等腰三角形同步练习

一、填空题

1.一个等腰三角形可以是三角形，三角形，角三角形.

2.一个等腰三角形底边上的、和顶角的互相重合.

3.如图1-4-15，已知AB=AC ，∠1=∠2，BD=5cm.那么BC .

图1-4-15 图1-4-16

4.如图1-4-16，已知△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，∠C=30°，BD=3cm ，那么BC= .

5.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 .

6.三角形一个角的平分线垂直于对边，那么，这个三角形是 .

7.等边三角形两条中线相交所成的钝角的度数为 .

8.已知等腰三角形一个角为75°，那么，其余两个角的度数是 .

9.一个等腰三角形的周长是35cm ，腰长是底边的2倍.那么腰长是，底边长是 .

10.如图1-4-17，已知AB=AC ，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于F 点，过F 点作DE ∥BC ，那么图中的等腰三角形有个，它们是 .

图1-4-17

11.如图1-4-18，已知△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，那么 2

AB ，如果D 是AB 的中点，那么是等腰三角形，是等边三角形.

12.如图1-4-19，已知△ABC 的边AB 、BC 的垂直平分线DE 、MN 交于O 点，那么有OA= = ，如果OH ⊥AC ，H 为垂足，那么直线OH 是AC 的 .

13.如图1-4-20，已知AB=BC=CD=CE ，∠CAE=25°，那么∠CEN= ，∠MCE= .

图1-4-18 图1-4-19 图1-4-20

14.已知等腰三角形顶角是底角的10倍，腰长为10cm ，那么这个三角形腰上的高为 .

15.在线段、角、等腰三角形、直角三角形中，轴对称图形是 . 二、选择题

1.如图1-4-21，已知∠ABC=∠C=72°，BD 是△ABC 的平分线，那么图中等腰三角形有（）.

（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个

图1-4-21 图1-4-22

2.如图1-4-22，已知△ABC 中，∠B=∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，那么下列两角关系正确的是（）.

（A ）∠A=∠B （B ）∠A=∠ACD （C ）∠A=∠DCB （D ）∠A=2∠BCD

3.等腰三角形的两边长分别为8cm 和6cm ，那么它的周长为（）.

（A ）20cm （B ）22cm （C ）20cm 或22cm （D ）都不对

4.如图1-4-23，已知AB=AC ，DE 分别为AB 、AC 的中点，BE 、CD 交于G ，AG 的延长线交BC 于F ，那么图中全等三角形对数有（）.

（A ）4对（B ）5对（C ）6对（D ）7对 5.如图1-4-24，AC=BC ，∠1=∠2，那么AM 是等腰三角形△ABC 的（）.

（A ）顶角平分线（B ）底角平分线（C ）一腰的中线（D ）底边上的中线

6.如图1-4-25，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，AD 、AE 分别是BA 、CA 的延长线， ∠D=20°，那么△DEA 是（）.

（A ）等腰三角形（B ）等边三角形（C ）等腰直角三角形（D ）以上结论都不对

图1-4-23 图1-4-24 图1-4-25

7.如图1-4-26，已知在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE=3cm ，△ABD 的周长是13cm ，那么△ABC 的周长是（）.

（A ）11.5cm (B)13cm (C)16cm

(D)19cm 图1-4-26 8.下列图形中，不是轴对称图形的是（）. （A ）等边三角形（B ）等腰直角三角形

（C ）线段（D ）三角形的内角平分线 9.等腰三角形一底角的余角等于（）.

