BAF 是二面角B —AD —F 的平面角．(2分) 依题意可知，ABFC 是正方形，∴∠BAF ＝45°. 即二面角B —AD —F 的大小为45°.(5分) (2)以O 为原点，CB 、AF 、OE 所在直线为坐标轴， 建立空间直角坐标系(如图所示)， 则O (0,0,0)，A (0，－3 2，0)，B (3 2，0,0)，D (0，－3 2，8)， E (0,0,8)，F (0,3 2，0)，(7分) ∴BD → ＝(－3 2，－3 2，8)， EF →＝(0,3 2，－8)．cos 〈BD →，EF → 〉＝BD →·EF →|BD →||EF →| ＝0－18－64100×82 ＝－8210.(10分) 设异面直线BD 与EF 所成角为α，则 cos α＝|cos 〈BD →，EF → 〉|＝8210 . 即直线BD 与EF 所成的角的余弦值为82 10.