初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题(含解析)之令狐文艳创作
初一数学有理数难题与提高练习和培优综
合题压轴题(含解析)
令狐文艳
一．选择题（共12小题）
1．1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一．则利用科学记数法来表示，头发丝的半径是（）
A．6万纳米B．6×104纳米C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米
2．足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队2：1，蓝队胜红队1：0，则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是（）
A．红队2，黄队﹣2，蓝队0 B．红队2，黄队﹣1，蓝队1
C．红队3，黄队﹣3，蓝队1 D．红队3，黄队﹣2，蓝队0
3．要使为整数，a只需为（）
A．奇数B．偶数C．5的倍数D．个位是5的数4．体育课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为18秒，下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标，这个小组的达标率是（）
﹣1+0.80﹣
1.2﹣
0.1
0+0.5﹣
0.6
A．25% B．37.5% C．50% D．75%
5．有一列数a1，a2，a3，a4，…，a n，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2008值为（）
A．2 B．﹣1 C ．D．2008
6．有理数a，b，c都不为零，且a+b+c=0，则++=（）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．0
7．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
16进
制
0123456789A B C D E F
10进
制
0123456789101112131415例如，用十六进制表示5+A=F，3+F=12，E+D=1B，那么A+C=（）
A．16 B．1C C．1A D．22
8．若ab＞0，且a+b＜0，那么（）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b ＞0
9．如图，在日历中任意圈出一个3×3的正方形，则里面
九个数不满足的关系式是（）
A．a1+a2+a3+a7+a8+a9=2（a4+a5+a6）
B．a1+a4+a7+a3+a6+a9=2（a2+a5+a8）
C．a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5
D．（a3+a6+a9）﹣（a1+a4+a7）=（a2+a5+a8）
10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文?密文（加密），接收方由密文?明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c
字母 a b c d e f g h i j k l m
序号0 1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12
字母 n o p q r s t u v w x y z
序号13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 24 25
按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（）A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc
11．设y=|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）
A．y没有最小值B．只有一个x使y取最小值
C．有限个x（不止一个）y取最小值D．有无穷多个x 使y取最小值
12．若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…且公式
，则C125+C126=（）
A．C135B．C136C．C1311D．C127
二．填空题（共10小题）
13．2.40万精确到位，有效数字有个．
14．如图M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1，数a对应的点在M 与N之间，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|=2，则原点是（填入M、N、P、R中的一个或几个）．
15．为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=，即1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．
16．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1011）2换算成十进制数应为：
；
按此方式，将二进制（1101）2换算成十进制数的结果是．17．请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：
1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣，…
你规定的新运算a⊕b=（用a，b的一个代数式表示）．18．我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2．若x、y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值．
19．符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）G（1）=1，G（2）=3，G（3）=5，G（4）=7，…（2）G（）=2，G（）=4，G（）=6，G（）=8，…
利用以上规律计算：G（2010）﹣G（）﹣2010=．20．a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列4个式子：①a﹣b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0中一定成立的是．（只填序号，答案格式如：“①②③④”）．
21．若|x|=2，|y|=3，且＜0，则x+y=．
22．王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用色彩纸片覆盖圆面积的，，…．请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n为整数时，+++…+=．
三．解答题（共18小题）
23．计算：++++…+．
24．请你仔细阅读下列材料：计算：
（﹣）÷（﹣+﹣）
解法1：按常规方法计算
原式=（﹣）÷[+﹣（+）]=（﹣）÷（﹣）=（﹣）×3=﹣
解法2：简便计算，先求其倒数
原式的倒数为：（﹣+﹣）÷（﹣）=（﹣+﹣）×（﹣30）=﹣20+3﹣5+12=﹣10
故（﹣）÷（﹣+﹣）=﹣
再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：（﹣）÷（﹣+﹣）．
25．已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y=xy+1．
（1）求2※4的值；
（2）求（1※4）※（﹣2）的值；
（3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○中，并比较它们的运算结果：□※○和○※□；
（4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来．