（A ）顶角（B ）顶角的2倍

（C ）底边高与一腰所成的角（D ）一腰上的高与另一腰所成的角

10.如果三角形的三边a 、b 、c 满足（a-b ）(b-c)(c-a)=0，那么这个三角形是（）. （A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）等边三角形（D ）锐角三角形

11.一个等腰三角形，但不是等边三角形，它的角平分线、高、中线总数共有（）. （A ）9条（B ）7条（C ）6条（D ）5条

12.等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）. （A ）25° （B ）40° （C ）25°或40° （D ）以上都不对

13.等腰三角形一边长为32，周长为734+，那么，这个等腰三角形腰长为（）. （A ）35.3+ （B ）32

（C ）3.52 （D ）以上都不对

14.已知等腰三角形的一个外角等于70°，那么底角的度数是（）. （A ）110° （B ）55°

（C ）35° （D ）以上都不对

15.满足下列条件的图形是轴对称图形的是（）. （A ）全等的两个图形

（B ）能互相重合的两个图形

（C ）沿一条直线对折，能互相重合的两图形

（D ）绕某点旋转180°后，能互相重合的两图形. 三、计算、证明题

1.如图1-4-27，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D. 求：∠ADB 和∠CDB 的度数.

图1-4-27

2.如图1-4-28，已知AD ⊥BC ，垂足为D ，△BDE 和△ADC 都是等腰直角三角形，CE=5cm ，求AB 的长.

图1-4-28

3.如图1-4-29，已知CE 平分∠ACB ，CE ⊥DB.∠DAB=∠DBA ，AC=18cm ，△CDB 的周长是 28cm.求DB 的长.

图1-4-29

4.如图1-4-30，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE.

求：∠EDC的度数.

图1-4-30

5.如图1-4-31，已知△ABC是等边三角形，在AC、BC上各取一点D、E，使AD=CE，AE，BD相交于O.求∠BOE的度数.

6.如图1-4-32，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°,DE垂直平分AC，DE=2cm.

求BC的长.

7.如图1-4-33，已知在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2.求证：AD⊥BC.

图1-4-31 图1-4-32 图1-4-33

8.如图1-4-34，已知△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线，△ADE是等边三角形.求证：BD=BE.

9.如图1-4-35，已知在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，E是BC上一点.

求证：∠5=∠6.

10.如图1-4-36，已知AB=AC，∠ABD=∠ACD. 求证：AD垂直平分BC.

图1-4-34 图1-4-35 图1-4-36

11.如图1-4-37，已知在三角形ABC中，AB=AC，以AB，AC向上作等边三角形△ABD和

△ACE.求证：DE∥BC.

图1-4-37

12.如图1-4-38,已知在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，BD=CE,DE

交BC于F.求证：DF=EF.

培优专题等腰三角形

培优专题等腰三角形等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径．例1 如图1-1，△ABC 中，AB=BC ，M 、N 为BC 边上两点，且∠BAM=∠CAN ，MN=AN ，求∠MAC 的度数．分析 AB=AC ，MN=AN 可知△ABC 和△AMN 均为等腰三角形，充分利用等腰三角形的性质寻找所求角间的关系．练习1 1．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAE=30°，则∠DEC 等于（）． A ．7．5° B ．10° C ．12.5° D ．15° 2．如图，AA ′、BB ′分别是△ABC 的外角∠EAB 和∠CBD 的平分线，且AA ′=AB=B ′B ，A ′、B 、C 在一直线上，则∠ACB 的度数是多少？ 3．如图，等腰三角形ABC 中，AB=BC ，∠A=20°．D 是AB 边上的点，且AD=BC ，?连结CD ，则∠BDC=________．例2 如图1-5，D 是等边三角形ABC 的AB 边延长线上一点，BD?的垂直平分线HE?交AC 延长线于点E ，那么CE 与AD 相等吗？试说明理由．分析要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角形等，从而达到解决问题的目的．

