高数答案(下)习题册答案 第六版 下册 同济大学数学系 编

第八章 多元函数的微分法及其应用

§ 1 多元函数概念

一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=.

二、求下列函数的定义域：

1、2

221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2

2≠+x y y x 2、x

y

z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x

三、求下列极限：

1、222)0,0(),(sin lim y x y

x y x +→ （0） 2、

x y x x y

3)2,(),()1(lim

+∞→ (6e )

四、证明极限 2

42)0,0(),(lim y x y

x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2

x y =趋于（0，0）时，极限为2

1

, 二者不相等，所以极限不存在

五、证明函数??

???

=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y

x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时，

)0,0(01

sin lim 2

2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。

六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数

1、设z=x

y

xe xy + ,验证 z x y +=??+??y

z y

x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y

+=++=??+??y

z

y x z x

42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：

2、求空间曲线???

??=+=Γ2

1:2

2y y x z 在点（

1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设y

x

y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)

4、设y

z x u =, 求

x u ?? ，y u ?? ，z

u ??

解：1

-=??y z x y z x u ，

x x y

z y u y z

ln 2-=?? x x y z u y z

ln 1=?? 5、设2

2

2

z y x u ++=，证明 : u

z u y u x u 2

222222=??+??+??

6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由

??

???≠+≠++=0,00,1sin ),(222

22

2y x y x y

x x y x f )0,0(0),(lim 0

0f y x f y x ==→→ 连续； 201

sin lim )0,0(x

f x x →= 不存在， 000

0lim )0,0(0=--=→y f y y

7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 x

b x a f b x a f x )

,(),(lim

--+→

（2f x (a,b)） § 3 全微分 1、单选题

（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________

(A) 必要条件而非充分条件 （B ）充分条件而非必要条件

（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 （2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___

(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B ）偏导数连续，则全微分必存在 （C ）全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在

2、求下列函数的全微分：

1）x y

e z = )1

(2dy x dx x

y e dz x y +-=

2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=

3）z

y

x u = 解：xdz x z

y

xdy x z dx x z y du z y

z y

z y

ln ln 121-+=-

3、设)2cos(y x y z -=， 求)4

,0(π

dz

解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--= ∴)4

,

0(|π

dz =

dy dx 2

4

π

π

-

4、设2

2),,(y

x z

z y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--

5、讨论函数??

??

?=≠++=)

0,0(),(,0)0,0(),(,1sin

)(),(2

2

2

2y x y x y

x y x y x f 在（0，0）点处

的连续性 、偏导数、 可微性

解：)0,0(01

sin )(lim 2

222)0,0(),(f y x y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。

0)

0,0(),0(lim )0,0(,0)0,0()0,(lim

)0,0()0,0(),()0,0(),(=?-?==?-?=

→→y f y f f x f x f f y x y y x x

0)

()(0

),(2

2→?+?-??y x y x f ，所以可微。

§4 多元复合函数的求导法则

1、 设t

v e v t u u z ===,sin ,，求dt

dz

解：dt

dz =1

cos .(sin )lnsin (sin )t t e t e t t t e t t e -?+??

2、 设,)

(32y

x y x z -+=，求y

z x z ????, 23123(23)()3()ln(),x y x y z

x y x y x y x y y

---?=-+-++? 3、 设)(2x y f x z n

=，f 可微，证明nz y z y x z x =??+??2 4、 设)2,(2

2

xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求22x z ??，y x z

???2， 2

2y

z ?? 解：1222z

xf yf x

?''=+? ,

1222z

yf xf y

?''=-+? ,21112221222((2)2)22((2)2)z x f y f x f y f y f x x y ?'''''''''=-+++-+??

=2

21111222244()4f xyf x

y f xyf '''''''-+-+

22211112222

2484z f x f xyf y f x

?'''''''=+++?,222111122222484z f y f xyf x f y ?'''''''=-+-+? 5、 设)(),(y x g x y xy f z +=，其中f 具有二阶连续偏导数、g 具有二阶连续导数，求y

x z

???2

解：1221

z y f y f g x x y ?'''=-+? ，

2111122122222231111()()z y x

f y f x f f f x f

g g x y x x x x y y

?'''''''''''''=++--+--?? 6、 设),,(z y x F u =，),(y x f z =，)(x y ?=，求dx

du

解：dx

du ))(()(321x f f F x F F y x ??''+'

'+''+'=。 7、设),(v u z z =，且变换?

??+=-=ay x v y x u 2 可把方程+??226x z y x z ???222y z

??-=0 化为 02=???v u z ， 其中z 具有二阶连续偏导数，求常数a 的值 )3(=a

证明：v z

u z x z ??+??=??

v z a u z y z ??+??-=??2 2

222222v u v u z u z x z ??+???+??=?? 22

22222244v u a v u z a u z

y z ??+???-??=?? 222222)2(2v

u a v u z a u z y x z ??+???-+??-=??? 得：0)6()

510(2222=??-++???+v

u a a v u z a a=3 8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,a f =)1,1(/1,b f =)1,1(/2 又，{})],(,[,)(x x f x f x f x =? 求 ).1(?和)1(/? (1) ,

(a+ab+ab 2+b 3)

§ 5 隐函数的求导公式

1、 设y x y y +=ln ，求dx

dy

解：令(,)ln F x y y y x y =--，11,ln ,ln x y dy F F y dx y

=-=∴= 2、 设),(y x z z =由方程)(2

22y

z yf z y x =++确定，其中f 可微，证明

xz y

z

xy x z z y x 22)(222=??+??--

3、 设),(y x z z =由方程z

y e z x +=所确定，其中f 可微，求y

x z ???2

,1,)1(z z y z z x z x z +-=??+=?? y

x z

???23

)1(z x z +-= 4、 设???+==++2

22221y

x z z y x ，求dx dy ，dx dz

( dy x dx y =-，0dz dx =) 5、 设),(y x z z =由方程0),,(=+xz z y xy F 所确定，F 可微，求

y

z x z ????, 解：令(,,)F x y z =(,,)F xy y z xz + ，则13122323,y x z z

F F F y zF F x F z

z x F y F F xF F xF ''''++??=-=-=-=-??''''++ 6、设),(y x f z =由方程0=-++++y x z e y x z 所确定，求dz (dy dx dz --=) 7、设z=z(x,y)由方程 y z yz x xy =-+3)cos(3所确定，求

x z ??, y

z

?? , )sin(3)cos(3ln .32yz xy z yz y x z xy ++=?? , )

sin(31

)sin(3ln 3.2yz xy z yz xz x y z xy +--=

??

§ 6 微分法在几何中的应用

1、 求螺旋线t z t y t x 3,sin 2,cos 2=== 在对应于4

π=

t

处的切线及法平面方程

解：切线方程为

343

z π

-

== 法平面方程0)4

3(3)2(2)2(2=-

+-+--π

z y x 2、 求曲线???+==++2

2222250

y

x z z y x 在（3，4，5）处的切线及法平面方程 解：切线方程为 0

5

3443-=

--=-z y x ，法平面方程：034=-y x 3、 求曲面9322

22=++z y x 在（1，-1，2）处的切平面及法线方程 解：切平面方程为0)2(2)1(3)1(2=-++--z y x

及法线方程2

2

3121-=

-+=-z y x 4、 设),(v u f 可微，证明由方程0),(=--bz ay bz ax f 所确定的曲面在任一点处的切平面与一定

向量平行

证明：令),(),,(bz ay bz ax f z y x F --=，则

),,(,,,21212121'-'-''=∴'-'-='='=bf bf a f a f bf bf F a f F a f F z y x

0),,(=?∴a b b ，所以在（000,,z y x ）处的切平面与定向量（a b b ,,）平行。 5、 证明曲面3

23

23

23

2a z y x

=++0

(>a ）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方

和为2

a

证明：令=),,(z y x F 3

2323232a z y x -++，则,3

2,32,323

1

3131---===z F y F x F z y x

在任一点()000,,z y x 处的切平面方程为0)()()(03

1003

1003

10=-+-+--

-

-z z z y y y x x x

在在三个坐标轴上的截距分别为,,,3

23

103

23103

23

1

0a z a y a x 在三个坐标轴上的截距的平方和为2a

证明曲面)(x

y

xf z

=上任意一点)0(),,,(0000≠x z y x M 处的切平面都通过原点

7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t, 总有),,(),,(z y x F t tz ty tx F k = k 为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点 证明 ：),,(),,(z y x F t tz ty tx F k = 两边对t 求导，并令t=1 ),,(z y x kF zF yF xF z y x =++

设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：

))(,,(0000x x z y x F x -+))(,,(0000y y z y x F y -+))(,,(0000z z z y x F z -=0 此平面过原点（0，0，0）

§ 7 方向导数与梯度

1、 设函数

22),(y xy x y x f +-=， 1）求该函数在点（1，3）处的梯度。

2）在点（1，3）处沿着方向l 的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向 解：梯度为 5)3,1(j gradf +-=

θθsin 5cos )

3,1(+-=??l

f , 方向导数达到最大值的方向为)5,1(-=，方向导数达

到

最小值的方向为)5,1(-=-。

2、 求函数222zx yz xy u

++=在（1，2，-1）处沿方向角为0001509060===γβα的方

向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。

解：：方向导数 为2

3

31)

1,2,1(+

=??-l

u ，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向 k j i gradu 352)1,2,1(-+=-，此时最大值为 38)1,2,1(=

??-l

u

3、 求函数32z xy u

=在（1，1，-1）处沿曲线32,,t z t y t x ===在（1，1，1）处的切线正方

向（对应于t 增大的方向）的方向导数。

解：：

223323,2,z xy z

u xyz y u z y x u =??=??=??，)3,2,1(=，∴该函数在点（1，1，-1）处的方 向导数为144

)

1,1,1(=??-l u ， 4、求函数)ln(2

22x z y u ++=在（1，1，-1）处的梯度。

解：：2222222222,2,2z

y x z z u z y x y y u z y x x x u ++=??++=??++=??，

j gradu 3

23232)1,1,1(-+=

-

§ 8

多元函数的极值及求法

1、求函数22233),(22+--+=y x y x y x f 的极值。

答案：（31，3

1

）极小值点

2．求函数y x y x y x f ln 18ln 2),(22--+=的极值 答案：极小值3ln 1810)3,1(-=f

3. 函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点（1，1）处取得极值，求常数a (-5) 4、求函数122++=y x z 在条件03=-+y x 下的条件极值

解：)3(1),,(22-++++=y x y x y x F λλ

???==00y

x F F )32,32(? ，极小值为211

5、 欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。 （长和宽2米，高3米）

6、 在球面22225r z y x =++（0,0,0>>>z y x ）上求一点，使函数

z y x z y x f ln 3ln ln ),,(++= 达到极大值，并求此时的极大值。利用此极大值证

明c b a ,,? 有5

3)5

(27c b a abc ++≤

证明：令z y x L ln 3ln ln ++=)5(2

222r z y x -+++λ 令0,0,0=??=??=??z

L y L x L ，22225r z y x =++解得驻点r z r y x 3,===。所以函数z y x z y x f ln 3ln ln ),,(++=在r z r y x 3,===处达到极大值。极大值为)33ln(5r 。

即5

3

33r xyz ≤?5

2225

23222)5

(

27)(27)(z y x r z y x ++=≤，令,,,222c z b y a x ===得5

3)5

(27c b a abc ++≤。

7、求椭球面12

322

2=++z y x 被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的

长度

解： )()12

3(222

212

2

2

z y x z y x z y x F +++-++

+++=λλ

?????

?

?????

=++=++=++==++==++=01230220203

22222

212121z y x z y x z z F y y F x x F y y x

λλλλλλ )3(2312λλ+-=x ，122λλ+-=y ，)1(212λλ+-=z

22221)(d z y x -=++-=λ 6

13

111±-=

λ 长半轴 61311+， 短半轴 61311-

第八章 自测题

一、选择题：（每题2分，共14分）

1、设有二元函数?????=≠+=),0,0(),(,

0),

0,0(),(,),(422

y x y x y x y x y x f 则 [ ]

A 、),(lim )

0,0(),(y x f y x →存在；

B 、),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在；

C 、),(lim

)

0,0(),(y x f y x →存在， 且),(y x f 在(0,0)处不连续；

D 、

),(lim )

0,0(),(y x f y x →存在， 且),(y x f 在(0,0)处连续。

2、函数),(y x f 在),(000y x P 各一阶偏导数存在且连续是),(y x f 在),(000y x P 连续的[ ]

A 、必要条件；

B 、充分条件；

C 、充要条件；

D 、既非必要也非充分条件。

3、函数???

??=≠-=y x y x y x xy

y x f ,

0,,),( 在(0,0)点处 [ ]

A 、极限值为1；

B 、极限值为-1；

C 、连续；

D 、无极限。

4、),(y x f z =在),(000y x P 处),(y x f x ，),(y x f y 存在是函数在该点可微分的 [ ] （A ）必要条件； （B ）充分条件；

（C ）充要条件； （D ）既非必要亦非充分条件。 5、点)0,0(O 是函数2

xy z =的 [ ]

（A ）极小值点； （ B ）驻点但非极值点； （C ）极大值点； （D ）最大值点。

6、曲面3=+-xy z e z

在点P (2,1,0)处的切平面方程是 [ ]

（A ）042=-+y x ； （B ）42=-+z y x ； （C ）042=-+y x ； （D ）052=-+

y x

7、已知函数(,,),(,),(,)u f t x y x s t y s t ?φ===均有一阶连续偏导数，那么

u

t

?=?[ ] (A)x t y t f f ?φ+; (B) t x t y t f f f ?φ++; (C) t t f f ?φ?+?; (D) t t t f f f ?φ+?+? 二、填空题：（每题３分，共18分）

1、=+→2

22)0,0(),(sin lim

y x y

x y x （ 0 ） ２、设xyz

e z y x

f =),,(，则=????z

y x f

3（ )31(222z y x xyz e xyz ++ ）

３、设???

??=≠=,0,0,0,)

sin(),(2xy xy y xy y x f 则=)1,0(x f ( 0 )

４、设x

y x z )2(+=，则在点)0,1(处的全微分.)2(dy dx dz +=

５、曲线?????==z

x x

y 22在点)1,1,1(0P 处的切线方程为

( 41

1121-=

-=-z y x ) ６、曲线?

??=+-=++46423222z y x x z y x 在点(1,1,1)处的切线方程为( 01

1121-=

-=-z y x ) 三、计算题（每题6分）

1、设)ln(),(2

2

y x x y x f +=，求),(y x f 的一阶偏导数

2

22

2

2

2)ln(),(y

x x y x y x f x +++= ， 222),(y x xy y x f y +=。 2、设

????

?

?+=y x x y x f ln ),(，求此函数在点)1,1(0P 处的全微分。并求该函数在该点处沿着从 P 0到)1,2(1-P 方向的方向导数 ( dy dx df 21)

1,1(-= ，5

2

=??l f ) ３、设f x y y x f z ,,2???

?

?=具有各二阶连续偏导数，求y x z ???2

解：y x z ???22112x xf -'='2f "-"+"+22

312113

2f x y yf f x y

x z ???2

４、设??

???=+≠+++=0,00,1sin ),(222

22

2

22y x y x y x y x y x f 求),(y x f x 和),(y x f y 。 x x x x f x f x x 2

001sin lim 0)0,0()0,(lim →→=--不存在，故)0,0(x f 不存在，同理，)0,0(y f 也不存在。 当)0,0(),(≠y x 时，有

222/3222

22

21

cos

)(21sin ),(y x y x x y x y x x y x f x ++-

++=

2

22/3222

2221

cos )(21

sin

),(y

x y x y y x y x y

y x f y ++-

++=

５、设),(y x f z =由方程0=-++++y

x z e

y x z 所确定，求dz ( dy dx dz --=)

６、设])(,)([x y y x f z +-=ψ?，f 具有连续的二阶偏导数，ψ?,可导，求y

x z

???2

21)(f x f x

z

'+''=???

)]([)]()[(222112112y f f y f f x y x z ψψ?'''+''-+'''+''-'=??? 221211

)(]1)()([)(f y f y x f x '''+''-''+'''-=ψψ?? ７、设?????=+-=-+0

02

222

2υυu xy u y x 确定函数),(),,(y x y x u u υυ==，求y x u ????υ,。 2

2

22222

2222,2)

(24,)(24υυυυυυυυυυυ+-=??++=??+-=

??++=??u xy yu y u xy y y u u y x x u u xu x u

８、设)(12

22222z y x f z

y x u ++++=，式中f 二阶可导，求222222z u y u x u ??+??+??

解：记222z y x r

++=，则 1)()(-?==r r f r

r f u

y r r f r r f y u x r r f r r f x u 33)()(,)()(-'=??-'=??，z r r f r r f z u 3)()(-'=?? 3

25222)

()()]()([3)(r

r f r r f x r r f r r f r f r x u -'+?-'-''=?? 类似地，有

3

25222)()()]()([3)(r

r f r r f y r r f r r f r f r y u -'+?-'-''=?? 325222)

()()]()([3)(r

r f r r f z r r f r r f r f r z u -'+?-'-''=??

3252222222)]

()([3)]()([3)(r r f r r f r r r f r r f r f r z u y u x u -'+?-'-''=??+??+?? r

r f )(''=

四、（１０分）试分解正数a 为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。

设三个正数为z y x ,,，则a z y x =++，记z

y x F 1

11++=，令

)(1

11a z y x z

y x -+++++=

λ? 则由

??

??????

??

?

