放缩法技巧全总结

放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑

=-n

k k 121

42的值; (2)求证:

35112

<∑=n

k k

. 解析:(1)因为

121121)12)(12(2142

2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111

4212

+=+-=-∑=n n n k n

k (2)因为??? ??+--=-=-

<1211212144

4

111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+

k 奇巧积累:(1)??? ??+--=-<=12112121444412

22n n n n n (2))

1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1

11)1(1!11)!(!!11

≥--=-<

=+r r r r r r n r n r n n

C T

r r

r

n r (4)1111

(1)1132132(1)

n n n n +<++++

+

(5)

n

n n n 21121)12(21--=- (6) n n n -+<+22

1

(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n

n n n n n n 2)32(12)12(12

13211221?+-?+=???? ??+-+- (9)

?

?

? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1

(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)2

1

212121222)1212(21-++=

-++=--+

21

121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n

n n n n n n n n n n n n (12) 1

11)1(1)1(1)1)(1(1112

3

--+????? ??+--=+-<

?=n n n n n n n n n n n n 1

111211111

1+--<-++?

??? ??+--=n n n n n n n

(13) 3

212132122)12(332)13(2221

n

n n n

n

n

n

n

n <-?>-?>-?>?-=?=+

(14)

!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-

+=+++++k k k k k k (15) )2(1)

1(1≥--<+n n n n n

(15) 11

1)

11)((112

2

2

2

2

22

2<++

++=

++

+--=

-+-+j i j i j i j i j i j

i j i

例2.(1)求证:)2()

12(21

67)12(1513

1122

2≥-->-+

+++n n n

(2)求证:

n n

41

2141361161412-

<++++ (3)求证:

1122642)12(531642531423121-+

n (4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n n n

解析:(1)因为

??? ??+--=+->-12112121)12)(12(1)

12(12

n n n n n ,所以 )

1

2131(211)12131(211)

12(1

1

2

--+>+-+>-∑=n n i n

i (2))111(4

1)12

11(4

14136

116

14

12

22n

n

n

-+<+++=++++

(3)先运用分式放缩法证明出1

212642)12(531+<

????-????n n

n ,再结合

n

n n -+<+22

1进行裂项,最后就可以得到答案

(4)首先n

n n n n

++=

-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到n

n 13

12

11)11(2+

++

+

<-+

再证2

1

2121

2122

2)1212(21

-++

=

-++=

--+

而由均值不等式知道这是显然成立的，

所以)112(213

12

11-+<+

++

+

n n

例3.求证:3

5

191411)12)(1(62<++++≤++n n n n

解

析

: 一方面: 因为

??

? ??+--=-=

-

<121121

2144

4

111

222

n n n n n ,所以

353211211215

1

31211

1

2

=+

n

k

另一方面: 1

111)1(14

313

21119

14

112+=

+-=++

+?+?+>++++n n n n n n

当3≥n 时,

)

12)(1(61++>

+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,

当2=n 时,21

91411)12)(1(6n

n n n ++++<++ ,

所以综上有

3

5

191411)12)(1(62<++++≤++n n n n

例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1

()n n a f a +=.

设1(1)b a ∈，

，整数11ln a b

k a b

-≥.证明:1k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m

≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1,

若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤

0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k

m m m k k k k a a a a a a a 1

11ln ln ,

因为)ln (ln 11

b a k a a k

m m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111

例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11

-+<+<++m n m n S m n

.

解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(

∑=++++++++--=-++---+--=n

k m m m m m m m m k k n n n n n 1

11111111])1([01)2()1()1( 所以要证

1)1()1(11

-+<+<++m n m n S m n

只要证:

∑∑∑=+++++++++==++-+=-

++--+-+=-+<+<--n

k m m m m m m m m m n

k m n

k m m k k n n

n

n n k m k k

1

111

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

]

)1[(2

)

1()

1(1)

1()1(])

1([

故只要证

∑∑∑=++==++-+<+<--n

k m m n

k m n k m m k k k m k k 1

111

1

11])1[()1(])1([,

即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,

即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m k

k

m k

k

m 而正是成立的,所以原命题成立.

例6.已知n

n n a 24-=,n

n

n a a a T +++=

212,求证:23321<++++n T T T T .

解析:)21(2)14(3

42

1)21(24

1)41(4)222(444421321n n n

n n n n

T -+-=-----=+++-++++=

所以

123)2(222322342323

23422234342)21(2)14(3422111111+?-??

=+?-?=-+=-+-=-+-=++++++n n n

n n n n n n n n n n n n

n T

??

? ??---=--??=

+12112123)12)(122(2231n n n

n n 从而2

3

1211217131311231321

+++++n n

n T T T T 例

7.