等腰三角形的定义与性质

《等腰三角形》教学设计【教材分析】 1、等腰三角形是基本的几何图形之一，在今后的几何学习中有着重要的地位，是构成复杂图形的基本单位 2、本节内容是《轴对称》中的重点部分，是等腰三角形的第一节课，由于小学已经有等腰三角形的基本概念，故此节课应该是在加深对等腰三角形从轴对称角度的直观认识的基础上，着重探究等腰三角形的两个定理及其应用 3、等腰三角形是在《多边形》中的三角形知识基础上的继续深入，如何利用学习三角形的过程中已经形成的思路和观点，也是对理解“等腰”这个条件造成的特殊结果的重要之处。 4、对称是几何图形观察和思维的重要思想，也是解决生活中实际问题的常用出发点之一，学好本节知识对加深对称思想的理解有重要意义。【教学对象分析】 1、授课班级学生基础较差，教学中应给予充分思考的时间，谨防填塞式教学。 2、该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分发挥合作的优势，兼顾效率和平衡。 3、本班为自己任课的班级，平时对学生比较了解，在解决具体问题的时候可以兼顾不同能力的学生，充分调动学生的积极性。【教学目标】知识目标：等腰三角形的相关概念，两个定理的理解及应用。技能目标：理解对称思想的使用，学会运用对称思想观察思考，运用等腰三角形的思想整体观察对象，总结一些有益的结论。情感目标：体会数学的对称美，体验团队精神，培养合作精神。【教学重点、难点】重点：1、等腰三角形对称的概念。 2、“等边对等角”的理解和使用。 3、“三线合一”的理解和使用。难点：1、等腰三角形三线合一的具体应用。 2、等腰三角形图形组合的观察，总结和分析。【教学手段】 1、使用导学法、讨论法。 2、运用合作学习的方式，分组学习和讨论。 3、运用多媒体辅助教学。【教学过程设计】 1、学生活动预习相关概念及定理【教学设想】培养学生良好的学习习惯教师活动课题引入：让学生观察两把三角尺，从三角形分类思考“两把三角尺的形状除了角度不同外还有什么区别”在对学生思考结果的总结基础上，引入新课题。【教学设想】在小学知识和第八章三角形知识的基础上，学生比较容易得到结论。

全等三角形知识点总结

全等三角形知识梳理一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理（一）、基本概念 1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； > (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角。 2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等（即对应元素相等）

3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。，（4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上尺规作图 < （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找

等腰三角形培优提高练习题[1]

等腰三角形提高训练题1 培优训练 1．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为． 2．△ABC 中，AB ＝AC ，∠A=40°，BP=CE ，BD=CP ，则∠DPF= 度． 3．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF ＝AC ，则∠ABC 的大小是． (烟台市中考题) 4．△ABC 的一个内角的大小是40°，且∠A=∠B ，那么∠C 的外角的大小是( ) A ．140° B ．80°或100° C ．100°或140° D ．80°或140° 5．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点F 、F ，给出以下四个结论：①AE=CF ； ②△EPF 是等腰直角三角形，③S AEPF 四边形=2 1 S ABC ；④EF=AP ．当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 (苏州市中考题) 6．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC ＝AE ，BC ＝BF ，则∠ECF ＝( ) A ．60° B ．45° C ．30° D ．不确定 7．如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于O 点．作MN ∥BC ，EF ∥AB ，GH ∥AC ，BC ＝a ，AC=b ，AB ＝c ，则△GMO 周长+△ENO 的周长－△FHO 的周长． 8．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB+BD=AC ，则∠B ：∠C 的值= ．（“五羊杯”竞赛题） 9．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于E 点，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC=2 1∠DAB ；④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号．(把你认为正确结论的序号都填上) (天津市中考题) 10．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ． 120°或150° D ．30°或120°或150° (“希望杯”邀请赛) 11．在锐角△ABC 中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形( ) A ．只有一个且为等腰三角形 B ．至少有两个且都为等腰三角形 7题 6题 8题 9题 5题

