变化率问题教案

第三章导数及其应用

3.1.1变化率问题

教师：何永江三维目标：

知识目标：1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。

能力目标：1.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力； 2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。

情感目标：感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。

教学重点：1.平均变化率的概念的归纳得出；2.理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；

教学难点：平均变化率的理解与转化

教学方法：引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解平均变化率的实际意义和几何意义。

教学过程设计：

一．创设情境

产生的背景及其作用

【设计意图】运用数学史知识,有助于帮助学生弄清数学知识的来龙去脉，使知识网络更加清晰，形成科学系统；运用数学史知识，会让学生大脑处于兴奋状态，提高学习兴趣，对所学内容有更深刻的理解乃至欣赏，并领悟到问题的本质.

二．新课讲授（1）问题提出：

【设计意图情况，让学生得出平均变化率的概念。问题一气温平均变化率

【学生探索】

问题1：A 到B 和B 到C 问题2：能不能说“温度差越大，气温变化越快？”

问题3从图中观察出各时间段内的温度变化情况,怎样用数学知识表示这种现象？（先自主思考，然后小组讨论，最后小组代表汇报成果。）

问题4：如果把气温C 看作时间t 的函数，即C=f(t),则t 1至t 2这段时间内气温的平均变化率如何表示？

问题5：若函数关系为y=f (x)

, 当x 从x 1增加到x 2时，则它的平均变化率如何表示？

【获取新知】平均变化率概念: 平均变化率：式子1

212)()(x x x f x f -- ，称为函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率。习惯上用1212x x x x x x -=?-?，即表示, )()(12x f x f f -=?

则平均变化率为1

212)()(x x x f x f --x y ??=（说明?x 是一个整体符号，而不是?与x 相乘）【定义理解】1、平均变化率是用来刻画变量变化快慢的量。

2、式子中?x ，?y 的值可正、可负，?x 的值不能为0，?y 的值可以为0.

3、变式:

x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 问题二高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.

思考，我们可以用什么物理量来描述运动员在某段时间内的运动快慢情况?（平均速度），

动手计算：21≤≤t 的平均速度v ，

思考：当时间从t 1增加到t 2时,高台跳水运动员的平

均速度是多少?

学生探究,分析作答

求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的变化量 (2)计算函数平均变化率：【例题讲解】

例1.已知f(x)=3x+1,分别求其在下列区间上的平均变化率。

(1) [1，2]， (2) [m ，n]

例2.已知f(x)=x 2,分别求其在下列区间上的平均变化率

(1) [-1，1]， (2) [x 0，x 0+△x]（△x ＞0）

【学生探索】平均变化率的几何意义？

三、小结归纳和课后探究

１.通过本节课的学习，你学到了那些知识？２.你又掌握了哪些学习方法？３.课后作业：习题3.1 Ａ组第1题．（P79）

课后探究：

1.计算运动员在49

650≤

≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内是静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 2.观察函数y=f (x),的图象，讨论：当x 1逼近于x 2，即△x 逼近于 0 时，其割线AB

的斜率有什么样的变化趋势？

x x x x x x ?+=∴-=?1212, )

()(12x f x f y -=?1212)()( y x x x f x f x --=??

人教版高中数学全套教案导学案111变化率问题

1. 1.1变化率问题课前预习学案。知道平均变化率的定义。，课本中的问题1,2 预习目标：“变化率问题”预习内容：气球膨胀率问题1 气球,,随着气球内空气容量的增加我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现 ,如何描述这种现象呢？的半径增加越来越慢.从数学角度43?r?r)V(dmVL r)气球的体积:(单位:之间的函数关系是)与半径(单位33V?)r(V V r,如果将半径那么表示为体积的函数3?4在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V增加到V时,气球的平均膨胀率为_____________21问题2 高台跳水 h 与起跳后)单位：m在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(2如何用运动+10. +6.5-4.9tt 的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= v? 粗略地描述其运动状态员在某些时间段内的平均速度v5t.?00?=_________________ 这段时间里，在v2?t?1=_________________ 这段时间里，在ot 问题3 平均变化率????xffxx到从已知函数，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数1x?xx看做是相表示=___________,可把，即习惯上用 ___________.x??x?x122x?xx__________________,代替对于类似有的一个“增量”，可用，?x)?f(x?211_______________________ 于是，平均变化率可以表示为提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案 1.学习目标理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; .

