北师大版九年级数学下册第二章单元测试.docx

初中数学试卷

桑水出品

北师大版九年级数学下册第二章单元测试

一、 选择题（每小题4 分，共10小题，满分40分）

每题有A 、B 、C 、D 四个选项，只有一个是正确的，请把正确的选项填写在题的括号内.

1.二次函数y=a （x+m ）2

+n 的图象如图，则一次函数y=mx+n 的图象经过（ ）

A ．第一、二、三象限

B ．第一、二、四象限

C ．第二、三、四象限

D ．第一、三、四象限 2.函数y=

k

x

与y=﹣kx 2+k （k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．

3.关于二次函数y=x 2﹣2x ﹣3的图象，下列说法中错误的是（ ） A ．当x ＜2，y 随x 的增大而减小 B ．函数的对称轴是直线x=1

C ．函数的开口方向向上

D ．函数图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣3） 4.如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 的大致图象为（

）

A ．

B ．

C ．

D ．

5.如图所示是二次函数y=ax 2﹣x+a 2﹣1的图象，则a 的值是（ ）

A ．a=﹣1

B ．a=

12

C ．a=1

D ．a=1或a=﹣1

6.抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y=x 2+bx+c ，则b 、c 的值为（ ）

A ．b=2，c=2

B ．b=2，c=﹣1

C ．b=﹣2，c=﹣1

D ．b=﹣3，c=2 7.根据下列表格对应值：

x 3 4 5 y=ax 2+bx+c

0.5

﹣0.5

﹣1

判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的一个解x 的范围是（ ） A ．x ＜3 B ．x ＞5 C ．3＜x ＜4 D ．4＜x ＜5

8.如图是二次函数y=ax 2

+bx+c 图象的一部分，其对称轴是x=﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（3，y 2）是抛物线上两点，则y 1＜y 2，其中说法正确的是（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．①②④

D ．②③④

9.如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是（ ）

A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5

10.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且﹣1＜x1＜x2，x3＜﹣1，则y1、y2、y3的大小关系为（）

A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3

二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）

请把正确的答案填写在横线上.

11.二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是．

12.抛物线y=x2﹣5x+6与x轴交于A、B两点，则AB的长为．

13.若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．

14.如图，抛物线y=x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为该抛物线的对称轴上一点，当点D到直线BC和到x轴的距离相等时，则点D的坐标为．

三、解答题（共8小题，满分90分）

15.二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．

（1）求b、c的值；

（2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．

16.如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．

17.已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．

（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；

（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．

18.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．

（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；

（2）求出这条抛物线的函数解析式；

（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．

19.已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，由于供货方的原因销量不得超过380件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每星期的销售利润为w元．

（1）求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）该产品销售价定为每件多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）该产品销售价在什么范围时，每星期的销售利润不低于6000元，请直接写出结果．

20.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；

（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．

21.如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），

B（4，0）与y轴交于点C．

（Ⅰ）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（Ⅱ）求△BCD的面积；

（Ⅲ）若直线CD交x轴与点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD与点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究抛物线最多可以向上平移多少个单位长度（直接写出结果，不写求解过程）．

22.如图，已知正方形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，抛物线y=

2

3

x2+bx+c

经过点A，B，交正x轴于点D，E是OC上的动点（不与C重合）连接EB，过B点作BF⊥BE交y轴与F （1）求b，c的值及D点的坐标；

（2）求点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积有怎样的规律性？并证明你的结论；

（3）连接EF，BD，设OE=m，△BEF与△BED的面积之差为S，问：当m为何值时S最小，并求出这个最小

值．

23.如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数

y=1

2

x刻画．

（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；

（2）小球的落点是A，求点A的坐标；

（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；

（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M 的坐标．

参考答案及解析

1.【答案】C．

解析：∵抛物线的顶点在第四象限，

∴﹣m＞0，n＜0，

∴m＜0，

∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，

故选C．

2.【答案】B．

解析：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；

A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；

B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；

C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；

D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的

交点在y 轴的正半轴上，本图象与k 的取值相矛盾，故D 错误． 故选B ．

3. 【答案】A ．

解析：∵y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2

﹣4，

∴抛物线开口向上，对称轴为x=1，当x ＜1时y 随x 的增大而减小，故B 、C 正确，A 不正确， 令x=0可得y=﹣3，

∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，﹣3），故D 正确， 故选A ．

4. 【答案】B ． 解析：∵a ＜0，

∴抛物线的开口方向向下， 故第三个选项错误； ∵c ＜0，

∴抛物线与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上， 故第一个选项错误； ∵a ＜0、b ＞0，对称轴为x=2b

a

＞0， ∴对称轴在y 轴右侧， 故第四个选项错误． 故选B ．

5. 【答案】C ．

解析：由图象得，此二次函数过原点（0，0），

把点（0，0）代入函数解析式得a 2

﹣1=0，解得a=±1； 又因为此二次函数的开口向上，所以a ＞0； 所以a=1． 故选C ．

6. 【答案】B

解析：y=x 2﹣2x ﹣3=x 2﹣2x+1﹣4=（x ﹣1）2

﹣4，

图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y=（x ﹣1+2）2﹣4+2=（x+1）2﹣2=x 2

