2016-2017-2线性代数试卷A
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2016-2017 学年第2学期 考试科目：线性代数 考试类型：（闭卷）考试 考试时间：120分钟
学号 姓名 年级专业
T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，1A -表示矩阵A
的逆矩阵，
A 表示方阵A 的行列式, I 表示单位矩阵，(,)αβ表示向量,αβ的内积.
请直接在本试卷上作答。答案写在草稿纸上无效。
一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只
有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内
1. 设,A B 为任意同阶方阵，则必有( )
(A) 222()2+=++A B A AB B (B) 22()()+-=-A B A B A B (C) ()I +=++22A I A 2A
(D) 222()=AB A B
2. 已知,,A B C 均为n 阶可逆阵，,,AB BA AC CA ==则ABC =( )
(A) ACB (B) CAB (C) CBA
(D) BCA
3．设4阶矩阵A 的所有元素均为4，则4元齐次线性方程组0Ax =的基础解系
中解向量的个数为（ ） 4．已知2阶行列式
12
212
2222a a a b b b +-=+-，则12
12
a a
b b =（ ） (A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
5. 设n 阶矩阵A 满足230I A -=，则A 必有一个特征值λ=（ ）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
6. 设向量组1(,1,1)T k α=,2(1,2,1)T α=-, 3(1,1,2)T α=-线性相关，则k =______.
7. 设3元非齐次线性方程组Ax b =的增广矩阵 经初等行变换可化为
10
31(,)011200(1)(2)1A b k k k -?? ?
→- ? ?-+-??
若该方程组无解，则k =_____________________________________________________.
8. 若3阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为111,,345
，则行列式1
B I --=____.
9.
矩阵000
1a A b ?? ? ??
=?? ? ??
?
是正交矩阵, 则a b += .
10. 设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为1, 2, …,n , 则使tI A -为正定矩阵的
数t 取值范围是_______________________________________________________.
(A) 2- (B) 1- (C) 1 (D) 2
(A) 3
2
-
(B) 2
3
-
(C) 32
(D)
23
三、计算题 11. (满分8分) 已知
100110021A ?? ?=- ? ??? ，131011002B ?? ?=- ? ???
求2T A B A -.
12.（满分7分） 计算行列式
5111151111511115
D =
13. （满分8分) 已知321210100A ?? ?
= ? ???
，求*A 及1A -.
四、解答题
14. (满分10分) 设向量组
()11,1,2,1,
T
α=-
()21,0,2,2,T
α=
()30,2,1,1,T
α= ()41,0,3,1,
T α=
求该向量组1234,,,αααα的一个极大无关组， 并将其余向量通过该最大线性无关组表示出来.
15. (满分10分) 求下线性方程组的通解（要求用它的一个特解和对应的齐次线
性方程组的基础解系所表示.
???
??=++=+++=+++5
221322
431
43214321x x x x x x x x x x x
16. (满分8分)华农的本科毕业论文开始进行查重了。论文查重基于文本相似度，
那么如何计算两个文本的相似程度？一个简单的方法是通过文本中的词出现的频率构造向量，比如要比较下面两句话的相似度:
1) 我/爱/线性代数，线性代数/很/有用。
2) 我/爱/线性代数，线性代数/很/容易。
两句话共出现了｛我、爱、线性代数、很、有用、容易｝共6个词，第一句话里“线性代数”出现2次，“容易”出现0次，其它出现1次，用6维向量描述为(1,1,2,1,1,0) ，记为α，类似地，第二句话用向量描述为
(1,1,2,1,0,1)，记为β.
试计算：
（1） 向量α与β的距离(欧氏距离）；
（2） 向量α与β的夹角余弦（称为余弦距离）
（3） 你认为欧氏距离和余弦距离度量上面两句话的相似性哪个更好一些，说明理由.
17.（满分7分）求二次型112212(,)34x f x x x ??
??= ? ?????的矩阵A ,并求f 的秩.
18. (满分7分) 设12,αα是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系，证明
1122βαα=+ ，2122βαα=+也是方程组0Ax =的一个基础解系。