26．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|=2，求
+m2﹣3cd的值．
27．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c0，
a+b0，c﹣a0．
（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．
28．（1）阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．
当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；
当A，B两点都不在原点时，
①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；
③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；
综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果
|AB|=2，那么x为；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．
④当x= 时，|x+1|+|x﹣2|=5．
29．
请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：
（1）999×（﹣15）
（2）999×118+999×（﹣）﹣999×18．
30．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是，
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为．（3）如果|x﹣2|=5，则x=．
（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
31．阅读材料：求值1+2+22+23+24+…+22014
解：设S=1+2+22+23+24+…+22014①，将等式两边同时乘以2得
2S=2+22+23+24+…+22014+22015②
将②﹣①得：S=22015﹣1，即S=1+2+22+23+24+…+22014=22015﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）
32．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”
他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3．
请你根据他们的解题解决下面的问题：
（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是．
（2）已知y=|2x+8|﹣4|x+2|，求相应的x的取值范围及y 的最大值．写出解答过程．
33．（1）阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距
离表示为|AB|．
当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；
当A，B两点都不在原点时，
①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；
③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；
综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x为；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．
④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．
34．计算：（×）×（×）×（×）×…×（×）×（×）．
35．小明早晨跑步，他从自家向东跑了2千米到达小彬家，继续向东跑了 1.5千米到达小红家，然后向西跑了4.5千米到达中心广场，最后回到家．
（1）以小明家为原点，以向东的方向为正方向，用 1 个单位长度表示1千米，你能在数轴上表示出中心广场，小彬家和小红家的位置吗？
（2）小彬家距中心广场多远？
（3）小明一共跑了多少千米？
36．已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|=0，请回答问题
（1）请直接写出a、b、c的值．a=，b=，c=
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为易动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0≤x ≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）
（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
37．阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：
2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014，将下式减去上式得：
2S﹣S=22014﹣1，即S=22014﹣1，即1+2+22+23+24+…22013=﹣1请你仿照此法计算1+3+32+33+34…+32014的值．
38．计算：（1）；
（2）﹣24+3﹣16﹣5；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）（﹣47.65）×2+（﹣37.15）×（﹣2）+10.5×（﹣7）．
39．1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=，其中n是正整数．
现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…n （n+1）=？
观察下面三个特殊的等式
1×2=（1×2×3﹣0×1×2）
2×3=（2×3×4﹣1×2×3）
3×4=（3×4×5﹣2×3×4）
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=3×4×5=20
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）直接写出下列各式的计算结果：
①1×2+2×3+3×4+…10×11=
②1×2+2×3+3×4+…n（n+1）=
（2）探究并计算：
1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=
（3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果：
1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12=．
40．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A、B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．
（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长
度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离是；（2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B 两点间的距离为；
（3）如果点A表示数﹣4，将A点向右移动16个单位长度，再向左移动25个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离是；