+2x ﹣1，

则b=2，c=﹣1， 故选B ．

7. 【答案】C

解析：∵x=3时，y=0.5，即ax 2

+bx+c ＞0；

x=4时，y=﹣0.5，即ax 2

+bx+c ＜0，

∴抛物线与x 轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，

∴关于x 的方程ax 2

+bx+c=0（a ≠0）的一个解x 的范围是3＜x ＜4． 故选C ．

8. 【答案】A

解析：∵抛物线开口向上， ∴a ＞0，

∵抛物线对称轴为直线x=﹣

2b

a

=﹣1， ∴b=2a ＞0，则2a ﹣b=0，所以②正确； ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴c ＜0，

∴abc＜0，所以①正确；

∵x=2时，y＞0，

∴4a+2b+c＞0，所以③错误；

∵点（﹣5，y1）离对称轴的距离与点（3，y2）离对称轴的距离相等，

∴y1=y2，所以④不正确．

故选A．

9.【答案】D.

解析：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），

∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．

利用图象可知：

ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，

∴x＜﹣1或x＞5．

故选D．

考点：二次函数利用图象.

10.【答案】D．

解析：对称轴为直线x=﹣1，且﹣1＜x1＜x2，当x＞﹣1时，y2＜y1，

又因为x3＜﹣1，由一次函数的图象可知，此时点P3（x3，y3）在二次函数图象上方，所以y2＜y1＜y3．

故选D．

11.【答案】5.

解析：y=x2﹣2x+6=x2﹣2x+1+5

=（x﹣1）2+5，

可见，二次函数的最小值为5．

12.【答案】1.

解析：当y=0，则0=x2﹣5x+6，

解得：x1=2，x2=3，

故AB的长为：3﹣2=1．

13.【答案】0或1

①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；

②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数．

根据题意得：△=4﹣4m=0，

解得：m=1．

14.【答案】（1）或（1，﹣.

解析：如图所示：

∵抛物线y=x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，

（x+1）（x﹣3）=0时，x=﹣1，或x=3，

当x=0时，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，），对称轴x=1，

∴BM=3﹣1=2，

当点D到直线BC和到x轴的距离相等时，点D在∠ABC或∠ABE的平分线上，①点D在∠ABC的平分线上时，

∵tan∠

∴∠ABC=60°，

∴∠ABD=30°，

∴

∴D（1，

3

）；

②点D在∠ABE的平分线上时，∠ABE=180°﹣60°=120°，

∴∠ABD=60°，

∴

∴D（1，﹣.

15.【答案】（1）

4

3

b

c

=-

?

?

=

?

；（2）顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2

解析：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0），

∴3=16+4093b c b c +??=++?

，

解得4

3b c =-??

=?

；

（2）∵该二次函数为y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1． ∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2 考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质．

16. 【答案】（1）y=﹣x 2

﹣4x ；（2）（﹣2，4）、（﹣，﹣4）、（﹣2﹣，﹣4）．

解析：（1）由已知条件得2

0(4)4(4)0c a c =???--?-+=?， 解得10a c =-??=?

，

所以，此二次函数的解析式为y=﹣x 2﹣4x ； （2）∵点A 的坐标为（﹣4，0）， ∴AO=4，

设点P 到x 轴的距离为h ， 则S △AOP =

1

2

×4h=8， 解得h=4，

①当点P 在x 轴上方时，﹣x 2﹣4x=4， 解得x=﹣2，

所以，点P 的坐标为（﹣2，4），

②当点P 在x 轴下方时，﹣x 2﹣4x=﹣4，

解得x 1=﹣x 2=﹣2﹣

所以，点P 的坐标为（﹣，﹣4）或（﹣2﹣4），

综上所述，点P 的坐标是：（﹣2，4）、（﹣，﹣4）、（﹣2﹣，﹣4）． 17. 【答案】（1）b=2,c=3, y=﹣x 2

+2x+3．(2) ﹣1＜x ＜3

解析：（1）将点（﹣1，0），（0，3）代入y=﹣x 2

+bx+c 中，得

103b c c --+=??=?，解得2

3

b c =??

=?． ∴y=﹣x 2

+2x+3．

（2）令y=0，解方程﹣x 2+2x+3=0， 得x 1=﹣1，x 2=3，抛物线开口向下， ∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0．

18. 【答案】（1）M （12，0），P （6，6）；（2）y=16

-x 2

+2x ；（3）15米． 解析：（1）M （12，0），P （6，6）

（2）∵顶点坐标（6，6）

∴设y=a（x﹣6）2+6（a≠0）又∵图象经过（0，0）

∴0=a（0﹣6）2+6

∴a=

1 6 -

∴这条抛物线的函数解析式为y=

1

6

-（x﹣6）2+6，即y=

1

6

-x2+2x；

（3）设A（x，y）

∴A（x，

1

6

-（x﹣6）2+6）

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC=

1

6

-（x﹣6）2+6，

根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x，∴BC=12﹣2x，即AD=12﹣2x，

∴令L=AB+AD+DC=2[

1

6

-（x﹣6）2+6]+12﹣2x=

1

3

-x2+2x+12=

1

3

-（x﹣3）2+15．

∴当x=3，L最大值为15

∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米．

19.【答案】（1）w=﹣20x2+100x+6000，x≤4，且x为整数；(2) 当定价为57或58元时有最大利润6120元；(3) 售价不低于56元且不高于60元时，每星期利润不低于6000元．

