2020-2021学年安徽省六安市舒城中学高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版
安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期期末考试
数学（理科）试卷
（满分：150分 考试时间：120分钟）
一、单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1.设a 是实数，且
1i
1i 2
a ++
+是实数，则a =（ ） A ．
12
B ．1
C ．3
2
D ．2
2.若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的
( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．已知0a >且1a ≠，如图所示的程序框图的输出值[)4,y ∈+∞，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(]
1,2 B ．1,12?? ???
C ．()1,2
D ．[)2,+∞
4．设m 、n 是两条不同的直线，α是平面，m 、n 不在α内，下列结论中错误的是（ ） A ．m α⊥，//n α，则m n ⊥ B ．m α⊥，n α⊥，则//m n C ．m α⊥，m n ⊥，则//n α
D ．m n ⊥，//n α，则m α⊥
5.利用数学归纳法证明1
n ＋
1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)
<1(n ∈N*，且n≥2)时，第二步由k 到k ＋1时不等式左端的变化是( )．
A ．增加了12k ＋1这一项
B ．增加了12k ＋1和1
2k ＋2
两项
C ．增加了12k ＋1和12k ＋2两项，同时减少了1
k 这一项 D ．以上都不对
6.在四面体O －ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则
OE ＝
( )
A.12a －14b ＋1
4c B ．a －12b ＋1
2c
C.12a ＋14b ＋1
4
c
D.14a ＋12b ＋14
c 7．已知命题“x R ?∈，2410ax x +-<”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞- B ．(),4-∞
C ．[)4,-+∞
D ．[
)4,+∞
8．若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为3，则22
4b a
+的最小值为（ ）
A B ．1 C D ．2
9．过点()
引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当OA OB ⊥值时，直线l 的斜率等于（ ）.
A B ．-
C ．D
10．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为
( )
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1,PD PE 与底面ABCD 所成的角分别为1212,(,θθθθ均不为0).若12θθ=，则动点P 的轨迹为（ ）
A ．直线的一部分
B ．圆的一部分
C ．椭圆的一部分
D ．抛物线的一部分
12．已知椭圆22
2
21(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若
AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα??
∈??
??
，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）
A ．2312?
???
B ．22?
???? C ．232?? D ．36??
二、填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某产品的广告投入x （万元）与销售额y （万元）具有较强的线性相关性，该产品的广告投入x （万元）与相应的销售额y （万元）的几组对应数据如表所示： x 1 2 3 4 y 3 5 6 a
若根据表中数据得出y 关于x 的线性回归方程为20.75y x =+，则表中a 的值为_______. 14.ABCD 为长方形，2=AB 1=BC ,O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，
取到的点到O 的距离大于1的概率为_______.
15.在双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1上有一点P ，F 1，F 2分别为该双曲线的左、右焦点，∠F 1PF 2＝90°，△
F 1PF 2的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______. 16．在菱形ABCD 中，3
A π
=
，3AB =ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，二面
角P BD C --的大小为23
π
，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为_______.
三、解答题 本大题共6小题，共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤
17．(本题10分）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查. 已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人. 下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间(单位：
h )的频率分布表.
（1）求该校高二学生的总数； （2）求频率分布表中实数,,x y z 的值
（3）已知日睡眠时间在区间[6,6.5)内的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选3人进行面谈，求选中的3人恰好为两男一女的概率.
18．(本题10分）已知经过圆2221:C x y r +=上点00(,)x y 的切线方程是200x x y y r +=.
（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆22
222:1(0)x y C a b a b
+=>>上一点00(,)x y 的切线方
程；
（2）已知椭圆2
2:16
x E y +=，P 为直线3x =上的动点，过P 作椭圆E 的两条切线，切点分
别为A ?B ，求证：直线AB 过定点.
19.(本题12分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，M 为DC 的中点，将△ADM
沿AM 折起使平面ADM ⊥平面ABCM .
(1)求证：BM ⊥AD .；
(2)求直线DC 与平面DAB 所成角的正弦值.
20．(本题13分）已知抛物线2:2C y px =过点()1,2A ． （1）求抛物线C 的方程；
（2）求过点()3,2P -的直线与抛物线C 交于M 、N 两个不同的点(均与点A 不重合)．设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ?为定值.
21.(本题12分）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，DE
⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，DE ＝22，DE >BF ，∠ABC ＝120°. (1)当BF 长为多少时，平面AEF ⊥平面CEF? (2)在(1)的条件下，求二面角E －AC －F 的余弦值.
22．(本题13分）已知动点C 是椭圆Ω：)1(122
>=+a y a
x 上的任意一点，AB 是圆G ：4
9)2(22=
-+y x 的一条直径(A ，B 是端点)，CA →·CB
→的最大值是314. (1)求椭圆Ω的方程；
(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点21,F F ，过点2F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆Ω于P ，Q 两点. 在线段2OF 上是否存在点M(m,0)，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题 BAADC CCDAB BA 二．填空题
13.