高中数学变化率问题教案

§1.1.1变化率问题教学目标 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲授（一）问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少 ?

高中数学选修1-1《变化率问题》教案

人教版选修1-1第三章导数及其应用P72—74 21020 30 教材分析本节课是导数的起始课，教材从变化率问题开始，引入平均变化率的概念，并用平均变化率探求瞬时变化率，然后，从数学上给予变化率在数量上的精确描述，即导数。这样处理符合学生的认知规律，使学生的导数学习有了生长点，因此函数平均变化率教学的成败，直接决定导数概念的学习与理解。二、教学目标分析 1、知识与技能：理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。 2、过程与方法：感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。 3、情感态度与价值观：体会平均变化率的思想及内涵，使学生逐渐掌握数学研究的基本思考方式和方法，培养学生互相合作的风格以

及勇于探究、积极思考的学习精神。三、重点与难点分析: 根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：重点：平均变化率的实际意义和数学意义难点：平均变化率概念的理解和运用四、学情分析 1、有利因素：高二学生个性活泼、思维活跃、积极性高，已具有对数学问题进行合理探究的意志与能力。 2、不利因素：学生两极分化开始形成，学生个体差异比较明显。五、教法学法根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下教法、学法：探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。六、教学过程设计（一）创设情景、激发热情 [情境1]：法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度达到8.52m/s。平均速度的数学意义是什么? 【设计意图】数学学习过程中的兴趣是主体性学习的内在动力，也是学好数学的基本保证。一个引人入胜的开头，会拓宽学生思路，尊重学生的生命活动，激发兴趣，大大提高教学效率。（二）感知过程、建构概念 [情境2]：广州市2009年1月18日到2月18日的日最高气温变化曲线: ) (C T 20 30

优秀教案21-变化率与导数

第三章导数及其应用 3.1 变化率与导数（1）教材分析导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率，以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具.在本章,我们将利用丰富的背景与大量实例,学习导数的基本概念与思想方法;通过应用导数研究函数性质、解决生活中的最优化问题等实践活动，初步感受导数在解决数学问题与实际问题中的作用.教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．课时分配本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A 版）数学选修1－1第三章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时，主要讲解导数的概念及利用定义求导数. 教学目标重点: 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．知识点：导数的概念. 能力点：掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤教育点：通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验自主探究点：通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程. 考试点：利用导数的概念求导数. 易错易混点：对0x ?→的理解，0,0,x x ?>?<0,0x x ?>?≠但0x ?≠. 拓展点：导数的几何意义. 教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学

