初三期末数学考试题及答案

通州区初三数学期末考试试卷

2013年1月

考生须知：

1．本试卷共有四个大题，24个小题，共6页，满分100分． 2．考试时间为90分钟，请用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔答卷．

一、精心选一选：（每小题只有一个正确答案，每题3分，共30分） 1．如图，已知P 是射线OB 上的任意一点，PM ⊥OA 于M ， 且OM : OP =4 : 5，则cos α的值等于（ ） A ．

34 B ．43 C ．45 D ．3

5

2．已知⊙O 的半径为5，A 为线段OP 的中点，若OP =10，则点A 在（ ） A ．⊙O 内 B ．⊙O 上 C ．⊙O 外 D ．不确定 3. 若两圆的半径分别是1cm 和5cm ，圆心距为6cm ，则这两圆的位置关系是（ ） A ．内切

B ．相交

C ．外切

D ．外离

4．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的点，若∠AOB =70°，则∠ACB 的度数为（ ） A ． 70° B ． 50° C ．40°

D ．35°

5．若一个正多边形的一个内角是144°，则这个多边形的边数为（ ） A . 12

B . 11

C .10

D . 9

6．如图，在△OAB 中， CD ∥AB ，若OC : OA =1:2，则下列结论：（1）OD OC

OB OA

=；

（2）AB =2 CD ；（3）2OAB OCD S S ??=. 其中正确的结论是（ ）

A ．（1）（2）

B ．（1）（3）

C ．（2）（3）

D ．（1）（2）（3） 7. 在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ） A ．与x 轴相离、与y 轴相切 B ．与x 轴、y 轴都相离

C ．与x 轴相切、与y 轴相离

D ．与x 轴、y 轴都相切

8． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，

和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上第4题图

C

B A

O 第1题图

O M P

B

A

α第6题图D C B A

O

一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12 B ．32 C ．35

D ．4

5

9．如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝60°，则CD

的长为（ ） A ．

32 B ．23 C ．12 D ．3

4

10. 如图，⊙O 的半径为3厘米，B 为⊙O 外一点，OB 交⊙O 于点A ，AB =OA .动点P 从点A 出发，以π厘米/秒的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点A 立即停止．当点P 运动的时间为（ ）秒时，BP 与⊙O 相切．

A ．1

B ．5

C ．0.5或5.5

D ． 1或5 二、细心填一填：（每题3分，共18分） 11．计算：tan45°+2cos45°= ．

12. 如图，⊙O 的弦AB =8，OD ⊥AB 于点D ，OD = 3，则⊙O 的半径等于 ．

13．如图是二次函数2

y ax bx c =++的部分图象，由图象可知方程2

0ax bx c ++=的解是________ ，

___________.

14. 如图，在⊙O 中，半径 OA ⊥BC ，∠AOB =50°，则∠ADC 的度数是________.

15．小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm ，母线长为30cm 的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为________cm 2 .（结果保留π）

16．图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第n 个圆中，m =__________（用含n 的代数式

表示）．

三、认真做一做：（共22分）

17. （4分）如图，在△ABD 和△AEC 中，E 为AD 上一点，若∠DAC =∠B ，

E

D C

B

A

第9题图

60°

P

D C

B A

第10题图

P

B

A O

第12题图

D

B

A

O 第14题图

O

D

C

B

A 第16题图

????

m

2n n 80

358

6

34

221D C

B A O

y

x

第8题图

∠AEC =∠BDA. 求证：AE AC BD BA

=.

证明：

18.（6分）如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆

经过A，C两点，交AB于点D，已知2∠A +∠B =90?．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若OA=6，BC=8，求BD的长．

（1）证明：

（2）解：

19.（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数22

y mx nx

=+-的图象过A（-1，-2）、B（1，0）两点．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）点(),0

P t是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交二次函数的图象于点N．当点M位于点N的上方时，直接写出t的取值范围．

解：（1）

（2）

20．(6分) 如图是黄金海岸的沙丘滑沙场景.已知滑沙斜坡AC的坡度是

3

tan

4

α=，在与滑沙坡底C距离20米的D处，测得坡顶A的仰角为26.6°，且点D、C、B在同一直线上，求滑坡的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．

第19题图

12

3

4

-1

-2

-3

-4O

y

x

-4

-3

-2

-1

4

3

2

1

D

O

C

B

A

解：

四、解答题：（共30分）

21. （6分）如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接等边三角形ABC .黄皓、李明两位同学的作法分别是： 黄皓：1. 作OD 的垂直平分线，交⊙O 于B ，C 两点，

2. 连结AB ，AC ，△ABC 即为所求的三角形.

李明：1. 以D 为圆心，OD 长为半径作圆弧，交⊙O 于B ，C 两点， 2. 连结AB ，BC ，CA ，△ABC 即为所求的三角形.