已

知

1

1=x ,

??

?∈=-∈-==)

,2(1)

,12(Z k k n n Z k k n n x n ,求

证:

*))(11(21

1

14

1

224

5

44

3

2N n n x x x x x x n n ∈-+>+

+?+

?+

证明: n

n

n

n n n x x n n 222141

1

41

)

12)(12(1

1

4

2

4

2

4

4

1

22=

?=

>

-=

+-=

+,

因为 12

++

)

1(21

2

221

4

1

22n n n n n

x x n n -+=

++

>

>

+

所以

*))(11(21

1

14

1

224

5

44

3

2N n n x x x x x x n n ∈-+>+

+?+

?+

二、函数放缩

例8.求证：)(6

6

5333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++ .

解析:先构造函数有x x x x x 11ln 1ln -≤?-≤,从而)3

13121(1333ln 44ln 33ln 22ln n

n n n

+++--<++++

??? ??++++++??? ??++++++??? ??+=+++n n n n 311212

1

9181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =???

? ??+?++??? ??++??? ??++>--- 所以6

6536

5133

3ln 4

4ln 3

3ln 2

2ln +-=--<++++n n n n n

n

例9.求证:(1))2()1(21

2ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n

n ααααααα

解析:构造函数x x x f ln )(=,得到2

2ln ln n n n n ≤αα,再进行裂项)1(1

111ln 2

2

2

+-

<-

≤n n n n n

,求和后可以得到答案

例10.

另一方面?->n i

n ABDE

x S 1

,从而有)ln(ln |ln 11i n n x x

i i n n i n n

i n --==>?---? 取1=i 有,

)1ln(ln 1

1

-->-n n n , 所以有n

n 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++

例11.求证:e n <+??++)!11()!311)(!211( 和e n <+??++)3

1

1()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明

例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++???+??+n e n n 解析:1

)1(3

2]1)1(ln[++-

>++n n n n ,叠加之后就可以得

到答案

例13.证明:

)1*,(4

)

1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数

)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:

1

2111)('--=--=

x x

x x f ,令0)('>x f 有21<x , 所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n

所以

2

11ln -≤

+n n n ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 例14. 已知11211

1,(1).2

n n n a a a n n +==+++证明2n a e <

解析: n n n

n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+,

然后两边取自然对数,可以得到n n n a n n a ln )2

1

)1(11ln(ln 1++++

<+

然后运用x x <+

)1ln(和裂项可以得到答案)

放缩思路：?+++

≤+n n

n a n n a )2

111(21?++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21 n

n n n a 2

1

1ln 2+++≤。于是n

n n n n a a 21

1ln ln 21++≤

-+，

.

221122

11)21(111ln ln )2

11()ln (ln 1

121

1

11

1<--=--+-≤-?++≤---=+-=∑

∑

n n n i n i i i n i n n a a i i a a 即.

2ln ln

21e a a a n

n

注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，

本题还可用结论)2)(1(2

≥->n n n n

来放缩：

?-+-+

≤+)1(1

))1(11(1n n a n n a n n ?+-+≤++)1)()

1(11(11n n a n n a .)

1(1

))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+

≤+-++n n n n a a n n

11

1)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21

2

11

2

<-<+-+?-<+-+?∑

∑-=+-=n

a a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <-

例

16.(2008

年

福

州

市

质

检

)

已

知

函

数

.ln )(x x x f =若

).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明

解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =+->

()ln ,()ln ()ln(),

0.

()ln 1ln()1ln

,2()0,10.2

f x x x

g x x x k x k x x

x k g x x k x k x

x x k k

g x x k k x k x =∴=+--'∴<<=+---=--'>>?>?<<--令则有

∴函数k k x g ,2[)(在）上单调递增，在]2

,0(k 上单调递减.∴)(x g 的最小值为)2(k g ，即总有).2()(k

g x g ≥

而,2ln )()2ln (ln 2

ln )2()2()2(k k f k k k

k k k f k f k g -=-==-+=

,2ln )()(k k f x g -≥∴

即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+

令,,b x k a x

=-=则.b a k +=

.2ln )()()()(b a b a f b f a f +-+≥+∴ ).()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++∴

例15.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >?在0>x 上恒成

立.

(I)求证：函数),0()()(+∞=在x x f x g 上是增函数；

(II)当)()()(:,0,0212121

x x f x f x f x x +<+>>证明时；

(III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立，

求证：).()2)(1(2)1ln()

1(14ln 413ln 312ln 21*22

222222N n n n n n n ∈++>++++++ 解析:(I)0)()(')('2>-=x x f x x f x g ,所以函数),0()()(+∞=在x x f x g 上是增函数 (II)因为),0()()(+∞=在x

x f x g 上是增函数,所以