增长率与增长速率

种群增长率与种群增长速率虽一字之差，但内涵完全不同。增长率是指：单位数量的个体在单位时间内新增加的个体数，其计算公式为：（本次总数-上次总数）/上次总数*100％=增长率。如某种群现有数量为a，一年后，该种群数为b，那么该种群在当年的增长率为（b-a）/ a。增长速率是指单位时间内增长的数量。其计算公式为：（本次总数-上次总数）/ 时间=增长速率。同样某种群现有数量为a，一年后，该种群数为b，其种群增长速率为：（b-a）/1年。即增长率=出生率—死亡率。故增长率不能等同于增长速率。因此，“J”型曲线的增长率是不变的，而增长速率是要改变的。“S”型曲线的增长率是逐渐下降的，增长速率是先上升，后下降。种群中“S”型曲线中,“K/2”时有一个拐点，此时“增长速率”最大，之后增长变慢。“增长速率”是该曲线上“某点”的切线的斜率，斜率越大，增长速率就越大，且斜率最大时在“K/2”。“增长率”不是一个点的问题，是某两端相比较。不能把增长速率等同于增长率。在“J”型曲线增长的种群中，增长速率应该是逐渐增大。增长速率是增长的数量除以时间。在“J”型增长曲线中也就是曲线的斜率。从课本图中可发现曲线的斜率在不断增大，而每年的增长率（λ）是不变的。 J型曲线和S型曲线增长率和增长速率 2011-01-08 9:40 增长率和增长速度这两个概念在习题中经常把增长率看作增长速度，这种模糊处理没有科学性。包括很多资料都没有很好区分；增长率是个百分率，没有“单位”，而增长速率有“单位”，“个（株）/年”。我举个例子来说明这个问题：“一个种群有1000个个体，一年后增加到1100”，则该种群的增长率为[（1100-1000）/1000]*100%=10%。而增长速率为（1100-1000）/1年=100个/年。增长率和增长速率没有大小上的相关性。增长率：增长率是指单位时间内种群数量变化率，即种群在单位时间内净增加的个体数占个体总数的比率。增长率＝（现有个体数－原有个体数）／原有个体数＝出生率—死亡率＝（出生数－死亡数）/（单位时间×单位数量）。在“J”型曲线增长的种群中，增长率保持不变；而在“S”型增长曲线中增长率越来越小。增长速率：增长速率是指单位时间种群增长数量。增长速率＝（现有个体数－原有个体数）／增长时间=（出生数－死亡数）/单位时间]。种群增长速率就是曲线上通过每一点的切线斜率，不论是“J”型曲线还是“S”型曲线上的斜率总是变化着的。在“J”型曲线增长的种群中，增长速率是逐渐增大。在“S”型曲线增长的种群中，“增长速率”是该

科学探究-速度的变化教案

科学探究：速度的变化教学目标： 1、采用将物体运动所经历时间或路程分解为若干段的方法测量不同阶段物体的运动速度。 2、能通过实验测量数据，并正确记录数据。 3、懂得个人观点、见解的正确与否必须通过实验（实践）来证明，通过实验养成认真细致的行为习惯和实事求是的精神、养成和其他同学合作的意识，初步认识科学探究方法。重点难点：重点：科学探究的过程。教具：停表、米尺、斜面、小球、挡板等。教法：讲解、讨论、实验、交流课型：科学探究课释疑知识点：科学探究活动与实验是有区别的。不能将科学探究简化为实验，实验过程是探究活动的组成部分，因此，探究活动的计划，评估和交流显得更为重要。一、科学探究过程：（学生讨论、交流、实验，教师引导）例题：如图，探究小球沿斜坡下滑的速度是否变化？如何变化？ ? ⑴提出问题：小球沿斜坡下滑时，做的是变速直线运动吗？你提出的问题是： ⑵猜想与假设：小球在斜坡下滑时的速度可能越来越大。你的猜想是: ⑶制定计划与设计实验：要想搞清楚小球沿斜坡下滑的速度究竟怎样变化，可以将斜面分成两段，分别利用测量的方法测出小球在上半段和下半段的速度加以比较。 ①由速度公式可知，只要我们能够测出小球通过每一段的及所用的，利用公式就可以算出对应的速度。

②需要的器材有：。思考：小球通过下半段的时间怎样测量呢？把小球放在B处开始下滑测时间，这样做对吗？你的观点是：。 ③设计实验纪录表格，为收集数据，分析实验结果提供依据。 ⑷进行实验与收集数据：实验中有以下几个问题需要考虑：如何测小球下滑的路程？正确记录数据。如果发现不合理的数据可以更改吗？该怎样处理？ ⑸分析与论证：下面是一个小组测量的记录数据，请你帮他完成表格。结论：（6）评估、交流与合作：二、课堂练习：课后作业1、2、3 三、小结(略) 四、布置作业： 1．写出探究报告，并分析得出结果。板书设计： §2-4 科学探究：速度的变化反思：答案：⑴小球沿斜坡下滑时速度越来越快吗？（或越来越慢吗？） ⑵同上。 ⑶①v=s/t ，路程，时间