=++=+-==+-==+-=a

z y x z y x

z y x

1

10122

2λ?λ?λ? 解出3a z y x ===。 五、证明题：（１０分）

试证：曲面)(z y f x z -+=上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中

f 连续可导。

证明：曲面在任一点),,(z y x M 处的切平面的法向量为

{}f f n '+'--=1,,1

定直线L 的方向向量若为{

}1,1,1=s ，则 0=?s n ，即s n ⊥

则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。

第九章 重积分

§ 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值

dxdy y x I D

??+=22 其中D 为：422≤+y x

( dxdy y x I D

??+=22=πππ3

16

2.4..312.4.=

-) 2、设D 为圆域,0,222>≤+a a y x 若积分

dxdy y x a D

??

--2

2

2

=12π

，求a 的值。

解：

dxdy y x a D

??

--2

2

2

=3

.34.21a π 81

=a

3、设D 由圆,2)1()2(22围成=-+-y x 求??D

dxdy 3

解：由于D 的面积为π2, 故??D

dxdy 3=π6

4、设D ：}10,53|),{(≤≤≤≤y x y x ，

????+=+=D

D

dxdy y x I dxdy y x I 221)][ln(,)ln(，比较1I , 与2I 的大小关系

解：在D 上，)ln(y x +≤ 2)][ln(y x +,故1I ≤2I

5、 设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 ,122=+y x 和曲面2)]([xy f z =所围的

立体的体积，可用二重积分表示为??≤+=

1

:2

2

2)]([y x D dxdy xy f V

6、根据二重积分的性质估计下列积分的值

??D

ydxdy x 22sin sin ππ≤≤≤≤y x D 0,0:

(≤0??D

ydxdy x 22sin sin 2π≤)

7、设f(x,y)为有界闭区域D ：222a y x ≤+上的连续函数，求 ??→D

a dxdy y x f a ),(1lim 2

0π

解：利用积分中值定理及连续性有)0,0(),(lim ),(1lim

8

2

0f f dxdy y x f a a D a =

=→→??ηξπ

§ 2 二重积分的计算法

1、设??

+=D

dxdy y x

I 1

，其中D 是由抛物线12+=x y 与直线y=2x ，x=0所围成的区域，则I=（ ）

A ： 2

12ln 3ln 87+-- B ： 21

2ln 3ln 89-+

C ： 2

12ln 3ln 89-- D ： 41

2ln 3ln 89--

2、设D 是由不等式1≤+y x 所确定的有界区域，则二重积分??+D

dxdy y x )(为

（ ）

A ：0

B ： 31

C ：3

2

D ： 1

3、设D 是由曲线xy=1与直线x=1,x=2及y=2所围成的区域，则二重积分 ??D

xy dxdy ye 为（ ）

A ：e e e 2

1

2124-- B ：21

242121e e e e -+-

C ：e e 2

1

214+ D ：2421e e -

4、 设f(x,y)是连续函数，则二次积分dy y x f dx x x ?

?++-2

11

1

),(为（ ）

A dx y x f dy dx y x f dy y y ????----+1

1

2

111102),(),( B dx y x f dy y ??--1

110),(

C dx y x f dy dx y x f dy y y ????-----+1

1

2

11

11

02),(),( D dx y x f dy y ??---1

1

2

02),(

5、设有界闭域D 1、D 2关于oy 轴对称，f 是域D=D 1+D 2上的连续函数，则二重 积分??D

dxdy y x f )(2为（ ）

A ??1

),(22D dxdy y x f B ??2

2),(4D dxdy y x f

C ??1

),(42D dxdy y x f D

??2

2

),(21D dxdy y x f 6、设D 1是由ox 轴、oy 轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f 是域D:|x|+|y|≤1

上的连续函数，则二重积分??D

dxdy y x f )(22为（ ）

A ??1

),(22

2D dxdy y x f B ??1

),(422D dxdy y x f

C ??1

),(822D dxdy y x f D

??1

),(212

2D dxdy y x f 7、.设f(x,y)为连续函数，则??a

x

dy y x f dx 0

),(为( ) A ??a

a

y

dx y x f dy 0

),( B ??a

y

a

dx y x f dy 0),( C ??a y dx y x f dy 0

),( D ??a x

dx y x f dy 0

),(

8、求 ??

=D

dxdy y

x I 2

2 ，其中 :D 由x=2,y=x,xy=1所围成. (49

)

9、设I=??

3

1

ln 0

),(x

dy y x f dx ,交换积分次序后I 为：

I=??

31

ln 0

),(x

dy y x f dx =??3ln 0

3

),(y e

dx y x f dy

10、改变二次积分的次序： ????-+4240

200),(),(x

x dy y x f dx dy y x f dx = ??

