代数学引论(近世代数)答案
代数学引论(近世代数)
答案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第一章代数基本概念
习题解答与提示(P54)
1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群.
证明:
对任意a,b G,由结合律我们可得到
(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b
再由已知条件以及消去律得到
ba=ab,
由此可见群G为交换群.
2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群.
证明: [方法1]
对任意a,b G,
ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)
=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab
因此G为交换群.
[方法2]
对任意a,b G,
a2b2=e=(ab)2,
由上一题的结论可知G为交换群.
3.设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件:
(1)a(bc)=(ab)c;
(2)由ab=ac推出a=c;
(3)由ac=bc推出a=b;
证明G在该乘法下成一群.
证明:[方法1]
设G={a1,a2,…,a n},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若i j(I,j=1,2,…,n),有
a k a i a k a j------------<1>
a i a k a j a k------------<2>
再由乘法的封闭性可知
G={a1,a2,…,a n}={a k a1, a k a2,…, a k a n}------------<3>
G={a1,a2,…,a n}={a1a k, a2a k,…, a n a k}------------<4>
由<1>和<3>知对任意a t G, 存在a m G,使得
a k a m=a t.
由<2>和<4>知对任意a t G, 存在a s G,使得
a s a k=a t.
由下一题的结论可知G在该乘法下成一群.
下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。
[方法2]
为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只要证明G内存在幺元(单位元)，并且证明G内每一个元素都可逆即可.
为了叙述方便可设G={a1,a2,…,a n}.
(Ⅰ) 证明G内存在幺元.
<1> 存在a t G，使得a1a t=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明);
<2> 证明a1a t= a t a1;
因为
a1(a t a1)a t=(a1a t) (a1a t)=(a1)2
a1(a1a t)a t=(a1a1)a t=a1(a1a t)= (a1)2,
故此
a1(a t a1)a t= a1(a1a t)a t.
由条件(1),(2)可得到
a1a t= a t a1.
<3> 证明a t就是G的幺元;
对任意a k G,
a1(a t a k) =(a1a t)a k=a1a k
由条件(2)可知
a t a k=a k.
类似可证
a k a t=a k.
因此a t就是G的幺元.
(Ⅱ) 证明G内任意元素都可逆；
上面我们已经证明G内存在幺元，可以记幺元为e，为了方便可用a,b,c,…等符号记G内元素.下面证明任意a G，存在b G，使得
ab=ba=e.
<1> 对任意a G，存在b G，使得
ab=e;
(这一点很容易证明这里略过.)
<2> 证明ba=ab=e;
因为
a(ab)b=aeb=ab=e
a(ba)b=(ab)(ab)=ee=e
再由条件(2),(3)知
ba=ab.
因此G内任意元素都可逆.
由(Ⅰ),(Ⅱ)及条件(1)可知G在该乘法下成一群.
4.设G是非空集合并在G内定义一个乘法ab.证明:如果乘法满足结合律,并且
对于任一对
元素a,b G,下列方程
ax=b和ya=b
分别在G内恒有解，则G在该乘法下成一群.
证明：
取一元a G,因xa=a在G内有解, 记一个解为e a ,下面证明e a为G内的左幺元. 对任意
b G, ax=b在G内有解, 记一个解为c,那么有ac=b ,所以
e a b= e a(ac)= (e a a)c=ac=b,
因此e a为G内的左幺元.
再者对任意d G, xd=e a在G内有解,即G内任意元素对e a存在左逆元, 又因乘法满足结合律,故此G在该乘法下成一群.
[总结]
群有几种等价的定义:
(1)幺半群的每一个元素都可逆，则称该半群为群.
(2)设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且G
内包含幺元, G内任意元素都有逆元,则称G为该运算下的群.
(3)设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且G
内包含左幺元, G内任意元素对左幺元都有左逆元,则称G为该运算下的群.
(4)设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且对
于任一对元素a,b G,下列方程
ax=b和ya=b
分别在G内恒有解，则称G为该运算下的群.
值得注意的是如果一个有限半群满足左右消去律, 则该半群一定是群.
5.在S3中找出两个元素x,y,适合
(xy)2x2y2.
[思路] 在一个群G中，x,y G, xy=yx (xy)2x2y2(这一点很容易证明).因此只要找到S3中两个不可交换的元素即可. 我们应该在相交的轮换中间考虑找到这样的元素.
解: 取
x=, y=
那么
(xy)2= x2y2.
[注意]
我们可以通过mathematica软件编写S n的群表,输出程序如下: