大学物理第一章 机械振动
第四部分振动、波动和波动光学
第1章机械振动
一．基本要求
1．掌握简谐振动的定义和特征，以及描述简谐振动的三个特征量：振幅、圆频率和初相位，学会简谐振动的判断方法。
2．掌握简谐振动的三种描述方法——解析法、曲线法以及旋转矢量法，并能从这些描述中确定简谐振动的特征量，能用旋转矢量法分析有关问题。
3．了解简谐振动的能量特点。
4．掌握两个同方向、同频率简谐振动的合成，能计算合成振动的振幅和初相位。
5．理解两个同方向、不同频率简谐振动的合成，了解“拍”的定义。
6．了解受迫振动和共振。
7．了解非线性振动的基本概念。
二．内容提要和学习指导
（一）简谐振动的定义（简谐振动的判据）
1．简谐振动的运动学定义：物体离开平衡位置的位移满足
0cos()x A t ω?=+
2．简谐振动的动力学定义：物体受到的合外力满足 kx F -= （k 常数）
3．用运动微分方程定义：0222=+x dt
x
d ω
由这一定义可以推广简谐振动的概念：一个物理量x （可以是力学量、电学量、磁学量等）如果满足上述微分方程，就可称物理量x 作简谐振动．
（二）简谐振动的三个特征量
1．振幅A ：物体离开平衡位置的最大位移的绝对值，其值由振动的初始条件
（即0t =时物体的位移0x 和速度0v ）决定 2
020??
?
??+=ωv x A ；
2．频率ν（圆频率ω、周期T ）：表征物体振动的快慢，由振动系统的固有性质决
定，三者之间的关系为 2,2T π
ωνω
π
=
=
３．相位0t ?ω?=+（初相位0?）
①相位完备地描述质点的振动状态．振动状态和相位之间一一对应，也就是说知道了任一时刻质点振动的相位，就知道了这一时刻质点的位置、速度和加速度．关于这一点可从位移、速度和加速度的表达式中看出：
0cos()x A t ω?=+，0sin()v A t ωω?=-+，
20cos()a A t ωω?=-+；
其中初相0?由初始条件决定 0
00
arctan(
)v x ?ω-=。 ②相位可用来比较两个同频率简谐振动的步调。设有两个简谐振动
111cos()x A t ω?=+， 222cos()x A t ω?=+， 则两者间的相位差与步调的关系为
（三）简谐振动的描述方法
当采用某种方法描述简谐振动时，此方法必须能很好地体现简谐振动的三个特征量．
1．解析法：0cos()x A t ω?=+ 2．曲线法(x t -曲线)
如图1.1所示，x -t 曲线的峰值表示振幅；运动状态完全相同的最邻近两点之间的时间间隔表示周期；t =0时，0x 以及0v 的正负可以确定初相位。
3．旋转矢量法
表示方法如图1.2所示．在旋转矢量法中很
直观地体现了简谐振动的三个特征量：旋转矢量A 的模表示振幅A ；任意t 时刻，旋转矢量A 与x 轴的夹角0t ω?+表示t 时刻的相位；旋转角速度ω表示圆频率．
注意：用旋转矢量法能够很方便地判断振动的相位，关于这一点将在习题解答与分析中加以说明，请务必掌握．
（四）简谐振动的能量特征 1．振子的动能 2222011
sin ()22k E mv m A t ωω?=
=+ 2．振子的势能 222011cos ()
2
2
p E kx kA t ω?==
+
o
0t ω?+
x
ω
A
图1.2
3．振子的总能 22
1kA E E E p k =+=
结论：①振动系统的动能和势能是时间的周期函数，其周期为位移周期的一半。②在振动过程中，系统的动能和势能相互转换：动能最大时，势能最小；动能最小时，势能最大．在整个过程中系统的机械能守恒．
（五）简谐振动的合成
１．同方向、同频率简谐振动的合成：1110cos()x A t ω?=+，
2220cos()x A t ω?=+；
合振动：0cos()x A t ω?=+（仍为简谐振动，且与分振动的频率相同）
其中
A =，
1
110220
0110220
sin sin tan cos cos A A A A ?????-+=+；
2．同方向、不同频率简谐振动的合成
1110cos()x A t ω?=+ ， 2220cos()x A t ω?=+， 合振动： 2010
2010
21
21
2cos(
)cos(
)2
2
2
2
x A t t ????ωωωω-+-+=+
+
① 合振动不是简谐振动；
② 若21ωω≈，即1212ωωωω->>+，合振幅
2010
21()2cos(
)22
A t A t ??ωω--=+； 合振动是振幅随时间缓变的准简谐振动——拍振动．拍频为
12ννν-=。
3．相互垂直的同频率简谐振动的合成
110cos()x A t ω?=+ ， 220cos()y A t ω?=+，
合运动的轨道方程：
222
20102010221212
2cos()sin ()x y xy A A A A ????+--=-
三．习题解答和分析
1.1．举出几个振动的例子；振动和波在物理学中具有怎样的地位和作用？ 【答】挂钟摆锤的摆动，物体发声、与机械运转相伴的机座的运动，地震，晶体中原子的运动…；交变电路中的电压、电流，交变电磁场中的电场强度、磁场强度…。
振动和波动是自然界一种十分普遍的运动形式，这些振动和波动的表现形式虽然不同，但具有普遍的性质和规律，满足相同的微分方程，可以用统一的数学形式描述。因此，振动和波动在物理学中具有非常重要的地位和作用。 1.2．什么样的运动叫简谐振动？为什么说研究简谐振动是研究一切复杂振动的基础？
【答】简谐振动的判据是：①0cos()x A t ω?=+；或②k
a x m
=-
；或③F kx =-。一切复杂的振动都可以分解为不同频率的简谐振动的叠加。所以，研究简谐振动是研究一切复杂振动的基础。
1.3．简谐振动的三个特征量是什么？它们各由什么条件决定？
【答】简谐振动的三个特征量是：①振幅A ，它由初始条件决定；②频率ν（圆频率ω，周期T ），它由简振系统的自身性质决定；③初相位0?，它由初始条件决定。
1.4．一小球与轻弹簧组成的系统，按))(3/8cos(5.0cm t x ππ+=的规律振动，式中t 以秒为单位。求：（1）振动的圆频率w 、周期T 、振幅A 和初位相j 0；（2）振动的速度和加速度；（3）t =0.1s 、0.2s 、0.3s 时刻的相位。
【解】（1）将题中所给的振动表达式与标准振动表达式0cos()x A t ω?=+比较可得：
8(/)rad s ωπ=→2/0.25()T s πω==；0.5()A cm =；0/3?π=。
（2）0sin() 4.0sin(8/3)(/)v A t t cm s ωω?πππ=-+=-+；
220cos()32.0cos(8/3)a A t t ωω?πππ=-+=-+。
（3）8/3t ?ππ=+→0.117/15t ?π==，0.229/15t ?π==,0.341/15t ?π==
或 →0.113/15t ?π==-，0.2/15t ?π==-,0.311/15t ?π==。
【评注】由振动表达式求简谐振动特征量的基本方法总结如下：将所给的振动表达式写成标准形式，然后与标准振动表达式0cos()x A t ω?=+比较，直接读出：① A ；②0?；③ω→ν→T 。
1.5．有一个和轻弹簧相连的小球，沿x 轴做振幅为A 的简谐振动，该振动的表达式用余弦函数表示．若t =0 时，球的运动状态分别为：（1）x 0=－A ；（２）过平衡位置向
x 轴正方向运动；（３）过2/A x =处，且向x 负方向运动．试用旋转矢量图法分别确定相应的初相位。
【解】由旋转矢量图法确定的初相位如下图
【评注】初相位0?的判定有两种方法，一种是解析法，另一种是旋转矢量法。一般情况下，旋转矢量法更简捷、明了。
1.6．已知一个谐振子的振动曲线如图所示．（1）写
出振动表达式；（2）求a,b,c,d,e 各状态所对应的相位。
【解】（1）由振动曲线可知：振
幅A =5.0cm ；周期T =2. 4s ，则圆频率)/(6
52s rad T
ππω==．
判定初相位0?：
方法一：解析法．设振动表达式为
0(3)/3?π=
00(1)?π=
A
A
A
o
o
x x
题1.6图
055.0cos(
)6x t π?=+，由cm x t 5.2,0==得：02.5 5.0cos ?=→03
π?=±。 0255sin()66v t ππ?=-
+，由0,0t v =>得：0sin 0?<→03
π?=- 方法二：采用旋转矢量法．在t =0时刻，振子在
x =2.5cm 处，
且正向x 轴正方向运动，由右边的旋转矢量图可得
03
π
?=-
。
由此可得振动的表达式为： ))(3
6
5cos(0.5cm t x ππ-=。
（2）用与右图相似的旋转矢量图可得a 、b 、c 、d 、e 的相位分别为：0a ?=，
3
b π
?=
，2c π?=
，23
d π
?=，43e π?=。 1.7．一质点作简谐振动，频率为10赫，在t ＝0时，此质点的位移为10cm ，速度为200πcm ／s 。.写出此质点的（1）位移表示式；（2）速度表示式；（3）加速度表示式。
【解】（1）由初始条件t =0，x 0=10cm ， v 0=200πcm/s ，得
振幅为： )(210)20200(
102
22
2
20
cm v x A =+=+
=π
πω， 初相为： 1
110002001tan tan tan 201014
v x ππ
?ωπ------====-?，
位移的表达式为：)()4
x t cm π
π=-。
（2
）sin(20)(/)4
dx v t cm s dt π
π=
=--。
A
o
（3
）22cos(20)(/)4
dv a t cm s dt π
π=
=--。 【评注】用反三角函数关系式求角度时，应该把分子和分母中的“＋，－”号原封不动地保留，由此可判定所求的角度在第几象限。
1.8．一质量为10g 的物体作简谐振动，其振幅为24cm ，周期为4s 。当t =0时，位移y ＝+24cm 。试求：（1）在t ＝0.5s 时物体的位移；（2）当t =0.5s 时振动物体所受力的大小和方向；（3）由起始位置运动到y ＝－12cm 处所需的最少时间；（4）在y ＝－12cm 处物体的速度；（5）振动物体的总能量。
【解】（1）由已知条件得：A =24㎝，2
2ππω==T
（rad/s ）,00=?。
物体振动位移表达式为：24cos ()2
y t cm π
=。
当t =0.5s 时，24cos
17.0()4
y cm π
=≈。
(2)受力：
2230.01()0.17 4.2102F m y N π
ω-=-=-??≈-?，力指向y
轴负方向。
(3)由右边的矢量图可知，当t =0时，旋转矢量与y 轴正向重合，当旋转矢量在y 方向投形为-12cm 时，旋转矢量转过的最小角度为3
2π
，所以由起始位置运动到y =-12cm 处所需最少时间为：2/31
4 1.33()23
t T s ππ=
=?≈。 (4) 4/34/3
24sin
32.6(/)2
2
t t v t
cm s π
π
===-?
≈-→1232.6(/)y v cm s =-≈±。
或222222
1
2121y m mv A m ωω+=
→1212
32.6(/)
y v cm s =-=-=±≈±
(5)振动物体的总能量2
2224110.010.247.110()222E m A J πω-??
==???≈? ???
1.9．作简谐振动的弹簧振子，在平衡位置和最大位移时，其速度，加速度、动能、弹簧的弹性势能中哪几个为零？哪几个达到最大值？
【答】在平衡位置处，速度、动能最大，加速度、弹性势能为零．在最大位移处，加速度、弹性势能最大，速度、动能为零．
1.10．一个劲度系数为k 的轻弹簧，下端悬挂一质量为M 的盘．质量为m 的重物从h 高处落至盘中做完全非弹性碰撞，这时
盘开始振动，求盘振动的表达式．
【解】由如图示位置分析示意图可得：
1kx Mg =，12()()k x x m M g +=+→2kx mg = 12()()()m M g k x x x m M x +-++=+→
()kx m M x -=+→k
x x m M
=-
+ 由此可知，系统作简谐振动，振动的圆频率为
ω=
设系统的振动表达式为0cos()x A t ω?=+。
M 位置
平衡位置 M +平衡位置 M +振动位置
题1.10图
系统的初始条件为：初始位移02mg
x x k
=-=-，初始速度0v =由此初始
条件可得：
0cos mg
A k
?-
=0?=-→
A =
，0tan ?-=（0?是第三象限的角）
系统的振动表达式为1tan x -=
+ 【评注】由谐振子的动力学特征求解谐振子的振动，其一般方法总结如下： ①对振动系统进行受力分析； ②找出平衡位置，列出平衡方程； ③以平衡位置为原点建立坐标系；
④令系统偏离平衡位置x （x 可以是位移、角位移或其他振动的物理量），由牛顿第二定律或转动定律列出此时的动力学关系，并利用平衡方程进行化简；
⑤若化简结果是x 与它的二阶导数x 不成正比反向关系，则系统不可能作简谐振动。若化简结果是x 与它的二阶导数x 成正比反向关系，即x k x '=-（k '是由系统的动力学性质决定的常数，对不同的系统，k '的内含不同。对弹簧振子，
/k k m '=），则系统作简谐振动，振动的圆频率为ω=；
⑥设0cos()x A t ω?=+，由系统的初始条件求出A 和0?。 1.11．一劲度系数为k 的轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为m 的小球，平衡时弹簧伸长为b 。试证明小球在平衡位置附近作简谐振
动。若振幅为A ，则它的总能量为21
2
kA 。
【证明】（1）根据受力分析画出如图位置示意图。由图可得：
kb mg =，()mg k x b mx -+=→kx mx -=→k
x x m
=-
所以，小球在平衡位置附近以圆频率ω=
（2）设0cos()x A t ω?=+→0sin()v A t ωω?=-+ 动能：22222200111
sin ()sin ()222
k E mv mA t kA t ωω?ω?=
=+=+ 势能：222220111
[()]cos ()222
p E mgx k x b b kx kA t ω?=-+
+-==+ 总能量：2
12
k p E E E kA =+=
。 【评注】①根据势能的定义和弹性力做功的积分式可知，若选择弹簧伸长（压缩）长度为b 时为弹性势能的零点，则弹性势能的表达式为
221
[()]2
E k x b b =
+-弹；②若以平衡位置为弹性势能和重力势能零点，则当振动系统偏离平衡位置为x 时，总的势能为21
2P E kx =，称为系统的振动势能。但是
振动势能却不一定是弹性势能，它有三种可能：①弹性势能（如水平放置的弹簧振子）
m 位置 m 平衡位置 振动位置
题1.11图
；②重力势能（如单摆）；③弹性势能和重力势能之和（如竖直放置的弹簧振子）。
1.12．一轻弹簧下端悬挂质量为10g 的小球，当达到平衡时弹簧的伸长量为4.9cm 。将小球由平衡位置向下拉开1.0cm 后，给予小球向上的初速度s cm v /0.50=。利用上题的结论，求小球作简谐振动的振幅以及小球在平衡位置的速度。
【解】弹簧的弹性系数为：)/(2049
.08
.901.0m N b mg k =?==
结合上题，由本题题意可得，小球在振动的过程中机械能守恒：
22
200111222
k x mv kA +=
→21.0610A m -=≈?； 222
00max
111222k x mv mv +=
→2max 15.010(/)v m s -=≈?。 1.13．分别将劲度系数为k 1和k 2的两根轻质弹簧串联和并联，竖直悬挂，下端系一质量为m 的物体，试分别求出在串联和并联时系统的振动周期。
【解】两个串联或并联的弹簧可以看作一个新弹簧，只要求出这个新弹簧的等效劲度系
数k '，就可根据5.10题的分析，直接写出系统的振动周期。
题1.13图
（1）设两弹簧串联，当m 达到平衡时，1k 和2k 的伸长量分别为a 和b ，串联弹簧的总伸长量为()a b +，显然有：1mg k a =，2mg k b =，()mg k a b '=+
→
12111k k k =+'→1212k k k k k '=+
→ω=串
2T π=串（２）设两弹簧并联，当m 达到平衡时，1k 和2k 的伸长量都为a ，并联弹簧的总伸长量也为a ，显然有：11F k a =，22F k a =，12F F mg k a '+==
→12k k k '=+
→ω=
并
2T =并1.14．质量为m =121g 的水银装在U 形管中，管截面积S =0.30cm 2，若使两边水银面相差2y 0，然后使水银面上下振动，求振动周期
T ．水银的密度为13.63/cm g ．
【解】方法一：受力分析法。
显然U 形管两边水银面相平时为平衡位置。管内水银总长度为
m
S
ρ，U 形管底部宽度为l ，则平衡时两边水银面的高度为1()2m
l S
ρ-。设左边水银面由平衡位置向上升高y ，则：
对于左边管中水银有 1011[()][()]22m m
p S p S l y S g l y S y S S ρρρρ---+=-+ 对于右边管中水银有 2011[()][()]22m m
p S p S l y S g l y S y S S
ρρρρ-++--=--
题1.14图