电路答案第10章

答案10.1

解：0

V 20k 2mA 10)0(=Ω?=-C u 由换路定律得：V 20)0()0(==-+C C u u

换路后一瞬间，两电阻为串联，总电压为)0(+C u 。 所以 mA 5k )22()

0()0(1=Ω

+=

++C u i

再由节点①的KCL 方程得：

mA 5mA )510()0(mA 10)0(1=-=-=++i i C

答案10.2

解：0

45)0(=Ω

+?++=-i ，A 2)0(3

66)0(=?+=

--i i L V 24)0(8)0(=?=--i u C

由换路定律得：V 24)0()0(==-+C C u u ，A 2)0()0(==-+L L i i

由KVL 得开关电压：

V 8V )2824()0(8)0()0(-=?+-=?+-=+++L C i u u

答案10.3

解：0

V 6.0V 5.1)69(6)0()0()0(1=?Ω

+Ω

=

==--+u u u C C

0>t 时，求等效电阻的电路如图(b)所示。

等效电阻 Ω=++-=

=5)36(4i i i

i i u R 时间常数 s 1.0i ==C R τ

0>t 后电路为零输入响应，故电容电压为：

V e 6.0e )0()(10/t t C C u t u --+==τ

Ω6电阻电压为：V e 72.0)d d (66)(101t C

t

u C

i t u -=-?Ω-=?Ω-=)0(>t 答案10.4

解：0

求等效电阻的电路如图(b)所示。

(b)

等效电阻Ω=+?+

=83

63

66i R ，时间常数s 5.0/i ==R L τ 0>t 后电路为零输入响应，故电感电流为

A e 3e )0()(2/t t L L i t i --+==τ)0(≥t 电感电压

V e 24d d )(21t L

t

i L

t u --==)0(>t Ω3电阻电流为 A e 236321

33t L u i u i --=Ω

+?Ω=Ω=

Ω3电阻消耗的能量为：

W 3]e 25.0[121230

40

40

233=-==Ω=∞-∞

-∞Ω??t t dt e dt i W 答案10.5

解：由换路定律得0)0()0(==-+L L i i ，达到稳态时电感处于短路，故

A 54/20)(==∞L i

求等效电阻的电路如图(b)所示。

(b)

等效电阻 Ω==6.18//)4//4(i R 时间常数 s )16/1(/i ==R L τ

0>t 后电路为零状态响应，故电感电流为：

A )e 1(5)e 1)(()(16/t t L L i t i ---=-∞=τ)0(≥t

A e 8

e 1651.08/)d d (8)(1616t t

L L t i L u t i --=???=Ω=Ω=)0(>t

答案10.6

解：0

0>t 时为简化计算，先将ab 左边电路化为戴维南电路形式。 当ab 端开路时，由02=+i i ，得0=i 所以开路电压

V )100cos(210S O C t u u == 当ab 端短路时，Ω

?==+=3332S

SC u i i i i 故等效电阻 Ω==

1SC

OC

i i u R ， 0>t 时等效电路如图(b)所示。

(b)

电路时间常数为 s C R 01.0i ==τ。

用相量法计算强制分量p C u ：

V 4525010j

1j )j /(11)j /(1p ?-∠=?∠?--=?+=OC

C U C C U ωω V )45100cos(10)(p ?-=t t u C V 25)45cos(10)0(p =?-=+C u 由三要素公式得：

]e 25)45100cos(10[e )]0()0([)()(100/p p t t C C C C t u u t u t u --++-?-=-+=τV 答案10.7

解：0

V 6V 93

66

)0()0(=?+==-+C C u u ，

∞→t 电容又处于开路，V 12)V 18(3

66

)(-=-?+=

∞C u 等效电阻

Ω=Ω+?+=10)3

63

68(i R

时间常数

s 2.0i ==C R τ

由三要素公式得：

V )e 1812(e )]()0([)()(5/t t C C C C u u u t u --++-=∞-+∞=τ)0(≥t

)e 1812()e 90(16.0d d 8)(55t t C C

u t

u C

t u --+-+-?=+?Ω= 所以 ]e 6.312[)(5t t u -+-= V )0(>t

答案10.8

解：当0

20123)0()2015161(1-=++-u ， 解得 V 76.5)0(1=-u 由换路定律得

=+)0(L i A 04.2A )6/76.53(6)

0(A 3)0(A 3)0(11=-=Ω

-

=-=---u i i L 换路后的电路如图(b)所示。

(b)

列写节点方程得：20

12

)0()0()20151(1-=+++L i u

解得

V 76.5)0(1=+u ，A 888.020)

0(V 12)0(1=Ω

+=

++u i

稳态时，电感处于短路，所以 A 6.020V

12)(=Ω

=

∞i 等效电阻

Ω=+?=420

5205i R 时间常数

s 5.0/i ==R L τ

由三要素公式得：)e 288.06.0(e )]()0([)()(2/t t i i i t i --++=∞-+∞=τ A 答案10.9

解：当0

?????=?-+++-=?--++----0

883

)0()834121()0(2

10

821)0(21)0()31

2121(2121n n n n u u u u 解得V 8.4)0(1=-n u ，由换路定律得：V 8.4)0()0()0(1===--+n C C u u u

∞→t 电容又处于开路，再列写节点电压方程如下：

?????=∞++∞?-=?-∞?-∞++0

)()41

21()(210821)(21)()31

2121(2121

n n n n u u u u 解得： V 4)()(1=∞=∞n C u u 求等效电阻的电路如图(b)所示。

(b)

Ω=+=1)]42//(3//[2i R 时间常数s 1i ==C R τ

由三要素公式得：)e 8.04(e )]()0([)()(/t t C C C C u u u t u --++=∞-+∞=τ V 答案10.10

解：由换路定律得：A 52V

10)0()0(=Ω

==-+L L i i 求稳态值的电路如图(b)所示。

10(b)

A 6

5

)2//342(V 10233)(233)(=Ω++?+=∞?+=∞i i L

求等效电阻的电路如图(c)所示。

等效电阻

Ω=Ω++++=4]423)

42(32[i R 时间常数 s 5.04/2/i ===R L τ 由三要素公式得：

A )e 51(6

5

e

)]()0([)()(2/t t L L L L i i i t i --++=∞-+∞=τ

答案10.11

解：当0

3V V 96

33

)0()0()0(1-=?+-=-==--+u u u C C

∞→t 电容又处于开路

V 3V 96

33

V 95.133)()()(12=?+-?+=∞-∞=∞u u u C

求等效电阻的电路如图(b)所示。

(b)

等效电阻 Ω=Ω+?++?=k 3k )5

.135

.133636(

i R 时间常数

s 106F 102103363--?=??Ω?=τ 由三要素公式得

V )e 63(e )]()0([)()(6

10/3

t t C C C C u u u t u --+-=∞-+∞=τ (1)

设1t t =时，0=C u 。由式(1)得：0e

6313

6

10=--t ， 解得：

s 1016.42ln 106331--?=?=t

答案10.12

解：初始值 4mA mA 51

44

)0()0(=?+==-+L L i i 稳态值

mA 5.254

44

)(=?+=

∞L i 等效电阻 Ω=++=k 8314i R 时间常数 s 1010

88.04

3i -=?==

R L τ 由三要素公式得：mA ]5.15.2[)(4

10t L e t i -+= 0(≥t ) 由KVL 得：V )e 1(5.7)(k 3d d )(4103t L L

L t i t

i L

u u t u --=?Ω+=+=)0(>t 答案10.13

解：当0

20)0()51010()0(5)0()0(10=++=++----i i ri i 解得

A 8.0)0(=-i 由换路定律得 V 4)0(5)0()0(=?Ω==--+i u u C C

当∞→t 时，5r =Ω，电容又处于开路，再对回路l 列KVL 方程得：

20)()5510()(5)()(10=∞++=∞+∞+∞i i ri i

解得

A 1)(=∞i V 5)(5)(=∞?Ω=∞i u C

当ab 端短路时 ，电路如图(b)所示。

201

i i SC =

0=i ，0ri =，A 210V

201SC =Ω

==i i 等效电阻 Ω==∞=5.2A

2V

5)(SC i i u R C

时间常数

i

1RC s τ== 由三要素公式得

V )e 5(e )]()0([)()(/t t C C C C u u u t u --+-=∞-+∞=τ)0(≥t

答案10.14

解：由题接电容时的零状态响应，可得+=0t 和∞→t 时的计算电路，分别如图(b)和(c)所示。

u

(c)

(b)

S

u -

+

u -

+

由于电感对直流稳态相当于短路，零状态电感在换路瞬间相当于开路，故接电感在+=0t 和∞→t 时的计算电路分别与接电容时∞→t 和+=0t 时的情况相同。所以接L 时，初始值(0)10V

u +=， 稳态值()5V u ∞=。

由接电容时的响应得时间常数 C i

0.5RC τ==，所以 Ω==50i C

R C

τ

接电感后，i R 不变，故时间常数 s 1.0i

==

R L

L τ 将上述初始值、稳态值和时间常数代入三要素公式得

10()[55]()V t u t e t ε-=+

答案10.15

解： 由于S i 为指数函数，故须列写关于i 的微分方程来计算i 的强制分量。

由换路定律得：A 3)0()0(==-+L L i i

A 235)0()0()0(S =-=-=+++L i i i (1) 根据KVL 023d d =--i i t

i L

L

将i i i L -=S 代入上式化简得

t t

i L i t i

L

10S e 25d d 5d d --==+ t i t

i

10e 5010d d --=+ (2) 由式(1)中得时间常数s 1.010/1==τ等于电流源衰减系数的倒数，故

设强制分量为 t t A t i 101p e )(-=，代入式(2)解得501-=A 。

设齐次分量为t A t i 102h e )(-=，则电流i 的完全解答为：

t t A t t i t i t i 10210h p e e 50)()()(--+-=+= (3)

由初始条件确定待求系数2A 。由式(3)及式(1)得2)0(2==+A i ，即22=A 。

因此 ]e 50e 2[)(1010t t t t i ---= A 强制分量为t t 10e 50--，自由分量为t 10e 2-。

答案10.16

解：由于S u 是多项式形式，故须列写关于C u 的微分方程来计算C u 的强制分量。 换路前，电容处于开路， Ω12和Ω4电阻串联。由换路定律

和分压公式得：V 8V 324124

)0()0(=?+=

=-+C C u u (1) 换路后，根据KVL 得：S C C

u u t u C

=+?d d 10 t u t

u C C 10010d d =+ (2) 强制分量与激励源有相同的函数形式，故 设强制分量为：21p )(A t A t u C += 代入式(2)得 t A t A A 1001010211=++ 比较系数得

101=A ，12-=A

设齐次方程的解为：t C A t u 103h e )(-=

则电压C u 的完全解答为：t C C C A t t u t u t u 103h p e )110()()()(-+-=+= (3)

由初始条件确定待求系数3A 。由式(3)及(1)得

V 81|)(30=-=+=A t u t C ， 即 V 93=A 所以 t C t t u 10e 9110)(-+-= V

强制分量为110-t ，自由分量为t 10e 9-。 答案10.17

解：当0

016)6

1

31(34)0()31612131(=?+--+++-C u 解得

V 7)0(=-C u

由换路定律得： V 7)0()0(==-+C C u u ，A 3)0()0(==-+L L i i

换路后构成两个一阶电路，如图 (b) 和(c)所示。

(c)

(b)

V

4

在图(b) 电路中，稳态时电容开路，所以

V 8436

34

16)(=+?+-=∞C u

等效电阻

Ω=+?=26363i R 时间常数

s 212=?=C τ

由三要素公式得

V )e 8()(5.0t C t u --=

在图(c)电路中，稳态时电感短路，所以 A 2.33

216

)(=+=∞L i 时间常数

s 4.03

22

=+=

L τ， 由三要素公式得：

A )e

2.02.3()(5.2t

L t i --=

开关电压 V )e 4.0e 6.1(2)(5.25.0t t L C i u t u --+-=?Ω-=)0(>t 答案10.18

解：初始值：0)0()0(==-+i i 稳态值 A 6.18

1232

)(=+=

∞i 串联等效电感 H 4.01.024.02.0221=?-+=-+=M L L L 等效电阻 Ω=+= 20812R

时间常数 s 50

1

204.0==

=R L τ 由三要素公式得：

0A )e 1(6.1)(50≥-=-t t i t

)0( V e 24e 506.13.0d d )

()(50502>=??=-=--t t

i

M L t u t t 答案10.19

解：先求cd 端左侧的戴维南等效电路。当cd 端开路时，

03=+i i ,V 10 0 O C ==?U i

当cd 端短路时 A 104

10

43SC =?

=+=i i I 等效电阻 Ω==

1SC

OC

i I U R 换路后的等效电路如图(b)所示。

)

b (

两电容串联，等效电容 F 12

12

1=+?=C C C C C

时间常数 s 1i ==C R τ 由换路定律得：

V 10)0()0(O C 11===-+U u u ， V 2)0()0(22==-+u u

由于两电容均有初值，稳态时，电容电压不是按与电容成反比分配电压，需按基尔霍夫电压定律及闭合面内电荷守恒求电容电压。由图(b)得：

??

?-=+-=∞+∞-=∞=∞-+V 16)0(2)0(2)(2)(2V

10)()(212121u u u u u u 解得：

9V )(1=∞u ，V 1)(2=∞u

由三要素公式得 )0( V )e 1()(2≥+=-t t u t 答案10.20

解：当s 10<

s 1111=?=τ，

初始值 V 2)0()0(==-+C C u u

若开关S 2没有接通，达到稳态时 V 1)(=∞C u 。 由三要素公式得

V )e 1(e )]()0([)()(1

/t t C C C C u u u t u --++=∞-+∞=τ s 10≤

当s 1>t 时，电路时间常数发生变化， s 5.011

11

12=?+?=

=RC τ 由式(1)得1s 时的电压值 V )e 1()s 1(1-+=C u 稳态值

V 5.0)(=∞C u

由三要素公式得

s) 1 ( V ]e )e 5.0(5.0[e )]()1([)()()1(21/)1(2

≥++=∞-+∞=-----t u u u t u t t C C C C τ

答案10.21

解： V 6)0(1=-u ，V 10)0(2=-u

t =0时开关接通，两电压原始值不等的电容相并联，电容电压将发生

跃变。利用两正极板电荷之和在开关动作前后瞬间相等来计算)0(2+u ：

??

?=+=+++

--++)0()0()

0(3.0)0(2.0)0(3.0)0(2.0212121u u u u u u 解得

V 4.8)0()0(21==++u u

稳态值

V 6V 126

66

)(2=?+=

∞u 时间常数 s 5.1)3.02.0()2/6(=+?==RC τ 由三要素公式得：

V )e 4.26(e )]()0([)()(5.1//2222t t u u u t u --++=∞-+∞=τ )0(>t

答案10.22

解：V 4126

33

)0(1=?+=

-u 开关接通后，根据基尔霍夫电压定律，两电容电压相加等于电源电

压12V ，电容电压发生跃变。根据闭合面S '内电荷在开关动作前后瞬间相等来求初始值：

??

?=+-=+-++-++V

12)0()0()

0(8.0)0(2.0)0(8.021121u u u u u 解得：V 6.5)0(1=+u ，V 4.6)0(2=+u

稳态时 V 4V 12633

)0(1=?+=

-u ，V 8412)(2=-=∞u 时间常数 s 2)2.08.0(6

36

3=+?+?=

=RC τ 由三要素公式得 t t u 5.01e 6.14)(-+=V , t t u 5.02e 6.18)(--=V

答案10.23

解：0>t 时，电容1C 通过电阻给电容2C 充电，∞→t 时充电结束，21u u =。

由换路定律得：

V 20)0()0(11==-+u u ，0)0()0(22==-+u u 由电荷守恒及基尔霍夫电压定律得：

??

?∞=∞?=+=∞+∞--)

()(20

3)0()0()()(2122112211u u u C u C u C u C 解得： )()(21∞=∞u u V 3

20

= 等效电容

F 22

121=+=C C C

C C

时间常数

s 20==RC τ 由三要素公式得

20

/1e 340320)(t t u -+=V , )e 1(3

20)(20/2t t u --=

V 答案10.24

解：由换路定律得： 0)0()0(==-+L L i i 初始值： mA 30)0()0()0(S =-=+++L i i i

稳态值： mA 1230181212

)(=?+=

∞i

时间常数：s 15

1

12182=+=

τ 由三要素公式得 ]e 1812[e )]()0([)()(15/t t i i i t i --++=∞-+∞=τmA 答案10.25

解：在0>t 时的某一瞬间，电容电压是确定的，因此可将电容用电压源C u 置换，如图(b)所示。

(b)

(c)

+-

C

u C u

图(b)电路为电阻电路，列写回路电流方程如下：

?

?

?-=-++?-=+?-+C u i i i u i i i 11S

112)11(121)11( 解得 S 11/1 (1)0.50.5()V 0.5 (2)C C i u u u i t i ε=Ω??=-Ω?=-Ω??

由式(2)得电容左端的戴维南等效电路如图(c)所示。

时间常数 s 4.08.05.0=?==RC τ 初始值 0)0()0(==-+C C u u 稳态值

V 1)(O C ==∞u u C 。

由三要素公式得电容电压 V )e 1()(5.2t C t u --=

独立电压源的输出功率 )()e 1(2)(2)(25.2t u t i t p t C εεε--=?=?=W 答案10.26

解： 将电压源S u 分解成V )1(15V )(9)(S S

S --=''+'=t t u u t u εε 等效电阻 Ω=+?=

1030

1530

15R

时间常数 s 1==RC τ

电容电压的单位阶跃特性为： V )()e 1(3

1

)(t t s t ε--=

当V )(9S

t u ε='单独作用时，电容电压为 V )()e 1(3)(9)(t t s t u t C

ε--=?=' 当V )1(15S

--=''t u ε单独作用时，电容电压为 V )1(]e 1[5)1(15)()

1(---=-?-=''-t t s t u t C

ε

由叠加定理求得电容电压为

)1(]e 1[5)()e 1(3)()1(----=''+'=--t t u u t u t t C C

C εε 故所求电压为

V )1(]e 1[5)()e 1(3)1(15)(9)()()()1(S --+----=-=---t t t t t u t u t u t t C εεεε 答案10.27

解：时间常数 s 2.010

2

===

R L τ 当S u 单独作用时，稳态值A 1.010V

1)(=Ω

=∞'L

i ，电路为零状态响应，故 A )()e 1(1.0)(5t t i t L

ε--=' 当S i 单独作用时，稳态值A 1)(-=-=∞''S L

i i ，故 A )1()e 1()()1(5---=''--t t i t L

ε 由叠加定理得：

A )]1()e 1()()e 1(1.0[)()()()1(55----=''+'=---t t t i t i t i t t L L

L εε 波形图如图(b)所示。

--

答案10.28

解：达到稳定后开始计时，在T t ≤≤0内，电容从最小值min C u 开始充电，在T t =时刻达到最大值。初始值min )0(C C u u =+，特解S C U t u =)(p ，

S C U u =+)0(p ，时间常数RC =τ。

由三要素公式得：

T t U u U t u t S C S C ≤≤-+=-0 e )()(/min τ (１)

在T t T 2≤≤内，电容由最大值max C u 开始放电，在T t 2=时达到最小值。波形如图(c)所示。

此时间电路为零输入响应，电容电压为：

T t T u t u T t C C 2 e )(/)(max ≤≤=--τ (２) 由式(１)得：

e )()(max /min C T S C S C u U u U T u =-+=-τ (３)

由式(２)得： e )2(min /max C T C C u u T u ==-τ (４) 通过联立求解式(３)和(４)便可证得

τ

ττ//min /max

e 1e ,e 1T T S C T S C U u U u ---+=+= 答案10.29

解：(1)当A )(t i S ε=时，先求ab 两端的戴维南等效电路。ab 端开路时，根据图(a)电路，由KCL 得：

V )(5.0 )(5.12

t u t i u u

S εε=?==+ 开路电压 V )(125.12t u u u u OC ε-=?-=?-= 求等效电阻的电路如图(b)所示。

+

-

Ω21

i C u (t ε-(b)

(c)

u u

i u 22

)22()22(1=?+=+=

u u u u i i 25.12

1

5.11=+=+=

等效电阻

Ω==

11

1

i i u R 戴维南等效电路如图 (c)所示。时间常数s 1.0==C R i τ。 根据三要素公式得C u 的单位阶跃特性为：Ω--=- )()e 1(1)(10t t s t ε

(2)单位冲激特性为：/s )(e 10d )

(d )(10Ω-==-t t

t s t h t ε 答案10.30

解：当+=0t 时，电容电压为零，相当于短路。对节点①列写KCL 方程得：

01

1

70)0(30)0(=++++u u 解得：V 21)0(-=+u 因此

A 73

)

0()0(o -==

++u i 当∞→t 时，电容开路。再对节点①列写KCL 方程得：01

1

30)(=+∞u 解得 V 30)(-=∞u

稳态值 A 103

)