变化率和导数(三个课时教案)

第一章导数及其应用第一课时：变化率问题教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

二．新课讲授（一）问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了 )(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了 )(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.01 2)1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1 212) ()(V V V r V r --

3.1 变化率与导数教学设计教案

教学准备 1. 教学目标知识与技能 1.理解平均变化率的概念. 2.了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念. 3.理解导数的概念 4.会求函数在某点的导数或瞬时变化率. 过程与方法理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率．情感、态度与价值观感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力． 2. 教学重点/难点教学重点平均变化率的概念．教学难点平均变化率概念的形成过程． 3. 教学用具多媒体、板书 4. 标签教学过程教学过程设计

创设情景、引入课题【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。新知探究 1.变化率问题探究1 气球膨胀率【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么【分析】（1）当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为（2）当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为

(word完整版)数学北师大版高中选修2-2北师大版高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》教案

北师大版高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》全部教案 §1变化的快慢与变化率第一课时变化的快慢与变化率——平均变化率一、教学目标：1、理解函数平均变化率的概念； 2、会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢。二、教学重点：从变化率的角度重新认识平均速度的概念，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化的快慢的数量描述。教学难点：对平均速度的数学意义的认识三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程 (一)、客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是

速度变化快慢的描述

各位评委大家好，我说课的题目是，人教版高中物理: 速度变化快慢的描述—加速度一、教材分析、学情分析 1、教材地位分析加速度是高中物理必修（1）第一章第五节内容，它是今后学习运动学和动力学的基础概念， 2、学情分析加速度是一个非常抽象的物理概念，爱因斯坦就曾经指出：“精确建立加速度概念的公式，并且认识它的物理意义，该显示出多大的想象力”。高一学生的抽象思维能力不强，并且在学生的生活语言里没有与加速度概念相关的语言，这些都为加速度概念的建立带来很多困难。由于学生已经熟悉了平均速度的引入方法，也就是比值定义法，因此本节课继续采用这种方法引入加速度概念。这样既能降低本节课的难度，又能顺应学生的理解水平。二、重点、难点根据学情分析本节课的重点是 (1)加速度的概念以及它的矢量性学好高中物理离不开数学知识，图像的充分利用就体现了这一点，本节课的第二个重点是：（2）利用v-t图像计算加速度 2、难点（1）加速度概念的建立加速度是一个抽象的概念，它的方向学生更是难以判断，本节课的第二个难点是：（2）加速度方向的判定根据教学的重难点，从学生的认知基础和心理特征出发，制定了本节课的三维目标。让学生达到的知识技能目标有四点：（1）知道加速度的概念、定义式和物理含义。（2）会根据加速度方向与速度方向的关系判断直线运动的运动性质（3）掌握运用矢量公式的一般解题步骤（4）会利用v-t图像计算加速度2、过程和方法（1）通过加速度概念的建立过程，让学生了解和体会“比值定义法“在科学研究的应用（2）通过例题探析过程，让学生掌握运用“矢量公式”的常规解题方法 3、情感、态度、价值观在本节课的教学过程中，要通过加速度概念的建立过程让学生认识到物理知识来源于生活；体会物理与生活的密切关系；提高学生学习物理、发现物理的兴趣和自觉性。四、教法、学法为了发挥教师的主导作用、尊重学生的主体地位，本节主要采取下面教学方法。 1、教法：

§1.1.1变化率问题教学设计

§1.1.1变化率问题教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲授（一）问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1 212) ()(V V V r V r -- 问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某

1.1变化率与导数第1课时精品教案

1.1变化率与导数【课题】：1.1.1变化率问题【教学目标】：（1）知识目标： ○1感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。体会数学的博大精深以及学习数学的意义。○2理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。（2）情感目标：让学生充分体会到生活中处处有数学。（3）能力目标：提高学生学习能力与探究能力、归纳表达能力。【教学重点】：正确理解平均变化率；【教学难点】：平均变化率的概念。【课前准备】：powerpoint 【教学过程设计】：

