初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案有答案

初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的

半角模型教案有答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。

2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。

3.正确运用正方形的性质解题。

4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。

5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。

正方形的性质

因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，

所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。

正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。

正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。

小结：

（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图

（2）正方形的性质：

①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

例1．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD 重合，得折痕DG，使2

AD=，求AG．

【解析】：作GM⊥BD，垂足为M．

由题意可知∠ADG=GDM，

则△ADG≌△MDG．

∴DM=DA=2． AC=GM

又易知：GM=BM．

而BM=BD-DM=22-2=2（2-1），

∴AG=BM=2（2-1）．

例2 ．如图，P为正方形ABCD内一点，10

==，并且P点到CD边的距离也

PA PB

等于10，求正方形ABCD的面积？

【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．

设PF x =，则10EF x =+，1

(10)2

BF x =+．

由222PB PF BF =+．

可得：2221

10(10)4

x x =++．

故6x =．

216256ABCD S ==．

例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，?垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？

【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可．

理由：连结AE 、AF ．

由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．

同理可得，△ADF ≌△AMF ． ∴DF=MF ．

∴EF=ME+MF=BE+DF ．

例4．如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且45EAF ?∠=，试说明

EF BE DF =+。

【解析】：将△ADF 旋转到△ABC ，则△ADF ≌△ABG

∴AF=AG ，∠ADF=∠BAG ，DF=BG

∵∠EAF=45°且四边形是正方形， ∴∠ADF ﹢∠BAE=45° ∴∠GAB ﹢∠BAE=45° 即∠GAE=45°

∴△AEF ≌△AEG （SAS ） ∴EF=EG=EB ﹢BG=EB ﹢DF

例5. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使

45EAF ∠=，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB =

【解析】：欲证 AG=AB ，就图形直观来看，

应证Rt △ABE 与Rt △AGE 全等，但条件不够. ∠EAF=45°怎么用呢

显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了. 【证明】：把 △AFD 绕A 点旋转90°至△AHB.

∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°. ∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°. 又由旋转所得 AH=AF ，AE=AE. ∴ △AEF ≌△AEH.

例6.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,

CD 上,AE ,BF 交于点O ,90AOF ?∠=. 求证：BE CF =.

(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,

BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点O ,90FOH ?∠=,4EF =. 求GH 的长.

1.已知点E ,H ,F ,G 分别在矩形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上，

EF ,GH 交于点O ,90FOH ?∠=,4EF =. 直接写出下列两题的答案： ①如图3,矩形ABCD 由2个全等的正方形组成,求GH 的长；

②如图4,矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成,求GH 的长(用n 的代数式表示).

【解析】

(1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD 为正方形，

∴ AB =BC ,∠ABC =∠BCD =90°， ∴ ∠EAB +∠AEB =90°. ∵ ∠EOB =∠AOF ＝90°,

∴ ∠FBC +∠AEB =90°，∴ ∠EAB =∠FBC ， ∴ △ABE ≌△BCF ， ∴ BE =CF ． (2) 解：如图2,过点A 作AM 如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，?其边长分别为3cm 和

5cm ，则CDE ?的面积为________2cm ．

(6) (7)

2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．?如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，?那么正方形⑤的面积为________．

图3

图4

图2

O ′

N

M 图1

A

B C

D

E

F

12G

A H 3.如图9，已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米，E 、F 分别为边A

B 、B

C 上的点．AF 、CE 相交于G ，并且ABF ?的面积为14平方厘米，BCE ?的面积为5平方厘米，?那么四边形BEGF 的面积是________．

4. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =。分别以

AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN ， EC 。

求证：FN EC =。

5.如图 ，ABCD 是正方形．G 是BC 上的一点，DE AG ⊥于 E ，BF AG ⊥于 F ． （1）求证：ABF DAE △≌△； （2）求证：DE EF FB =+． 【纵向应用】

6. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．

求证：BE OF 2

1

=

7. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．AE DF ⊥,

求证：CE OG 2

1

=

8. 如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点, EF BC ⊥, EG CD ⊥ 求证：AE FG ⊥

9.已知：点E 、F 分别正方形ABCD 中AB 和BC 的中点，连接AF 和

DE 相交于点G , GH AD ⊥于点H .

一、

求证：AF DE ⊥ ；

D

G

A

E

B C

F 13

A

D

E F C

B

二、如果2

AB=,求GH的长；

三、求证：CG CD

=

【练习题答案】

1．6cm2．

2．36．

3．420

27

cm2（面积法）．

4.证明：FN=EC。

证明：在正方形ABEF和正方形BCMN中，

AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°

∵AB=2BC

∴EN=BC

∴△FEN≌△EBC

∴FN=EC。

5.略

6.提示：注意到基本图形中的AE=AF.

一.两次应用内角平分线定理和CE=CF可证

二.过点O作OG‖DE和CO=CG,CF=CE可证.