()(o -=∞=

∞u i 求等效电阻的电路如图 (b)所示。

去掉独立源后，由理想运放的特性得：

01=n u ，01/12=Ω=n u i ，02=+=-i i i

等效电阻 Ω=Ω+= 100

)7030(R 时间常数

s 10==RC τ 由三要素公式得：

A )()e 310(e )]()0([)()(1.0/o o o o t i i i t i t t t ε--++-=∞-+∞=

答案10.31

解：先求电压u 的单位阶跃特性)(t s 。当A )(S t i ε=时，由换路定律得：

0)0()0(==-+L L i i 所以初始值 V 30A )(30)0(=?Ω=+t u ε

稳态值

V 201603060

30)(=?+?=

∞u ，

时间常数

s 90

160301=+==R L τ 由三要素公式得电压u 的单位阶跃特性为：

Ω+=- )()e 1020()(90t t s t ε

由单位冲激特性与单位阶跃特性的关系得电压u 的单位冲激特性

)(t h 为：/s

)](e 900)(30[ )

(e 900)()e 1020(d )

(d )(909090Ω-=-+==

---t t t t t

t s t h t t t εδεδ )(t h 的波形如图(b)所示。

(b)

--

答案10.32

解：电压源为单位冲激函数，不能直接求其响应，而应先求单位阶跃响应，再对其求导得到单位冲激响应。为此先求ab 端左侧的戴维南等效电路。当ab 端开路时，0 3=?= i i i

开路电压 S OC u u =

当ab 端短路时，短路电流Ω

?

-=-=-=8223S

SC u i i i i 等效电阻

Ω-==

4SC

OC

i i u R 图(a)的等效电路如图(b)所示。时间常数

C u

u

(b)

s 02.002.0)43(-=?-=τ

由三要素公式得C u 的单位阶跃特性为： )()e 1()(50t t s t ε-=

C u 的单位冲激响应为： V )(e 50d )

(d )(Wb 1)(50t t

t s t h t u t C ε-==?= 其波形如图 (c) 所示。

-

(c)

答案10.33

解：根据图(a)电路可得C u 的单位阶跃特性为： )()e 1()(t t s t ε--=

C u 的单位冲激特性为：

)(e d )

(d )(t t

t s t h t ε-==

图(b)中 A )1(525.0S t e i --=，根据卷积积分公式得

?-=t S C t h i t u 0

d )()()(ξξξ?-?-=---t

t t 0

)(25.0d )(e )e 1(5ξξεξξ

V e 67.1e 67.6525.0t t --+-=

图(c)中S i 为分段连续函数 ???>≤=-- s 1 e 5s 1

5)1(25.0S t t i t

当s 10≤

?-=t S C t h i t u 0

d )()()(ξξξ?-=--t

t t 0

)(d )(e 5ξξεξ V )e 1(5t --=

当s 1>t 时，

??-+-=t

S S C t h i t h i t u 1

10

d )()(d )()()(ξξξξξξ

ξξεξξεξξξ??-+-=------1

1)()1(25.0)

(d )(e e 5d )(e

5t

t t t t

{}V ]e e [667.6e )1e (5)1()1(25.0------+-=t t t

答案10.34

解：(1)0>t 时，由KCL 得0=++C L R i i i (1) 将R u i C R =

，t u C i C C d d =，t

i L u u L L C d d == 代入式(1)并整理成关于L i 的二阶微分方程：

01

d d 1d d 2

2=++L L L i LC

t i RC t i (2) 该文分方程的特征方程为：0112=++

LC

p RC p 判别式 214(

)RC LC

?=- 当0>?

即R <

， 当0

即R > (2)将给定R 、L 、C 数值代入微分方程(2)得

010d d 200d d 4

2

2=?++L L L i t

i t i 由换路定律得 0)0()0(==-+L L i i

V 20)0()0()0(|d d 0====-++=+

C C L t L

u u u t i L

， 即 200|0=+

=t L dt di

特征方程的判别式 22004100000?=-?= 特征根 1002

200

2,1-=-=

p 存在二重根，令齐次方程通解为t L t A A t i 10021e )()(-+= (3) 根据初始条件，在式(3)中令+=0t 得：0)0(1==+A i

200]100100[e d )

(d 02121000

=--=+

+

=-=t t t L t A A A t t i ， 解得2002=A 。

所以

A e 200)(100t L t t i -=。

答案10.35

解：根据KVL 有

S u u u u C L R =++ (1)