9 ， 14 4
1π
- ，15. 5， 16 π112
16.由题意可得如下示意图，设,AC BD 交于E ，则AC BD ⊥，即,CE BD PE BD ⊥⊥ 所以PEC ∠为二面角P BD C --的平面角，即23
PEC π∠=， 又PE
CE E =，所以BD ⊥平面PCE ，过P 作PF AC ⊥于F ，,BD PF BD AC E ⊥=，
所以PF ⊥平面ABCD ，
若,'O O 分别是面BDC 的外接圆圆心、三棱锥P BCD -的外接球的球心， 则OO '⊥平面ABCD ，所以//OO PF '，
所以,,,'P F O O 必共面且该面为球体的最大截面，
连接,,,OO O D OD O P '''，有O D O P R ''==为外接球半径，
OD r =为面BDC 的外接圆半径，
若设OO x '= 则：222x r R +=，222
()OF PF x R +-=， ∵菱形ABCD 中，3
A π
=
，23
43,P AB EC π
∠==
， ∴43PD DC PB BC ====6PE EC ==，43BD = 且232BD ED =
=23EC OE ==，sin 333
PF PE π
=?=，2cos
53
OF OE EF PE π
=+=+?=，∴222216r OD OE ED ==+=，
即221625(33)x x +=+，解得23x =228R =， 所以三棱锥P BCD -的外接球的表面积2112R 4π=π， 17.解：
（1）设该校高二学生的总数为n ，由题意5015050
660540
n -=+，解得=600n ，所以该校高二学生总数为600人. 由题意
0.2050
z
=，解得10z =， 50(57128)8x z =-++++=，
0.1650
x
y =
=. （2）记“选中的3人恰好为两男一女”为事件A ，记5名高二学生中女生为1a ，2a ，男生为1b ，
2b ，3b ，从中任选3人有以下情况： 121,,a a b ；122,,a a b ；123,,a a b ；112,,a b b ；113,,a b b ；123,,a b b ；212,,a b b ；213,,a b b ；223,,a b b ；123,,b b b ，共10种情况，基本事件共有10个，它
们是等可能的，
事件A 包含的基本事件有6个，分别为：112,,a b b ；113,,a b b ；123,,a b b ；212,,a b b ；213,,a b b ；
223,,a b b ，
故63()105P A =
=，所以选中的3人恰好为两男一女的概率为35
. 18.（1）类比上述性质知：切线方程为00221x x y y
a b
+=.
（2）①设切点为1222(,),(,)A x y B x y ，点(3,)P t ， 由（1）的结论的AP 直线方程：
1116x x y y +=，BP 直线方程：2216
x x
y y +=， 通过点(3,)P t ，∴有1122
3
16
31
6
x y t x y t ??+?=?????+?=??， ∴A ，B 满足方程：12x ty +=，
∴直线AB 恒过点：10
20
x
y ?-=???=?，即直线AB 恒过点(2,0).
19（1）略（2）
3
2
20（1）因为抛物线2
:2C y px =过点()1,2A ，
所以42p =，2p =，抛物线方程为2
4y x =.
（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为23x
t y ，
联立()2234x t y y x
?=++?=?，整理得2
48120y ty t ---=，
21632480t t ?=++>，124y y t +=，12812y y t =--，
则
121212
22
1212222211
1144
y y y y k k y y x x 12
12
16
16
224
81284
y y y y t t ，
故12k k ?为定值2-.
21解 (1)连接BD 交AC 于点O ，则AC ⊥BD . 取EF 的中点G ，连接OG ，则OG ∥DE . ∵DE ⊥平面ABCD ，∴OG ⊥平面ABCD . ∴OG ，AC ，BD 两两垂直.
以AC ，BD ，OG 所在直线分别作为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)， 设BF ＝m (0 由题意，易求A (3，0，0)，C (－3，0，0)，E (0，－1，22)， F (0，1，m ).则AE →＝(－3，－1，22)，AF →＝(－3，1，m )，CE → ＝(3，－1，22)，CF → ＝(3，1，m )， 设平面AEF ，平面CEF 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2). 则?????n 1·AE →＝0，n 1·AF →＝0，∴???－3x 1－y 1＋22z 1＝0，－3x 1＋y 1＋mz 1＝0，解得? ?? z 1＝23m ＋22 x 1， y 1＝26－3m m ＋22x 1. 取x 1＝m ＋22，得n 1＝(m ＋22，26－3m ，23). 同理可求n 2＝(m ＋22，3m －26，－23). 若平面AEF ⊥平面CEF ，则n 1·n 2＝0， ∴(m ＋22)2＋(3m －26)(26－3m )－12＝0， 解得m ＝2或m ＝72(舍)， 故当BF 长为2时，平面AEF ⊥平面CEF . (2)当m ＝2时，AE →＝(－3，－1，22)，AC →＝(－23，0，0)，EF → ＝(0，2，－2)，AF →＝(－3，1，2)，CF → ＝(3，1，2)， 则EF →·AF →＝0，EF →·CF →＝0，所以EF ⊥AF ，EF ⊥CF ，且AF ∩CF ＝F ，所以EF ⊥平面AFC ， 所以平面AFC 的一个法向量为EF → ＝(0，2，－2). 设平面AEC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ?????n ·AE →＝0，n · AC →＝0，∴???－3x －y ＋22z ＝0，x ＝0，得???y ＝22z ，x ＝0.令z ＝2，n ＝(0，4，2). 从而cos 〈n ，EF → 〉＝n ·EF → |n |·|EF →|＝663＝ 33. 故所求的二面角E －AC －F 的余弦值为3 3. 22.解 (1)设点C 的坐标为(x ，y )，则x 2a ＋y 2 ＝1， 连接CG ，由CA →＝CG →＋GA →，CB →＝CG →＋GB →＝CG →－GA →，又G (0,2)， 可得CA →·CB →＝CG →2－GA →2＝x 2＋(y －2)2－94＝a (1－y 2)＋(y －2)2－94＝－(a －1)y 2－4y ＋a ＋7 4，其中y ∈[－1,1]． 因为a >1，故当y ＝4 2(1－a )