吉林省实验中学高二(上)期末数学试卷(理科)含答案解析

吉林省实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）取一根长度为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2m的概率是（）

A．B．C．D．

2．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（）

A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2]D．[2，+∞）

3．（5分）命题“?x0∈?R Q，x03∈Q”的否定是（）

A．?x0??R Q，x03∈Q B．?x0∈?R Q，x03∈Q

C．?x??R Q，x3∈Q D．?x∈?R Q，x3?Q

4．（5分）如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据．由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+a，则a=（）

月份x1234

用水量y 4.543 2.5

A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25

5．（5分）某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）

A．110 B．100 C．90 D．80

6．（5分）k＞3是方程+=1表示双曲线的（）条件．

A．充分但不必要B．充要

C．必要但不充分D．既不充分也不必要

7．（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．

8．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24

9．（5分）已知，则的最小值是（）A．B．C．D．

10．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1

11．（5分）已知点F1，F2分别是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦

点，点G是双曲线C上的一点，且满足|GF1|=7|GF2|，则的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．（]D．[]

12．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1

且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．（5分）若（x﹣2）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=．（用数字作答）

14．（5分）2012年的NBA全明星赛，于美国当地时间2012年2月26日在佛罗里达州奧兰多市举行．如图是参加此次比赛的甲、乙两名篮球运动员以往几场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是．

15．（5分）已知点A，B的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程是．

16．（5分）原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”．当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生天．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其

中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（Ⅰ）求图中a的值；

（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分和中位数（要求写出计算过程，结果保留一位小数）．

18．（12分）设二项式（x﹣）6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，求a的值．

19．（12分）设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若=3，求直线l的方程．

20．（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名；

（2）至少有1名女运动员；

（3）队长中至少有1人参加；

（4）既要有队长，又要有女运动员．

21．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥

A1B1，D为棱A1B1上的点．

（1）证明：DF⊥AE；

（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．

22．（12分）已知A、B是椭圆+y2=1上的两点，且=λ，其中F为椭圆的右焦点．

（1）求实数λ的取值范围；

（2）在x轴上是否存在一个定点M，使得?为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由．

2017-2018学年吉林省实验中学高二（上）期末数学试卷

（理科）

参考答案与试题解析

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）取一根长度为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2m的概率是（）

A．B．C．D．

【解答】解：记“两段的长都不小于2m”为事件A，

则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于2m，

所以事件A发生的概率．

故选A．

2．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（）

A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2]D．[2，+∞）

【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用

再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．又∵输出的函数值在区间内，

∴x∈[﹣2，﹣1]

故选B

3．（5分）命题“?x0∈?R Q，x03∈Q”的否定是（）

A．?x0??R Q，x03∈Q B．?x0∈?R Q，x03∈Q

C．?x??R Q，x3∈Q D．?x∈?R Q，x3?Q

【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“?x0∈?R Q，x03∈Q”的否定是：?x∈?R Q，x3?Q．

故选：D．

4．（5分）如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据．由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+a，则a=（）

月份x1234

用水量y 4.543 2.5

A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25

【解答】解：=（1+2+3+4）=2.5，=（4.5+4+3+2.5）=3.5，

将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是：

=﹣0.7x+a，可得3.5=﹣1.75+a，

故a=5.25，

故选：D．

5．（5分）某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）

A．110 B．100 C．90 D．80

【解答】解：∵按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，

∴从中抽取一个容量为20的样本，

则抽取的C组数为×20=2，

设C组总数为m，

则甲、乙二人均被抽到的概率为==，

即m（m﹣1）=90，

解得m=10．

设总体中员工总数为x，则由==，

可得x=100，

故选：B．

6．（5分）k＞3是方程+=1表示双曲线的（）条件．

A．充分但不必要B．充要

C．必要但不充分D．既不充分也不必要

【解答】解：方程+=1表示双曲线?（3﹣k）（k﹣1）＜0，解得k＞3或k＜1．

∴k＞3是方程+=1表示双曲线的充分但不必要条件．

故选：A．

7．（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．

【解答】解：∵△A1BC1是等边三角形，A1B1=BB1=B1C1，

∴B1在平面A1BC1上的射影为△A1BC1的中心O，

设正方体棱长为1，M为A1C1的中点，则A1B=，

∴OB=BM==，

∴OB1==，

∴sin∠B1BO==，即BB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，

∵DD1∥BB1，

∴直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为．

故选：A．

8．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24

【解答】解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．

故选：D．

9．（5分）已知，则的最小值是（）A．B．C．D．

【解答】解：∵=（2，t，t）﹣（1﹣t，2t﹣1，0）=（1+t，1﹣t，t ），

∴==．

故当t=0时，有最小值等于，

故选C．

10．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1

【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；

设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；

则A包含的基本事件个数为=50；

∴P（A）=．

故选：B．

11．（5分）已知点F1，F2分别是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦点，点G是双曲线C上的一点，且满足|GF1|=7|GF2|，则的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．（]D．[]

【解答】解：根据题意，设G点的横坐标为x0，注意到x0≥a．

由双曲线第二定义得：|GF1|=a+ex0，|GF2|=ex0﹣a，

又由|GF1|=7|GF2|，则有a+ex0=7（ex0﹣a），

解可得：x0=≥a，

变形可得：1＜e≤，

即1＜e2≤，

又由e2==1+，

则有1＜1+≤，

解可得0＜≤，

即的取值范围是（0，]；

故选：A．

12．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1

且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

【解答】解：椭圆=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，设椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），