将Ri u R =，t

i

L

u L d d =，t u C i C d d =

代入式(1)并整理成关于C u 的二阶微分方程：

S 2

2d d d d u u t u RC t u LC C C C =++ (2)

将R 、L 、C 数值代入式(2)得

S 2

2d d 12.0d d 002

.0u u t

u

t u C C C =++

(3)

初始条件为

0)0()0(==-+C C u u ，

0)0(1

|d d 0==+=+

i C

t u t C (4) 式(3)的特征方程为 0112.0002.02=++p p 解得 101-=p ， 502-=p

特征方程存在两个不相等的实根，当激励源为阶跃电压时，响应C u 的一般形式为：t t C A A A u 5021013e e --++=

稳态时1==S C u u (对单位阶跃电压源) 即31A =。

由初始条件(3)得 ??

?

??=--==++=+

=+05010d d 0

1)0(21021A A t u A A u t C C

解得 1 1.25A =- 20.25A = 所以单位阶跃特性

)()e 25.0e 25.11(V

1)()(5010t t u t s t t C ε--+-==

单位冲激特性 s /)()e 5.12e 5.12(d )

(d )(5010t t

t s t h t t ε---== 答案10.36

解： 2

S

)0()0(R U i i =

=-+， (0)(0)0C C u u +-== 根据KVL ，列写方程如下：

S 1d d U u u t

u C R C C

==+ (1) 0d d S 2=-=+u U i R t i

L

(2) 由式(1)解得

)e 1()(1/S C R t C U t u --= (3)

C

R t C R U t u C

i 1/1

S e

d d -== (4) 由式(2)又解得 t

L R

R U t i 2e

)(2S -= (5) 由式(4)和式(5)相等解得

12R R ==答案10.37

解： 由KVL 得：V 20=+=+C L

C L u dt di L

u u (1) 由KCL 得：0d d 7178=+

+-=++-t

u u i i i i C

C L C R L (2) 方程(2)对t 求导，再将方程(１)代入，经整理得：

1407d d 8d d 22=++C C

C u t

u t u (3)

因为 A 7

160

8/7V 20)0()0(=Ω=

=-+L L i i 所以C u 及其导数的初始条件为

??

?

??=-===++=-++80]8/7)0()0([1d d V 10)0()0(0C L t C

C C u i C t u u u (4) 微分方程(3)的特征方程为：0782=++p p 解得11-=p ，72-=p

稳态时，V 20)(=∞C u ，所以特解 20)(=t u C h 设其完全解答为：t t C A A t u 721e e 20)(--++= (5)

由初始条件(4)得

?????=--==++=+=+807|d d 10

20)0(21021A A t

u A A u t C C

解得

67.11=A ，67.112-=A

所以将1A 、2A 代入(5)得： ]e 67.11e 67.120[)(7t t C t u ---+=V 答案10.38

解：对含电容的节点①列KCL 方程：)(d d S 1

S i i R u u t u C

L C

C ---= 对含电感的回路l 列KVL 方程：)(d d S 2i i R u t

i

L L C L --=

整理得

???????????

?

??????+??????????????????---=?

??

???S S 212

101

11

1

1i u L R C C R i u L R L C C R i u L C L C

答案10.39

解：(1)对节点①列KCL 方程： 1S d d 2.0i i t

u C

-= (1) 对回路l 列KVL 方程： L C L

i i u t

i 26d d 4

.01--= (2) 为消去非状态变量1i ，将C u 及L i 分别用电压源和电流源置换，如图(b)所示。列回路电流方程得：

C L u i i =-+4)46(1，解得：L C i u i 4.01.01+= (3) 将式(3)代入式(1)和(2)化简得电路的状态方程：

???-=+--=(5)

11(4) )(525.0L C L L C C i u i t i u u

ε (2) 对状态方程(5)两端同时求导得：t

i

t u t i L C L d d 11d d d d 22-=

(6) 式(4)、(5)联立解得：)(52)11(5.0t i i i u

L L L C ε+-+-= (7) 代入式(6)化简得L i 所满足的微分方程：)(55.7d d 5.11d d 22t i t

i

t i L L L ε=++

由式(5)有：

0)0(11)0(d d 0=-=++=+

L C t L

i u t

i

所以初始条件为： 0)0()0(==-+L L i i ，

0d d 0=+

=t L t

i