三角形培优训练100题集锦

E D F C B A 三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

全等三角形及轴对称测试题

全等三角形、轴对称测试题一、选择题1、下列说法正确的是（）． A ．轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形 B ．如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴 C ．所有直角三角形都不是轴对称图形 D ．有两个内角相等的三角形不是轴对称图形 2、点M （1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（）． A ．（－1，－2） B ．（－1，2） C ．（1，－2） D ．（2，－1） 3、下列图形中对称轴最多的是( ) ． A ．等腰三角形 B ．正方形 C ．圆 D ．线段 4、若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（）． A ．11cm B ．7.5cm C ．11cm 或7.5cm D ．以上都不对 5、如图：D E 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC 的周长为（）厘米． A ．16 B ．18 C ．26 D ．28 6、如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ，现给出下列结论： ①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有（）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（）． A ．对应点连线与对称轴垂直 B ．对应点连线被对称轴平分 C ．对应点连线被对称轴垂直平分 D ．对应点连线互相平行 8、等腰三角形ABC 在直角坐标系中，底边的两端点坐标是(-2，0)，(6，0)，则其顶点的坐标，能确定的是 ( ) ． A C B A ' ' C ' 图2 图1 E D C A l O D C B A

等腰三角形的性质培优数学张老师

2、等腰三角形的性质若按边(角)是否相等分类，两边(角)相等的三角形是等腰三角形(isoscelestriangle)．等腰三角形是一类特殊三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一)，特别地，等边三角形(equilateral triangle)的各边相等，各角都为600 ．解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径．【例l 】如图，AOB 是一钢架，且∠A OB =100，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、 GH……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管根． (山东省聊城市中考题) 思路点拨通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值．【例2】如图，若AB=AC ，BG=BH ，AK=KG ，则∠BAC 的度数为( )． A ．300 B ．320 C ．360 D ．400 (武汉市选拔赛试题) 思路点拨图中有很多相关的角，用∠BAC 的代数式表示这些角，建立关于∠BAC 的方程．【例3】如图，在△ABC 中，已知∠A=900，AB=AC ，D 为AC 上一点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ．问当点D 满足什么条件时，∠ADB=∠CDF，请说明理由． (安徽省竞赛题改编题) 思路点拨本例是探索条件的问题，可先假定结论成立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若∠ADB=∠CDF，这一结论如何用?因∠ADB 与∠CDF 对应的三角形不全等，故需构造全等三角形，而作顶角的平分线或底边上的高(中线)是等腰三角形中一条常用辅助线．【例4】如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=900，D 是AC 上一点，AE⊥BD 交BD 的延长线于E ，且 .21BD AF 求证：BD 是∠ABC 的角平分线． (北京市竞赛题)

等腰三角形习题精选

知识链接：该图形是有关等腰三角形的一个很常用的基本图形，上述练习说明在该图中“角平分线、平行线、等腰三角形”这三者中若有两者必有第三，熟练这个结论，对解决含有这个基本图形的较复杂的题目是很有帮助的. 等腰三角形课后提高一基本图形 1.（1）已知：OD 平分∠AOB ，ED ∥OB .请说明：EO=ED . （2）已知：OD 平分∠AOB ，EO=ED .请说明：ED ∥OB. （3）已知：ED ∥OB ，EO=ED .请说明：OD 平分∠AOB . 2如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求：△ABC 各角的度数．改编为： (1)图中共有几个等腰三角形?分别写出它们的顶角与底角． (2)你能求出各角的度数吗? 如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，分别计算∠1、∠2的度数，?并说明图中有哪些等腰三角形． 1．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠A =40°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D .求：∠ADB 和∠CDB 的度数. 2．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD =30°，AD=AE . 求：∠EDC 的度数. 3．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 2 1

E D C B A 4．等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于（） A.顶角 B.顶角的两倍 C.顶角的一半 D.底角的一半 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20o， AD＝AE，则∠EDC= ． 6．如图，点D,E在△ABC的边BC上，AB=AC,AD=AE,求证BD=CE 7如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，猜想∠ABC和∠C的关系，并说明理由． 8．如图，已知在△AB C中，在AB上取一点D，又在AC延长线上取点E，使CE=BD，连结DE交BC于点G，有DG=GE，试说明：AB=AC. 小贴士：线段和差的问题通常可通过在长边上截取和短边上补长的方法构造全等三角形来解决，我们把这种方法称为截长补短法.