由x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±，可设A（﹣c，），C（x，y），

由，

可得=2，即有（2c，﹣）=2（x﹣c，y），即2c=2x﹣2c，=2y，

可得：x=2c，y=﹣，

代入椭圆方程可得：，由b2=a2﹣c2，根据离心率公式可知：e=，整理得：16e2+1﹣e2=4，解得e=±，

由0＜e＜1，则e=，

故选A．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．（5分）若（x﹣2）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=﹣1．（用数字作答）

【解答】解：（x﹣2）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0中，

令x=1，得（1﹣2）5=a5+a4+a3+a2+a1+a0，

即a0+a1+a2+a3+a4+a5=1．

故答案为：﹣1．

14．（5分）2012年的NBA全明星赛，于美国当地时间2012年2月26日在佛罗里达州奧兰多市举行．如图是参加此次比赛的甲、乙两名篮球运动员以往几场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是64．

【解答】解：将甲的得分从小到大排好顺序后，第5个数为28，

将乙的得分从小到大排好顺序后，第5个数为36．

所以甲乙的中位数分别为28和36，所以中位数之和为28+36=64．

故答案为：64．

15．（5分）已知点A，B的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程是y=1﹣x2（x≠±1）．

【解答】解：设M（x，y），

则k AM﹣k BM=﹣=2，

整理，得y=1﹣x2，（x≠±1）．

∴动点P的轨迹方程是y=1﹣x2，（x≠±1）．

故答案为：y=1﹣x2，（x≠±1）．

16．（5分）原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”．当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生510天．

【解答】解：由题意满七进一，可得该图示为七进制数，

化为十进制数为1×73+3×72+2×71+6×70=510．

故答案为：510．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（Ⅰ）求图中a的值；

（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分和中位数（要求写出计算过程，结果保留一位小数）．

【解答】（本小题满分12分）

解：（1）由频率分布直方图中小矩形有面积之和为1，得：

10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，

解得a=0.005．

（2）这100名学生语文成绩的平均分为：

55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）

∵这100名学生语文成绩在[50，70）的频率为（0.005+0.04）×10=0.45，

这100名学生语文成绩在[70，80）的频率为0.03×10=0.3，

∴这100名学生语文成绩的中位数为：70+10×≈71.7（分）．

18．（12分）设二项式（x﹣）6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，求a的值．

【解答】解：二项式（x﹣）6（a＞0）展开式的通项公式为

T r+1=?x6﹣r?=（﹣a）r??，

令r=2，得展开式中x3的系数为A=?a2=15a2；

令r=4，得展开式中常数项为B=?a4=15a4，

由B=4A可得a2=4，

又a＞0，所以a=2．

19．（12分）设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，

若=3，求直线l的方程．

【解答】解：抛物线C：y2=2x的焦点为F（，0）

设直线，由，可得m≠0设A（x1，y1），B（x2，y2），

则=（﹣x1，﹣y1），=（x2﹣，y2），

由=3，所以y1=﹣3y2，由，

整理得y2﹣2my﹣1=0，则，且y1=﹣3y2，

得，解得，

∴直线．

20．（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名；

（2）至少有1名女运动员；

（3）队长中至少有1人参加；

（4）既要有队长，又要有女运动员．

【解答】解：（1）由题意知本题是一个分步计数问题，

首先选3名男运动员，有C63种选法．

再选2名女运动员，有C42种选法．

共有C63?C42=120种选法．

（2）法一（直接法）：“至少1名女运动员”包括以下几种情况：

1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．

由分类加法计数原理可得有C41?C64+C42?C63+C43?C62+C44?C61=246种选法．

法二（间接法）：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．

从10人中任选5人，有C105种选法，其中全是男运动员的选法有C65种．

所以“至少有1名女运动员”的选法有C105﹣C65=246种．

（3）“只有男队长”的选法为C84种；

“只有女队长”的选法为C84种；

“男、女队长都入选”的选法为C83种；

∴共有2C84+C83=196种．

∴“至少1名队长”的选法有C105﹣C85=196种选法．

（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有C94种选法．

不选女队长时，必选男队长，共有C84种选法．

其中不含女运动员的选法有C54种，

∴不选女队长时共有C84﹣C54种选法．

既有队长又有女运动员的选法共有C94+C84﹣C54=191种．

21．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥

A1B1，D为棱A1B1上的点．

（1）证明：DF⊥AE；

（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．

【解答】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，

又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，

又∵AC?面A1ACC1，∴AB⊥AC，

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，

则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z），且λ∈[0，1]，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），则D（λ，0，1），所以=（，，﹣1），

∵=（0，1，），∴?==0，所以DF⊥AE；

（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．理由如下：

设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，

∵=（，，），=（，﹣1），

∴，即，

令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．

由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），

∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，

∴|cos＜，＞|==，即=，

解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．

22．（12分）已知A、B是椭圆+y2=1上的两点，且=λ，其中F为椭圆的右焦点．

（1）求实数λ的取值范围；

（2）在x轴上是否存在一个定点M，使得?为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）由已知条件知：直线AB过椭圆右焦点F（1，0）．

当直线AB与x轴重合时，．

当直线AB不与x轴重合时，

设AB：x=my+1，代入椭圆方程，并整理得（2+m2）y2+2my﹣1=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由根与系数的关系得，．

所以．

又由，得﹣y1=λy2，

所以，

解之得．

综上，实数λ的取值范围是．（7分）

（2）设M（a，0），

则

=（my1+1﹣a）（my2+1﹣a）+y1y2

=

=

=为定值，

所以2a2﹣4a+1=2（a2﹣2），解得．

故存在定点，使得为定值．

经检验，当AB与x轴重合时也成立，

∴存在定点，使得为定值．（13分）