已知两位同学的作法均正确，请选择其中一种作法补全图形，并证明△ABC 是等边三角形.

解：我选择___________的作法. 证明：

22.（7分）已知：如图，在四边形ABCD 中，BC

，

AB AD ==ABCD 的面积.

23.（8分）将抛物线c 1：y

=2+x 轴翻折，得到抛物线c 2，如图所示. （1）请直接写出抛物线c 2的表达式；

（2）现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到

右依次为A ，B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D ，E .

第21题图

第22题图

C

B

A

第20题图

①用含m 的代数式表示点A 和点E 的坐标；

②在平移过程中，是否存在以点A ，M ，E 为顶点的三角形是直角三角形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）抛物线c 2的表达式是__________________；

（2）①点A 的坐标是（______，______），

点E 的坐标是（______，______）.

②

24.（9分）在平面直角坐标系xOy 中，点B (0，3)，点C 是x 轴正半轴上一点，连结BC ，过点C 作直线

CP ∥y 轴. （1）若含45°角的直角三角形如图所示放置．其中，一个顶点与点O 重合，直角顶点D 在线段BC 上，

另一个顶点E 在CP 上．求点C 的坐标； （2）若含30°角的直角三角形一个顶点与点O 重合，直角顶点D 在线段BC 上，另一个顶点E 在CP

上，求点C 的坐标．

解：（1）

（2）

通州区初三数学期末考试参考答案及评分标准

2013．1 一、精心选一选：（每小题只有一个正确答案，每题3分，共30分）

备用图

备用图第24题图x y

B

O O B y x y x E P D C B O

1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．A 8．B 9. B 10. D 二、细心填一填：（每题3分，共18分）

11. 2； 12. 5； 13. 11x =-，25x =；

14. 25o

； 15. 270π； 16. 2

91n -.

三、认真做一做：（共22分）

17. 证明：∵∠DAC =∠B ，∠AEC =∠BDA ， ……………… 2分；

∴△AEC ∽△BDA . ……………… 3分；

∴

AE AC

BD BA

=

. ……………… 4分.

18．（1）证明：连结OC . ………… 1分；

∵??CD

CD =， ∴2COD A ∠=∠，

∵290A B ∠+∠=o

，

∴90COD B ∠+∠=o . ……………… 2分； 在△OCB 中， ∴90OCB ∠=o

，

∴BC 是⊙O 的切线 . ……………… 3分；

（2）解： 在⊙O 中，

∴OC =OA =OD =6， ……………… 4分；

∵90OCB ∠=o

，

∴222

OB OC BC =+.

∴10OB =. ……………… 5分； ∴1064BD OB OD =-=-=. ……………… 6分.

19．解：（1）把A （-1,-2）、B （1,0）分别代入2

2y mx nx =+-中，

∴2220m n m n --=-??

+-=?，

；

……………… 2分；

第18题图

解得：1

1.m n =??=?

……………… 3分；

∴所求二次函数的解析式为2

2y x x =+-. ……………… 4分； （2）11t -<<. ……………… 6分. 20. 解：由题意可知：20DC =米，ADB ∠=26.6°，90B ∠=o

.

在Rt △ABC 中，

∵3

tan 4

AB BC α=

=， ……………… 1分； ∴设3AB x =，4BC x =， ……………… 2分；

在Rt △ABD 中，

∴tan AB

ADB DB ∠=

， ……………… 3分； ∴3tan 26.60.5420

x x ==+o

， ……………… 4分；

解得：10x =， ……………… 5分； ∴330AB x ==.

答：滑坡的高AB 为30米. ……………… 6分.

四、解答题：（共30分） 21. 解：我选择黄皓的作法.

如图画图正确. ……………… 2分； 证明：连结OB 、OC .

∵AD 为⊙O 的直径，BC 是半径OD 的垂直平分线，

∴?

?AB AC =，??BD CD =， 11

22

OE OD OC =

=， ……………… 3分； ∴AB AC =. ……………… 4分； 在Rt △OEC 中， ∴ cos 1

2

OE EOC OC ∠=

=， ∴60EOC ∠=o

， ……………… 5分； ∴120BOC ∠=o

. ∴60BAC ∠=o

.

第21题图

∴△ABC 是等边三角形. ……………… 6分. 我选择李明的作法.

如图画图正确. ……………… 2分； 证明：连结DB 、DC .

由作图可知： DB =DO =DC ， 在⊙O 中， ∴OB =OD =OC ，

∴△OBD 和△OCD 都是等边三角形， ……… 3分；

∴60ODB ODC ∠=∠=o

， ……… 4分；

∵?

?AB AB =，??AC AC =， ∴60ODB ACB ∠=∠=o

，

60ABC ODC ∠=∠=o ， ……………… 5分；

∴△ABC 是等边三角形. ……………… 6分.