全等三角形与轴对称图形练习题

全等三角形与轴对称图形测试题(1) 姓名：_____________ 1. 下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中正确的个数有()A 、3 个B 、2 个C 、1 个D 、0 个 2. 下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS'来判定全等，那么一定也可以依据“ASA来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等.正确的是( ) A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①②③ 3. 已知：在厶ABC中，AD为/ BAC的角平分线，DE丄AB, F为AC上一点，且/ DFA=100°,贝U ( ) A.DE>DF B. DE

八年级专题培优讲义：等腰三角形的性质的综合运用

专题讲义等腰三角形的性质运用夯实基础 1．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( ) A ．40° B ．100° C ．40°或70° D ．40°或100° 2. 一个等腰三角形两边长分别为20和10，则周长为（） A ．40 B ．50 C ．40或50 D ．不能确定 3．如图，在△ABC 中，BC ＝8，AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，则△ADE 的周长等于（） A ．8 B ．4 C ．12 D ．16 4.如图，折叠长方形纸片ABCD ，沿对角线BD 折叠，使DC 落在DC′处，交AB 于G ，（1）求证：DG=GB （2）图中全等的三角形共有______ 对。例题剖析遇直角△可构“一线三垂直”模型，证全等【例1】在平面直角坐标系中，点A (4，0)、B (0，8)，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，则点C 坐标为__________ 【例2】如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，射线BC 上有一动点G ，GE ⊥AC 于E ， GF ⊥AB 于F ，AB 上的高为CD 。（1）当G 在BC 间运动时，求证：GE+GF=CD 。（2）当G 运动到BC 外时，试判断出GE 、GF 、CD 间关系，并加以证明。 G F E D C B A C ' G D C B A

【例3】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，且BD ＝CE ，连结DE 交BC 于G ，试判断线段DG 与EG 的长度有怎样的关系，证明你的结论。【例4】如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，点D 在AB 上，AD=AC ，BE ⊥直线CD 于E （1）求∠BCD 的度数；（2）求证：CD=2BE ；（3）若点O 是AB 的中点，请直接写出三条线段CB 、BD 、CO 之间的数量关系．【例5】已知如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∠AMB=75°，∠DMC=45°，AM=MD ，求证：AB=BC 。【例6】如图，△ABC 为等边三角形，D 、E 为两动点，两动点分别从C 点和A 点出发，沿CB 和AC 方向以相同的速度运动，AD 与BE 交于F 点，试判断∠AFE 的度数是否变化，若不变，求出其值，若变化，求出其范围。【例7】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF 。 G E D C B A M C B D A F B E D A F E D C B A

简单的轴对称图形(等腰三角形)

第五章生活中的轴对称 3 简单的轴对称图形（第1课时）会宁县桃林中学王伟彦一、教学目的 1. 探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。 3. 掌握等边三角形的轴对称性及其有关性质。二、教学过程 ⑴（整体浏览课本，确定学习目标） 1、（课本121页引例）认识等腰三角形是轴对称图形。掌握等腰三角形对称轴的“三线合一”及相关性质。 2、（课本121页想一想）认识等边三角形是轴对称图形。掌握等边三角形的相关特征。 ⑵创设情境导入新课 1. 认识等腰三角形，介绍等腰三角形的概念及各部分名称。 ⑶动手操作探求新知等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具有一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质吗？拿出你的等腰三角形纸片，把纸片折折看，你能发现什么现象吗？ 1. 思考（1）等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴。（2）顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？（3）底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高呢？（4）沿对称轴折叠，你能发现等腰三角形的哪些特征？