(基础题) 1.物体自由落体的运动方程是:()2 12 S t gt =,求１s 到２s 时的平均速度．解：213 14.72 S S g m -= = ,211t t s -=,

则()21 21 14.7/S S v m s t t -= =- 2.水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积（单位：3 cm ），计算第一个10s 内V 的平均变化率。注： (10)(0)100 V V -- 3.已知函数2 ()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001]。 4.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。 (难题) 5.思考：（1）课本P4思考题（2）在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位： s ）存在函数关系h （t ）=－4.9t 2＋6.5t ＋10.计算运动员在65 049 t ≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题： ○ 1运动员在这段时间里是静止的吗？ ○ 2你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？答案: ○1不是. ○2不能客观描述运动员的运动状态. T(月) 3 9 12 t t V 1.025)(-? =

速度变化规律

速度变化规律【学习目标】 1．能够根据加速度表达式推导得出速度公式，理解运动图像的物理意义及其应用。 2．经历探究匀变速直线运动的速度公式的推导过程，体会数学思想和方法在解决物理问题中的重要作用。【学习重点难点】重点：速度公式的应用和运动图像物理意义的理解和应用。难点：匀变速直线运动的特点，用公式法和图像法研究匀变速直线运动。【课前复习】 1．_____是来描述物体速度变化快慢的物理量，其表达式_____ 2．位移、速度、加速度均是_____，既有大小又有方向。 3．当加速度与出速度方向_____时，物体做加速运动；当加速度与初速度方向_____时，物体做减速运动。【学习过程】学习引入看图思考下列问题： t/s0123456 v/（m/s）024681012问题1：汽车的速度在如何变化？问题2：汽车在不同的时间段内速度变化快慢相同么？一、匀变速直线运动的特点 1m 2m/s 1s 4m 9m 2s 4m/s 3s 6m/s

定义：_____的直线运动称为匀变速直线运动。 1．加速度保持不变且方向与速度方向 _____ 时，物体做匀加速直线运动2．加速度保持不变且方向与速度方向_____时，物体做匀减速直线运动随堂练习关于匀变速直线运动，下列说法正确的是（） A．匀变速直线运动的速度随时间均匀变化 B．匀减速直线运动就是加速度为负值的运动 C．加速度大小不变的运动就是匀变速直线运动 D．速度先减小再增大的运动一定不是匀变速直线运动二、匀变速直线运动的速度—时间关系思考：汽车以2m/s的初速度，做加速度1m/s2的匀加速直线运动，问2s时汽车的速度达到多少？根据得匀变速直线运动在某一时刻的速度满足表达式： v t=________ 三、图像描述匀变速直线运动 t/s0123456 v/（m/s）024681012 思考作图：请绘制图像来描述汽车速度的变化。 t v v a t0 - = s m v2 = 2 1s m a= t=0s t=2s ? = t v a

科学探究速度的变化教案修订版

科学探究速度的变化教案集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]

科学探究：速度的变化教学目标： 1、采用将物体运动所经历时间或路程分解为若干段的方法测量不同阶段物体的运动速度。 2、能通过实验测量数据，并正确记录数据。 3、懂得个人观点、见解的正确与否必须通过实验（实践）来证明，通过实验养成认真细致的行为习惯和实事求是的精神、养成和其他同学合作的意识，初步认识科学探究方法。重点难点：重点：科学探究的过程。教具：停表、米尺、斜面、小球、挡板等。教法：讲解、讨论、实验、交流课型：科学探究课释疑知识点：科学探究活动与实验是有区别的。不能将科学探究简化为实验，实验过程是探究活动的组成部分，因此，探究活动的计划，评估和交流显得更为重要。一、科学探究过程：（学生讨论、交流、实验，教师引导）例题：如图，探究小球沿斜坡下滑的速度是否变化如何变化 ⑴提出问题：小球沿斜坡下滑时，做的是变速直线运动吗？你提出的问题是： ⑵猜想与假设：小球在斜坡下滑时的速度可能越来越大。你的猜想是: ⑶制定计划与设计实验：要想搞清楚小球沿斜坡下滑的速度究竟怎样变化，可以将斜面分成两段，分别利用测量的方法测出小球在上半段和下半段的速度加以比较。