3，过点O作OH‖BE, OF= OH=BE

2

1

7.提示：一条线段的一半或2倍这两者的位置关系有哪两种

8.提示：延长AE交GF于点M，DC,使CH=DG,连接HF,

证四边形对角互补,法2：延长FE，AE证全等三角形

9.（1)略（2）4

5

（3）作CM⊥DG,证DM=AG=

（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 （2）特征：

边：两组对边分别平行；四条边都相等； 内角：四个角都是90°；

对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。

（3）主要识别方法：

1：对角线相等的菱形是正方形 2：对角线互相垂直的矩形是正方形

3：四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形 4：一组邻边相等的平行四边形是正方形

5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四边形是正方形。

例1. 已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，15PAD PDA ?∠=∠=． 求证：PBC ?是正三角形．

【证明】：如下图做△DGC 使与△ADP 全等，

可得△PDG 为等边△，从而可得 △DGC ≌△APD ≌△CGP,

得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG ＝150 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC 是正三角形

A

P

C

D

B

例2. 如图，分别以ABC ?的AC 和BC 为一边，在ABC

?的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．

求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．

【证明】：过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ，CI ，FH 。

可得PQ=2EG

FH

。

由△EGA ≌△AIC ，可得EG=AI ， 由△BFH ≌△CBI ，可得FH=BI 。

从而可得PQ= 2

AI BI

=

2

AB

， 从而得证。

例4. 如图，四边形ABCD 为正方形，DE AC ∥，

AE AC =，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE CF =．

【证明】：顺时针旋转△ADE ，到△ABG ，连接CG. 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350

从而可得B ，G ，D 在一条直线上，可得△AGB ≌△CGB 。 推出AE=AG=AC=GC ，可得△AGC 为等边三角形。 ∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证：CE=CF 。

A

F

D

E

P C G

F

B

Q

A

D

E

例6. 设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF AP ⊥，CF 平分DCE ∠． 求证：PA PF =．

【证明】：作FG ⊥CD ，FE ⊥BE ，可以得出GFEC 为正方形。 令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tan ∠BAP=tan ∠EPF=

X Y =Z Y

X

Z

，可得

YZ=XY-X 2+XZ ， 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP

≌△PEF ，

得到PA ＝PF ，得证 。

例7. 已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA PB PC ++的最小值．

【证明】：顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形。 既得PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上，

即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF 。 既得AF=

213(

1)4

2

= 23=

4

23

2

= 2(31)2 = 2

(31)2

=

62

。

D

F

E

P C B A A

C

B P

D

D

例8. P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA a =，2PB a =，3PC a =，求正方形的边长．

【证明】顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图： 既得正方形边长L =

22

22(2

)(

)2

2

a = 522a 。

【双基训练】

1.如图，四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于

O ，四边形BEFD 是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积

为________．

2.如图，ABCD 是正方形，E 为BF 上一点，四边形AFEC ?恰是一个菱形，?则

EAB ∠=________． 【纵向应用】

3.如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，BC 的中点，

90AEF ?∠=，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．

A

C

B

P

D

（1）证明：BAE FEC

∠=∠；

（2）证明：AGE ECF

???；

（3）求AEF

?的面积．

【横向拓展】

4.如图，四边形ABCD是正方形，ABE

?是等边

三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60?得到BN，连接EN、AM、CM.

⑴求证：AMB ENB

???；

⑵①当M点在何处时，AM CM

+的值最小；

②当M点在何处时，AM BM CM

++的值最小，并说明理由；

⑶当AM BM CM

++的最小值为1

3+时，求正方形的边长.

【练习题答案】

1．36

2．【解析】连结BD交AC于点O，作EM⊥AC于点M．

设正方形边长为a，则AC=BD=AE=2a

又∵AC∥BF，BO⊥AC，EM⊥AC，

∴BO=EM=1

2

BD=

2

2

a．

在Rt△AEM中，AE=2a，EM=

2

2

a．

∴∠CAE=30°．则∠EAB=15°．E

A D

B C

N

M

3.（1）证明：∵∠AEF =90o

，

∴∠FEC +∠AEB =90o ．在Rt △ABE 中，∠AEB +∠BAE =90o ， ∴∠BAE =∠FEC ；

（2）证明：∵G ，E 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，

∴AG=GB=BE=EC ，且∠AGE =180o －45o =135o ． 又∵CF 是∠DCH 的平分线， ∠ECF =90o +45o =135o ．

在△AGE 和△ECF 中， ∴△AGE ≌△ECF ；

（3）解：由△AGE ≌△ECF ，得AE=EF ．

又∵∠AEF =90o ，

∴△AEF 是等腰直角三角形． 由AB=a ，BE =

21a ，知AE =2

5a ， ∴S △AEF =8

5

a 2．

4.【解析】：⑴∵△ABE 是等边三角形，

∴BA ＝BE ，∠ABE ＝60°. ∵∠MBN ＝60°，

∴∠MBN －∠ABN ＝∠ABE －∠ABN. 即∠BMA ＝∠NBE. 又∵MB ＝NB ，

∴△AMB ≌△ENB （SAS ）. ………………5分

F

A D

B C

⑵①当M 点落在BD 的中点时，AM ＋CM 的值最小. ②如图，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时， AM ＋BM ＋CM 的值最小.

理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB ≌△ENB ， ∴AM ＝EN.

∵∠MBN ＝60°，MB ＝NB ， ∴△BMN 是等边三角形. ∴BM ＝MN.

∴AM ＋BM ＋CM ＝EN ＋MN ＋CM.

根据“两点之间线段最短”，得EN ＋MN ＋CM ＝EC 最短

∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，即等于EC 的长. ⑶过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ， ∴∠EBF ＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x ，则BF ＝2

3x ，EF ＝

2

x . 在Rt △EFC 中， ∵EF 2＋FC 2＝EC 2， ∴（2

x ）2＋（

2

3

x ＋x ）2＝()2

13+.

解得，x ＝2（舍去负值）. ∴正方形的边长为2.