2.归纳 (1)等腰三角形是轴对称图形。 (2)∠B =∠C (3 )∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线 (4)∠ADB=∠ADC=90°AD为底边上的高 (5 )BD=CD，AD为底边上的中线。等腰三角形的特征： 1）.等腰三角形是轴对称图形 2）.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 3）.等腰三角形的两个底角相等。 3.推理等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称为“三线合一”）. 证明：因为AD是角平分线, 所以∠BAD= ∠ CAD 在ΔABD和ΔA CD中, 因为AB=AC, ∠BAD= ∠CAD,AD=AD 所以ΔABD ≌ΔACD 所以BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90? 所以AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高。 ⑷知识推广 1．等边三角形的有关概念有几条对称轴？ 2. 你能发现等边三角形的哪些特征？ ⑸知识应用

培优专题等腰三角形含答案

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。【分类解析】例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC 延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证 1∠ABC，而由CE＝CD，BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝ 2 1∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。又可证∠E＝ 2 证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点

轴对称图形全等三角形

全等三角形轴对称测试题班级：_________ 姓名：___________ 小组：__________ 分数：___________ 【错题滚动】 1.锐角三角形中，最大角α的取值范围是（） A.6090α?≤2b ），以a 、b 为边作等腰三角形，则（） A. 只能作以a 为底边的等腰三角形 B. 只能作以b 为底边的等腰三角形 C. 可以作分别以a 、b 为底的等腰三角形 D. 不能作符合条件的等腰三角形 6.小亮在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近8：00的是（） A. B. C. D. 7.如右图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线MN 分别交AC ，AB 于点D ，E ．若∠CBD : ∠DBA =3:1，则∠A 为（）． A. 18° B. 20° C. 22.5° D. 30° 8.如图，在△ABC 和△FED 中，AC=FD ，BC=ED ，要利用“SSS”来判定△ABC

word完整版培优专题3 等腰三角形含答案1推荐文档

3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一 2. 定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系, 理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问【知识精读】（-）等腰三角形的性质 1.有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等; 3等腰三角形定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形; 推论2:等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60 2.定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系, 由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。（二）等腰三角形的判定 1.有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成 “等角对等边”。）推论 1:三个角都相等的三角形是等边三角形。推论 2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论它是证明线段相等的重要定

题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题, 在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时, 有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。【分类解析】例1.如图，已知在等边三角形 ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE =CD ，DM 丄BC ,垂足为M 。求证：M 是BE 的中点。所以/ 1 = - / ABC 2 又因为CE = CD ，所以/ CDE = / E 所以/ ACB = 2/ E 即/ 1=/ E 所以BD = BE ,又DM 丄BC ,垂足为 M 分析：欲证M 是BE 的中点，已知 DM 丄BC ,所以想到连结 BD ，证BD = ED 。因为△ ABC 是等边三角形，/ DBE = - / ABC ，而由 CE = CD ，又可证/ E = - / ACB ，所以/ 1 2 2 =/ E ,从而问题得证。证明：因为三角形 ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点所以M 是BE 的中点（等腰三角形三线合一定理）例2.如图，已知: ABC 中，AB AC , D 是 BC 上一点，且 AD DB , DC CA , 求 BAC 的度数。 E D

中考数学专题训练轴对称图形与等腰三角形(无答案)

轴对称图形与等腰三角形一、选择题 1．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．正方形的对称轴的条数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是（） A．B．C．D． 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=（） A．5 B．C．D．6 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为（） A．6 B．6 C．9 D．3 6．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（）

A．B．1 C．D．2 7．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD=1，则AC的长是（） A．2 B．2 C．4 D．4 8．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（） A．2 B．C．D． 9．如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（）