①由速度公式可知，只要我们能够测出小球通过每一段的及所用的，利用公式就可以算出对应的速度。 ②需要的器材有：。思考：小球通过下半段的时间怎样测量呢把小球放在B处开始下滑测时间，这样做对吗你的观点是：。 ③设计实验纪录表格，为收集数据，分析实验结果提供依据。 ⑷进行实验与收集数据：实验中有以下几个问题需要考虑：如何测小球下滑的路程正确记录数据。如果发现不合理的数据可以更改吗该怎样处理 ⑸分析与论证：下面是一个小组测量的记录数据，请你帮他完成表格。结论：（6）评估、交流与合作：二、课堂练习：课后作业1、2、3 三、小结(略) 四、布置作业： 1．写出探究报告，并分析得出结果。板书设计： §2-4 科学探究：速度的变化反思：答案：⑴小球沿斜坡下滑时速度越来越快吗（或越来越慢吗） ⑵同上。 ⑶①v=s/t ，路程，时间 ②刻度尺、秒表（停表、手表）、挡板、斜面

变化率问题教学设计

§1.1.1变化率问题广水市一中王伟一.教学内容解析内容：平均变化率的概念及其求法。内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.1变化率问题。本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。教学重点：函数平均变化率的概念。二.目标和目标解析新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。目标解析： 1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。 2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。 3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。三.教学问题诊断分析吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面。但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键。教学难点：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。四.教学支持条件分析利用多媒体辅助教学，突出重点提高学习效率。在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想。通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程。五.教学过程设计 1.问题情景从生活述语和学生比较熟悉的姚明身高曲线引入课题。设计意图：使学生了解生活中的变化率问题，为归纳函数平均变化率提供更多的实际背景。 2.新课讲授

变化快慢的描述——速度

位置变化快慢的描述——速度【教学目标】知识与技能： 1．理解物体运动的速度，知道速度的意义、公式、符号、单位、矢量性。 2．理解平均速度的意义，会用公式计算物体运动的平均速度，认识各种仪表中的速度。 3．理解瞬时速度的意义。 4．能区别质点的平均速度和瞬时速度等概念。 5．知道速度和速率以及它们的区别。过程与方法： 1．通过描述方法的探索，体会如何描述一个有特点的物理量，体会科学的方法，体验用比值定义物理量的方法。 2．同时通过实际体验感知速度的意义和应用。 3．让学生在活动中加深对平均速度的理解，通过生活中的实例说明平均速度的局限性。 4．让学生在相互交流中逐渐领会瞬时速度与平均速度的关系，同时初步领略极限的思想并初步领会数学与物理相结合的方法，进而直接给出瞬时速度的定义。 5．会通过仪表读数，判断不同速度或变速度。情感态度与价值观： 1．通过介绍或学习各种工具的速度，去感知科学的价值和应用。 2．了解从平均速度求瞬时速度的思想方法，体会数学与物理间的关系。 3．培养学生认识事物的规律：由简单到复杂，培养学生抽象思维能力。 4．培养对科学的兴趣，坚定学习思考探索的信念。【教学重难点】教学重点：速度、瞬时速度、平均速度三个概念以及三个概念之间的联系。教学难点：对瞬时速度的理解。【教学过程】一、导入新课。出示图片生活和科学研究中经常需要知道物体运动的快慢和方向，不同的运动，快慢程度并不相同。