2

12

2

1x

x

dx y

dx x

11、设 D={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1} ,求??+D

y x dxdy e 的值

解：??+D

y

x dxdy e

=????-==+1

210

10

10

)1())((e dy e dx e dy e dx y x l y x

12设 I=??--D dxdy y x R 222,其中D 是由x 2+y 2=Rx 所围城的区域，求I (331

R π)

13、计算二重积分??-+D

dxdy y x |4|22，其中D 是圆域922≤+y x

解：??-+D

dxdy y x |4|2

2

==

-+-????rdr r d rdr r d ππθθ20

3

2

220

2

2

)4()4(2

41π

14、计算二重积分??D

y x dxdy e

}

,m ax{22，其中D={(x,y)| 0≤x ≤1,0≤y ≤1}

解： ??D

y x dxdy e

}

22,max{=11

1

2

2

-=+????e dx e d dy e dx y

y x

x y

15、计算二重积分??

++D

dxdy y

x y x 2

2，D ：.1,12

2≥+≤+y x y x 解：??++D

dxdy y x y x 22=24)sin (cos 201sin cos 12πθθθπ

θθ-=+??+rdr r r d

§ 3 三重积分

1、设Ω是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则???Ω

xdxdydz 为

( )

A ??

?--1

210

1

y x y xdz d dx B ?

?

?---210

210

1

y y

x xdy dz dx

C ?

?

?---210

210

1

0x y

x xdz dy dx D ???10

1

1

xdz dy dx

2、设Ω是由曲面x 2

+y 2

=2z

,及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分???Ω

dxdydz z y x f ),,(表示为累次积分，I=（ ）

A ???1

20

20

2

ρπθρθρρθz)dz ,sin ,cos f(d d B ???2

20

20

2

ρπρθρθρρθdz z),sin ,cos f(d d

C ???20

22

202

ρπρθρθρρθdz z),sin ,cos f(d d D ???

20

2

20

dz z),sin ,cos f(d d ρθρθρρθπ

3、设Ω是由1222≤++z y x 所确定的有界闭域，求三重积分???Ω

dv e z ||

解：???Ω

dv e z ||=???--≤+1

1

1||2

22)(

z y x z dz dxdy e =2?

=-1

2

2)1(ππdz z e z 4、设Ω是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所围成的空间区域，求???Ω

dxdydz z xy 32

(1/364)

5、设Ω是球域：12

2

2

≤++z y x ，求???Ω

++++++dxdydz z y x z y x z 1)

1ln(2

22222 (0) 6、计算???+Q

dxdydz y x )(22 其中Ω为：平面z=2与曲面2

222z y x =+所围成的

区域 (

π5

64

)

7、计算???Q

zdxdydz x 2其中Ω是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x 2

所围成的闭区域

(2/27))

8、设函数f(u)有连续导数，且f(0)=0,求dxdydz z y x f t t

z y x t )(1lim 2

2222224

0???≤++→++π

解：dxdydz z y x f t

t z y x t ???≤++→++2

2222

2240(1lim π =)0(')(4lim

sin )(1lim

4

20

220

4

0f t

dr

r f r dr r r f d d t t

t t

t ==???

?→→??θππ

π

§4 重积分的应用

1、(1)、由面积22y x +=2x, 22y x +=4x,y=x,y=0所围成的图形面积为（ ）

A )2(41+π

B )2(21+π

C )2(4

3

+π D 2+π

(2) 、位于两圆θρsin 2=与θρsin 4=之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是( )

A (0,35)

B (0,36)

C (0,3

7

) D (0,38)

(3)、由抛物面x y z 422=+和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是 （ ）

A (0,0,34)

B (0,0,3

5) C (0,0,45) D (0,0,47

)

(4)、 质量分布均匀(密度为μ)的立方体所占有空间区

域:}10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ,该立方体到oz 轴的转动惯量I Z =( )

A 31μ

B 32μ

C μ

D 3

4

μ

2、求均匀上半球体(半径为R)的质心

解：显然质心在z 轴上，故x=y=0,z=???Ω=831R zdv V 故质心为(0,0,R 38

)

4、 曲面2213y x z --=将球面25222=++z y x 分割成三部分，由上至下依次记 这三部分曲面的面积为 s 1, s 2, s 3, 求s 1:s 2:s 3

解：π102559222=--=??≤+dxdy y x y x 1S π20255

16

2

22=--=??≤+dxdy y x y x 3S

π70=2S

5、求曲面xy Rz =包含在圆柱222R y x =+内部的那部分面积 解：3

)122(22

2222

2R dxdy R y x R R y x π-=++=

??

≤+S

6、求圆柱体Rx y x 222≤+包含在抛物面Rz y x 222=+和xoy 平面之间那部分立 体的体积

解：43)(2132

222R dxdy y x R Rx y x π=

+=??≤+V 第九章 自测题

一、选择题: （40分） 1、?