等腰三角形的性质练习题及答案

等腰三角形的性质练习题及答案若按边(角)是否相等分类，两边(角)相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形是一类特殊三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一)，特别地，等边三角形的各边相等，各角都为60°．解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径．例题求解【例1】如图AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根．(山东省聊城市中考题) 思路点拨通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值． ` 注角是几何中最活跃的元素，与角相关的知识异常丰富，在三角形中，角又有独特的等量关系，如三角形内角和定理、内外角关系定理．等腰三角形两底角相等，利用这些定理可以找到角与角之间的“和”、“差”、“倍”、“分”关系．随着知识的丰富，我们分析问题、解决问题的方法和工具随之增加，因此，在使用什么方法解决问题时，需要综合与选择．【例2】如图，若AB=AC，BG＝BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（) A．30°D．32° C 36°D．40° (武汉市选拔赛试题) 思路点拨图中有很多相关的角，用∠BAC的代数式表示这些角，建立关于∠BAC的方程． \ 【例3】如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：当点D满足什么条件时，∠ADB＝∠CDF，请说明理由．(安徽省竞赛题改编题) 思路点拨本例是探索条件的问题，可先假定结论成立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若∠ADB＝∠CDF，这一结论如何用因∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，故需构造

全等三角形题型归类及解析

全等三角形难题题型归类及解析一、角平分线型角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5， AC=8，求DC 的长。 A B C D E P D A C B M N

二、中点型由中点应产生以下联想： 1、想到中线，倍长中线 2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形 3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线 2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ．（1）求证：BF AC =；（2）求证：1 2 CE BF =

D A E F C H G B 3、如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论。 4、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的

初中数学：轴对称等腰三角形知识点归纳总结

初中数学轴对称、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．线段的垂直平分线

（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．? 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．关于坐标轴对称点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，－y）

培优专题等腰三角形(含答案)

9、等腰三角形【知识精读】（－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。（二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问

题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。【分类解析】例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。求证：M 是BE 的中点。 A D 1 B M C E 分析：欲证M 是BE 的中点，已知DM ⊥BC ，所以想到连结BD ，证BD ＝ED 。因为△ABC 是等边三角形，∠DBE ＝21∠ABC ，而由CE ＝CD ，又可证∠E ＝2 1 ∠ACB ，所以∠1＝∠E ，从而问题得证。证明：因为三角形ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点所以∠1＝ 2 1 ∠ABC 又因为CE ＝CD ，所以∠CDE ＝∠E 所以∠ACB ＝2∠E 即∠1＝∠E 所以BD ＝BE ，又DM ⊥BC ，垂足为M 所以M 是BE 的中点（等腰三角形三线合一定理）例2. 如图，已知：ABC ?中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。 A B C D

1全等三角形及图形轴对称(一对一

师：老师这里有两个三角形，我们从直观上来看这两个三角形，觉得是怎么样的？生：回答师：那两个三角形相等，都要具备哪些条件呢？生：回答师：我们刚刚已经猜测了好几种条件，那么我们一起来看一看有哪些比较合适。一、认识三角形 1、定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。“三角形”可以用符号“Δ”表示。 2 、三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180度。 3、三角形外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形的外角性质：（1）三角形的外角和为360°。（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。（3）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角。 4、三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边。 5、等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形、等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。 6、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。三角形的三条中线交于一点。这个点是三角形的重心。全等三角形及图形轴对称

7、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于一点。 8、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的高线，简称三角形的高。三角形三条高所在直线交于一点。 9、锐角三角形的三条高都在三角形的内部，并且交于同一点。直角三角形有一条高在三角形内部，其余两条高是它的两条直角边，三条高交于直角顶点。钝角三角形的三条高不相交，有一条高在三角形内部，其余两条高在三角形外部，三条高所在直线交于一点。 10、三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S △ =1/2×底×高。 11、三角形具有稳定性二、图形的全等 1、全等图形：能够完全重合的两个图形称为全等图形。全等图形的形状和大都相同。 2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。记作：△ABC≌△A 1B 1 C 1 要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全能三角形的对应顶点、对应边、对应角对应顶点：互相重合的顶点叫对应顶点。点A和点A1，点B和点B1，点C和点C1，对应边：互相重合的边叫对应边。AB和A 1B 1 ，AC和A 1 C 1 ，BC和B 1 C 1 对应角：互相重合的角叫对应角。∠A和∠A 1，∠B和∠B 1 ，∠C和∠C 1 全等三角形的对应边相等，对应角相等。三、探索三角形全等的条件（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”