比较物体运动的快慢，你还记得初中有哪些方法吗？初中所学的速度与高中所学的速度完全相同吗？二、讲授新课（一）速度 1．比较物体运动快慢的方法（1）相同时间比较位移出示动画：小车的运动教师总结：相同时间内，位移越大，物体运动越快（2）相同位移比较时间出示动画：小车的运动教师总结：相同的位移，所用时间越短的物体运动的越快思考讨论：如果时间和位移都不同，怎样比较物体运动快慢呢？用单位时间内的位移来比较物体运动快慢。 2．速度（1）定义：物理学中用位移与发生这段位移所用时间之比表示物体运动的快慢，这就是速度。（2）定义式：v=Δx/Δt v 表示速度；Δx 表示物体在Δt 内的位移（3）单位：米每秒（m/s ）、千米每时（km/h ）、厘米每秒（cm/s ）等。（4）物理意义：描述物体运动快慢的物理量速度大小在数值上等于单位时间内物体位移的大小；速度的方向是物体运动的方向。（5）速度是矢量，它既有大小，又有方向。 v 的方向是由对应Δt 时间内位移Δx 的方向决定，正号表示与规定的正方向相同，负号表示与规定的正方向相反。针对练习： 1．说出下面速度方向并比较大小 1 5 m/s v = 220 km/h v = 38 m/s v =- 解答：1 5 m/s v =和220 km/h v = 方向与规定正方向相同 38 m/s v =- 方向与规定正方向相反 123v v v <<

§7.6 实验：探究功与速度变化的关系教案

§7.6 实验：探究功与速度变化的关系一、教学目标（一）知识与技能 1、会用打点计时器打下的纸带计算物体运动的速度; 2、学习利用物理图像探究功与物体速度变化的关系。（二）过程与方法通过用纸带与打点计时器来探究功与物体速度相关量变化的关系,体验知识的探究过程和物理学的研究方法。（三）情感态度与价值观体会学习的快乐,激发学习的兴趣;通过亲身实践,树立"实践是检验真理的唯一标准"的科学理念。二、教学重点学习探究功与物体速度变化的关系的物理方法――倍增法,并会利用图像法处理数据。三、教学难点实验数据的处理方法――图像法四、教学过程 1、阅读教材,提出方法 (1)实验装置:见右图。配套器材:课本方案装置 (2)实验思想方法:倍增法。虽为变力做功,但橡皮条做的功,随着橡皮条数目的成倍增加功也成倍增加。这种方法的构思极为巧妙。历史上,库仑应用类似的方法发现了着名的库仑定律。当然,恒力做功时,倍增法同样适用。 (3)数据处理方法:图像法。作出功-速度(W-v)曲线,分析这条曲线,得出功与速度变化的定量关系。 2、学生思考,提出预案 (1)学生提出多种设计预案,在课上展示设计的思路和方法: 课本方案、气垫导轨加数字毫秒计方案、铁架台打点计时器自由落体方案等。 (2)教师针对各种设计预案,进行分析: 主要从合理性、科学性、可行性等方面进行分析,略。 3、师生研讨,初定方案 1、制定基本的实验方案:(师生互动)互动以下面几个问题为中心展开: (1)探究中,我们是否需要橡皮筋做功的具体数值?不需要。因为实验是以倍增的思想方法设计,若橡皮筋第一次做功为W,则橡皮筋第二次做功为2W,…、橡皮筋第n次做功为nW。且实验巧妙地将倍增的物理方法应用于变力做功。 (2)为了达到各次实验中橡皮筋做的功成倍增加,即实现倍增,对各次实验中橡皮筋的伸长量有什么要求?你想出了什么办法?各次实验中橡皮筋的伸长量必须相同。若使小车在橡皮筋的变力作用下产生的位移相同,就要有相同的运动起点。具体方法是:以第一次实验时小车前(或后)端的位置为基准,垂直运动方向在木板上作出一条水平线。以后改变橡皮筋的条数时,

数学：1.1.1变化率问题教案 (2)

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲授（一）问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是3 3 4)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1 212) ()(V V V r V r -- 问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平 h t