?-x dy y x f dx 10

1

0),(=( )

A ??-10

10

),(dx y x f dy x B ?

?-x

dx y x f dy 10

10

),( C ??1

1

),(dx y x f dy D ?

?-y

dx y x f dy 10

1

),(.

2、设D 为222a y x ≤+,当=a ( )时,π=--??D

dxdy y x a 222. A 1 B 3

23 C 343 D 32

1 3、设??+=D

dxdy y x I )(22,其中D 由222a y x =+所围成,则I =( B ).

A 40220a rdr a d a πθπ=??

B 402202

1

a rdr r d a πθπ=???;

C 302203

2

a dr r d a πθπ=?? D 402202a adr a d a πθπ=???.

4、设Ω是由三个坐标面与平面z y x -+2=1所围成的空间区域,则

???Ω

xdxdydz =( ).

A

481 B 48

1- C 241 D 241- .

5 、设Ω是锥面,0(22

2222>+=a b

y a x c z )0,0>>c b 与平面c z y x ===,0,0所围成的

空间区域在第一卦限的部分,则???Ω

dxdydz z xy

=( ). A c b a 22361 B b b a 22361 C a c b 22361

D ab c 36

1.

6、计算???Ω

=zdv I ,1,222=+=Ωz y x z 为围成的立体,则正确的为( )和（）

A ???=10

10

20

zdz rdr d I πθ B ???=1

10

20

r

zdz rdr d I πθ

C ???=110

20

r

rdr dz d I πθ D ???=z

zrdr d dz I 0

20

10

πθ.

7、曲面22y x z +=包含在圆柱x y x 222=+内部的那部分面积=s ( )

A π3

B π2

C π5

D π22.

8、由直线2,2,2===+y x y x 所围成的质量分布均匀(设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量x I =( ).

A μ3

B μ5

C μ4

D μ6

二、计算下列二重积分:（20分）

1、??-D

d y x σ)(22,其中D 是闭区域:.0,sin 0π≤≤≤≤x x y (9

402-

π) 2、??D

d x

y σarctan ,其中D 是由直线0=y 及圆周1,42222=+=+y x y x ,x y =所围

成的在第一象 限内的闭区域 . (

2

64

3π) 3、??+-+D

d y x y σ)963(2,其中D 是闭区 域:222R y x ≤+ (

2494

R R ππ

+)

4、??-+D

d y x σ222,其中D :322≤+y x . (.25π) 三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15分）

1、?

??

?-+y

y

dx y x f dy dx y x f dy 30

31

20

1

0),(),( (??-x

x

dy y x f dx 32

20

),()

2、?

?-+2111

),(x x

dy y x f dx

(?

???-+2

2

20

2

1

01

),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy )

3、??θθθθ0

)sin ,cos (rdr r r f d a

(??θ

θθθ0

)sin ,cos (rdr r r f d a

)

四、计算下列三重积分:（15分）

1、Ω+???Ω

,)cos(dxdydz z x y :抛物柱面x y =2

,,π

=

+==z x o z o y 及平面所围

成的区域 (

2

1162

-π) 2、,)(22???Ω

+dv z y 其中Ω是由xoy 平面上曲线x y 22=绕x 轴旋转而成的曲面与

平面5=x 所围 (

π3

250

) 五、（5分）求平面1=++c

z

b y a x 被三坐标面所割出的有限部分的面积 .

(22222

22

1a c c b b a ++) 六、（5分）设)(x f 在]1,0[上连续,试证: 31

0101])([61)()()(????=dx x f dxdydz z f y f x f x y x

)0(,)()()

()(,)()(1

==='=??F dx x f t F x f x F dt t f x F x

且则

=???101)()()(x y

x dxdydz z f y f x f =-??dy x F y F y f dx x f x

1

1)]()()[()(

dx x F F x F x F F x f )}()1()()]()1((21){[(21

22?

+--=)1(21)1(61)1(21333F F F -+=)1(6

1

3F

第十章 曲线积分与曲面积分 § 1 对弧长的曲线积分

1设 L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x f ,关于y 是偶函数时，

()=?L

ds y x f ,

()?1

,L ds y x f C. ()?-1

,2L ds y x f D.ABC 都不对

2、设L 是以点()()()()1,0,0,1,1,0,0,1--D C B A 为顶点的正方形边界,

则?