22.解： 在CD 上截取CF =CB ，连结AF . 过点A 作AE ⊥CD 于点E . …… 1分；

∵CA 平分∠BCD ，∠BCD =60o， ∴30BCA FCA ∠=∠=o

， 在△ABC 和△AFC 中

∵ .BC FC ACB ACF CA CA =??

∠∠??=?

，

=， ∴△ABC ≌△AFC . ……………… 2分； ∴ AF =AB ， ∵AB AD =，

∴AF AD =. ……………… 3分；

在Rt △ADE 中，45D ∠=o

，AB AD ==

∴ sin 2

AE ADE AD ∠=

=， ∴AE =ED =2 . ……………… 4分； 在Rt △AEC 中，30ACE ∠=o

， ∴ tan AE ACE EC ∠=

=， ∴CE = ……………… 5分；

第21题图

F

E

第22题图

D

C

B A

∵AE ⊥CD ， ∴FE =ED =2 .

1

222

ABCD ACE S S CE AE ==???V ……… 6分；

= 1

222

?

?= ……………… 7分. 注： 另一种解法见下图，请酌情给分.

23. 解：（1）抛物线c 2

的表达式是2

y = ……………… 2分；

（2）①点A 的坐标是（1m --，0）， ……………… 3分；

点E 的坐标是（1m +，0）. ……………… 4分；

②假设在平移过程中，存在以点A ，M ，E 为顶点的三角形是直角三角形.

由题意得只能是90AME ∠=o

. 过点M 作MG ⊥x 轴于点G .

由平移得：

点M 的坐标是（m -

，……… 5分； ∴点G 的坐标是（m -，0），

∴1GA =

，MG = 21EG m =+， 在Rt △AGM 中， ∵

tan 1

MG MAG AG ∠=

=， ∴60MAG ∠=o

， ……………… 6分；

∵ 90AME ∠=o

，

∴30MEA ∠=o

，

∴

tan MG MEG EG ∠=

=， F

E

A

B C

D

第22题图

第23题图

∴

213

m =+， ……………… 7分；

∴1m =. ……………… 8分.

所以在平移过程中，当1m =时，存在以点A ，M ，E 为顶点的三角形是直角三角形.

24. 解：（1）过点D 分别作DG ⊥x 轴于G ，

DH ⊥PC 于H . ……………… 1分；

∴90OGD EHD ∠=∠=o ，

∵△ODE 是等腰直角三角形，

∴OD =DE ，90ODE

∠=o ，

∵CP ∥y 轴，

∴ 四边形DGCH 是矩形， ……………… 2分；

∴90GDH ∠=o

，DH =GC .

∴90ODG GDE EDH GDE ∠+∠=∠+∠=o

，

∴ODG EDH ∠=∠，

∴△ODG ≌△EDH . ……………… 3分；

∴DG =DH .

∴DG =GC ，

∴△DGC 是等腰直角三角形，

∴45DCG ∠=o

， ……………… 4分；

∴tan 1OB

DCG OC

∠=

=， ∴OC =OB =3.

∴点C 的坐标为（3,0） ……………… 5分；

（2） 分两种情况：

当60DOE ∠=o

时， 过点D 分别作DG ⊥x 轴于G ， DH ⊥PC 于H .

∴90OGD EHD ∠=∠=o ，

∵△ODE 是直角三角形，

第24题图

∴

tan 3

OD DEO DE ∠=

=， 90ODE ∠=o ，

∵CP ∥y 轴，

∴ 四边形DGCH 是矩形，

∴90GDH ∠=o

，DH =GC .

∴90ODG GDE EDH GDE ∠+∠=∠+∠=o

，

∴ODG EDH ∠=∠，

∴△ODG ∽△EDH . ……………… 6分；

∴

3DG OD DH DE ==.

∴

DG GC = ∴

tan DG DCG GC ∠=

= ∴30DCG ∠=o

，

∴

tan OB DCG OC ∠=

=， ∴OC

=……………… 7分；

当30DOE ∠=o

时， 过点D 分别作DG ⊥x 轴于G ， DH ⊥PC 于H .

∴90OGD EHD ∠=∠=o ，

∵△ODE 是直角三角形，

∴

tan OD

DEO DE

∠=

= 90ODE ∠=o

，

∵CP ∥y 轴，

∴ 四边形DGCH 是矩形，

∴90GDH ∠=o

，DH =GC .

∴90ODG GDE EDH GDE ∠+∠=∠+∠=o

，

∴ODG EDH ∠=∠，

∴△ODG ∽△EDH . ……………… 8分；

∴

DG OD

DH DE ==

∴DG

GC

=

∴tan DG

DCG GC

∠==

∴30DCG ∠=o

，

∴tan OB

DCG OC

∠=

=，

∴OC ……………… 9分.

∴点C ）、（）.

备注：点E 在x 轴下方，证法一样，不须分类讨论. （以上答案供参考，其它证法或解法酌情给分）