（4）一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n 个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么请你猜想终点B表示什么数？A、B两点间的距离为多少？
初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题(含
解析)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2016春?碑林区校级期末）1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一．则利用科学记数法来表示，头发丝的半径是（）
A．6万纳米B．6×104纳米C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米
【分析】首先根据题意求出头发丝的半径是（60 000÷2）纳米，然后根据1纳米=10﹣9米的关系就可以用科学记数法表示头发丝的半径．
【解答】解：头发丝的半径是60 000÷2×10﹣9=3×10﹣5
米．
故选D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2014秋?赛罕区校级期末）足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队2：1，蓝队胜红队1：0，则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是（）
A．红队2，黄队﹣2，蓝队0 B．红队2，黄队﹣1，蓝队1
C．红队3，黄队﹣3，蓝队1 D．红队3，黄队﹣2，蓝队0
【分析】每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数．依此列出算式进行计算．
【解答】解：由题意知，红队共进4球，失2球，净胜球数为：4+（﹣2）=2，
黄队共进3球，失5球，净胜球数为3+（﹣5）=﹣2，
蓝队共进2球，失2球，净胜球数为2+（﹣2）=0．
故选A．
【点评】每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数．
3．（2010春?佛山期末）要使为整数，a只需为
（）
A．奇数B．偶数C．5的倍数D．个位是5的数
【分析】如果为整数，则（a﹣5）2为4的倍数，可确定a的取值．
【解答】解：∵为整数，
∴（a﹣5）2为4的倍数，
∴a﹣5是偶数，
则a可取任意奇数．
故选A．
【点评】本题考查了奇数、偶数、乘方的有关知识．注意：奇数±奇数=偶数，任何一个偶数必定能够被2整除，偶数的平方能够被4整除．
4．（2013秋?郑州期末）体育课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为18秒，下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标，这个小组的达标率是（）
﹣1+0.80﹣
1.2﹣
0.1
0+0.5﹣
0.6
A．25% B．37.5% C．50% D．75%
【分析】根据正数是大于标准的数，非负数是达标成绩，可得达标人数，达标人数除以总人数，可的达标率．
【解答】解：﹣1＜0，0=0，﹣1.2＜0，﹣0.1＜0，0=0，
﹣0.6＜0，达标人数为6人，
达标率为6÷8=75%，
故选：D．
【点评】本题考查拉正数和负数，注意非负数是达标人数，达标人数除以总人数的达标率．
5．（2014?新华区模拟）有一列数a1，a2，a3，a4，…，a n，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2008值为（）
A．2 B．﹣1 C．D．2008
【分析】从所给出的资料中，可得到若a1=2，a2=，a3=﹣1，a4=2…则这列数的周期为3，据此解题即可．
【解答】解：根据题意可知：若a1=2，则a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2，…，这列数的周期为3，
∵2008=3×669+1
∴a2008=2．
故选：A．
【点评】考查有理数的运算方法和数学的综合能力．解此题的关键是能从所给出的资料中找到数据变化的规律，并直接利用规律求出得数，代入后面的算式求解．6．（2016春?沭阳县期末）有理数a，b，c都不为零，且a+b+c=0，则++=（）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．0
【分析】根据a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，可知a，b，c为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论，求得代数式的可能的取值即可．
【解答】解解：∵a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，∴a，b，c为两正一负或两负一正，且b+c=﹣a，a+c=﹣b，a+b=﹣c，
①当a＞b＞0＞c时：
++=++=1+1﹣1=1；
②当a＞0＞b＞c 时：++=++=1﹣1﹣1=﹣1；
综上，++的所有可能的值为±1．
故选（B）
【点评】本题主要考查了代数式求值，关键是掌握绝对值的性质等知识点，注意分情况讨论字母的符号，不要漏解．
7．（2013?天桥区一模）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
0123456789A B C D E F 16进
制
0123456789101112131415 10进
制
例如，用十六进制表示5+A=F，3+F=12，E+D=1B，那么
A+C=（）
A．16 B．1C C．1A D．22
【分析】首先把A+C利用十进制表示，然后化成16进制即可．
【解答】解：A+C=10+12=22=16+6，则用16进制表示是16．
故选A．
【点评】本题考查了有理数的运算，理解十六进制的含义是关键．
8．（2012秋?祁阳县校级期中）若ab＞0，且a+b＜0，那么（）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b ＞0
【分析】两数之积大于0，说明两数同号，两数之和小于0，说明两数都是负数．
【解答】解：∵ab＞0，
∴a，b同号；
又∵a+b＜0，
∴a，b同为负数．
故本题选C．
【点评】本题考查的知识点为：两数相乘，同号得正；同号两数相加为负数，则这两个数都为负数．
9．（2011秋?南海区期末）如图，在日历中任意圈出一个
3×3的正方形，则里面九个数不满足的关系式是（）A．a1+a2+a3+a7+a8+a9=2（a4+a5+a6）
B．a1+a4+a7+a3+a6+a9=2（a2+a5+a8）
C．a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5
D．（a3+a6+a9）﹣（a1+a4+a7）=（a2+a5+a8）
【分析】从表格中可看出a5在中间，上下相邻的数为依次大7，左右相邻的数为依次大1，所以可得到代数式．【解答】解：A、a1+a2+a3+a7+a8+a9=（a4+a5+a6）﹣21+（a4+a5+a6）+21=2（a4+a5+a6），正确，不符合题意；
B、a1+a4+a7+a3+a6+a9=a1+a3+a4+a6+a7+a9=2（a2+a5+a8），正确，不符合题意；
C、a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5，正确，不符合题意
D、（a3+a6+a9）﹣（a1+a4+a7）=6，错误，符合题意．
故选D．
【点评】本题考查有理数的加减混合运算，关键是从表格中看出各个数与a5的关系，从而得出结果．10．（2010?广州）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文?密文（加密），接收方由密文?明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c