+L

y

x ds =

24 D. 22

3、有物质沿曲线L ：()103

,2,3

2≤≤===t t z t y t x 分布，其线密度为,2y =μ，则它

=m

++1

4

2

1dt t t t B.?++10

4

22

1dt t t t

C.

?

++1

4

21dt t t D.

?

++1

421dt t t t

4．求,?L

xds 其中L 为由2,x y x y ==所围区域的整个边界

解：()

2

2

155121241

11

1

+

-=

+

+?

?

xdx dy y

y 5．,ds y L

?其中L 为双纽线)0)(()(222222>-=+a y x a y x

解：原积分=()()

222sin 4sin 4420

2

2'24

4

1

-==+=?

??a d a

d r r r ds y L χπ

π

θθθθθ

6．?+L

ds y x ,22 其中L 为()022>=+a ax

y x

原积分=222

2cos 2a adt t a ==?π

7．,2?L

ds x 其中L 为球面2222a z y x =++与平面0=-y x 的交线

解：将y x =代入方程2222a z y x =++得2222a z x =+于是 L 的参数方程：t a z t a y t a x sin ,sin 2

,cos 2

==

=，又adt ds =

原积分=?

=π

π20

3222

cos 2a adt t a 8、求均匀弧()0,sin ,cos ≤<∞-===t e z t e y t e x t t t 的重心坐标

33,30

==

=?

∞

-dt e M dt e ds t

t

，523cos 10

0=

=

?

∞

-dt e t e M

x t t ，2

1,5100=-=z y

§2 对坐标的曲线积分 一、选择题

1.设L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x P ,关于y 是偶函数 时，()=?L

dx y x P , A.0 B. ()?1

,2L dx y x P C.()?-1

,2L dx

y x P 都不对

2．设L 为1=+y x 的正向，则=++?

L

y

x ydy

xdx 3．L 为222a y x =+的正向，=+--+?

L

y x dy

y x dx y x 2

2)()( A.2

π

π C.0 D.π

二、计算

1．()()

dy y x dx y x L

?-++2222，其中L 由曲线()2011≤≤--=x x y 从

()0,2A 到()0,0O 方向

解：()1,1B 01:,:;12:,2:___

____

→=→-=x x y BO x x y AB

=

I =

+

?

?

____

___

BO

AB ()()()

(

)()()

3

41220

1

22

1

2

2

2

2

-

=++---+-+??dx x x

dx x x dx x x

2．[]

d y y x x xy y dx y x L

)ln((2222+++++? 其中L 是正向圆周曲线

222a y x =+

解： 由奇偶对称性022=+?

L

dx y x ，L ：ππ→-==:,sin ,cos t t a y t a x

=

I ()()=

++?-

dt t a t t a dt t t a

cos 1ln cos sin cos sin 3

2

2

4

π

πππ

π

4

cos sin 4

2

2

4

a dt t t a =?

-

3．()?Γ

-+++dz y x ydy xdx 1其中为从点()1,1,1A 到()4,3,2B 的有向线段

解：Γ方程：13,12,1+=+=+=t z t y t x ，

=

I ()136141

=+?dt t

三、过()0,0O 和()

0,πA 的曲线族()0sin >=a x a y ，求曲线L 使沿该曲线从()0,0O 到

()0,πA 的积分()()dy y x dx y L

+++?213的值最小

解：()()[

]

30333

44cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +

-=+++=?ππ

()(

)

()0811,014''2

'>=?=?=-=I a a a I 。,1=a ()a I 最小，此时 x y sin =

四、空间每一点处()z y x P ,,有力()z y x F ,,→

，其大小与()z y x P ,,到z 轴的距离成反比，方向垂直指向z 轴，试求当质点沿圆周t z y t x sin ,1,cos ===从点()0,1,1M 到

()1,1,0N 时，力()z y x F ,,→

所作的功

解：由已知()}0,,

{

,,2

2

2

2

y

x ky y

x kx z y x F +-+-=

2ln 2

cos 1

cos

cos 2

2

2

22

2

k

t d t t

k dy y x ky dx y x

kx

W L

=

+-=

+-+

+-=

??π

五、将积分y y x Q x y x P L d ),(d ),(?+化为对弧长的积分,其中L 沿上半圆周

0222=-+x y x ).0,2()0,0(B O 到从

解：,22x x y -=x x

x x y d 21d 2

--=

x y ds d 12'+=x x

x d 212

-=

s

x

d d cos =

α,22x x -=x s

y

-==

1d d cos β，于是 =

+?

y y x Q x y x P L

d ),(d ),(s x y x Q x x y x P L d )1(),(2)

,(2?

??

???

?-+-

§3 格林公式及其应用

一、选择题