解析: （1）w=（20﹣x）（300+20x）=﹣20x2+100x+6000，

∵300+20x≤380，

∴x≤4，且x为整数；

（2）w=﹣20x2+100x+6000=﹣20（x﹣5

2

）2+6125，

∵﹣20（x﹣5

2

）2≤0，且x≤4的整数，

∴当x=2或x=3时有最大利润6120元，

即当定价为57或58元时有最大利润6120元；（3）根据题意得：

﹣20（x﹣5

2

）2+6125≥6000，

解得：0≤x≤5．

又∵x≤4，

∴0≤x≤4

答：售价不低于56元且不高于60元时，每星期利润不低于6000元．

20.【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3．（2）对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．（3）点P在该抛物线上滑动到（1+2

，4）或（1﹣，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8．

解析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，

∴﹣1+3=﹣b，

﹣1×3=c，

∴b=﹣2，c=﹣3，

∴二次函数解析式是y=x 2﹣2x ﹣3．

（2）∵y=﹣x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2

﹣4，

∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）． （3）设P 的纵坐标为|y P |， ∵S △PAB =8， ∴

1

2

AB ?|y P |=8， ∵AB=3+1=4， ∴|y P |=4， ∴y P =±4，

把y P =4代入解析式得，4=x 2﹣2x ﹣3，

解得，x=1±，

把y P =﹣4代入解析式得，﹣4=x 2

﹣2x ﹣3， 解得，x=1，

∴点P 在该抛物线上滑动到（，4）或（1﹣，4）或（1，﹣4）时，满足S △PAB =8． 21. 【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式：y=﹣x 2+2x+8=﹣（x ﹣1）2+9，顶点D （1，9）；（Ⅱ）6；（Ⅲ）72. 解析：（Ⅰ）将A 、B 的坐标代入抛物线的解析式中，得：

428016480a b a b -+=??

++=?，解得1

2a b =-??=?

， ∴抛物线的解析式：y=﹣x 2+2x+8=﹣（x ﹣1）2+9，顶点D （1，9）； （Ⅱ）如图1，

∵抛物线的解析式：y=﹣x 2

+2x+8， ∴C （0，8）， ∵B （4，0），

∴直线BC 解析式为y=﹣2x+8，

∴直线和抛物线对称轴的交点H （1，6）， ∴S △BDC =S △BDH +S △DHC =12×3×1+1

2

×3×3=6． （Ⅲ）如图2，

∵C （0，8），D （1，9）； 代入直线解析式y=kx+b ，

∴89b k b =??+=?

，

解得：1

8

k b =??

=?， ∴y=x+8， ∴E 点坐标为：（﹣8，0）， ∵B （4，0），

∴x=4时，y=4+8=12 ∴F 点坐标为：（4，12），

设抛物线向上平移m 个单位长度（m ＞0），

则抛物线的解析式为：y=﹣（x ﹣1）2

+9+m ； 当x=﹣8时，y=m ﹣72， 当x=4时，y=m ，

∴m ﹣72≤0 或 m ≤12， ∴0＜m ≤72，

∴抛物线最多向上平移72个单位． 22. 【答案】（1）b=

4

3

，c=2；D 点坐标为（3，0）．（2）点E 在OC 上运动时，四边形OEBF 的面积不变；（3）当m=2

时S 最小为0．

解析：（1）把点A （0，2）、B （2，2）代入抛物线y=23-x 2+bx+c 得2

8223c b c =??

?-++=??

解得b=

4

3，c=2； ∴y=23-x 2+4

3x+2；

令23-x 2+4

3

x+2=0

解得x 1=﹣1，x 2

=3

∴D点坐标为（3，0）．

（2）点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积不变；∵四边形OABC是正方形

∴AB=BC，∠BCE=∠BAE=∠ABC=90°

又∵BF⊥BE

∴∠FBE=90°

∴∠ABF=∠CBE

∴△ABF≌△BCE

∴四边形OEBF的面积始终等于正方形OABC的面积．（3）如图，

可以看出S△BEF=S梯形OCBF﹣S△OEF﹣S△BEC

=1

2

（2+2+m）×2﹣

1

2

m（2+m）﹣

1

2

（2﹣m）×2

=﹣1

2

m2+m+2

S△BED=1

2

×（3﹣m）×2

=3﹣m

两个三角形的面积差最小为0，

即3﹣m=﹣1

2

m2+m+，

解得m=2

∵E是OC上的动点

∴m=2，

当m=2时S最小为0．

23.【答案】（1）最高点P的坐标为（2，4）；（2）点A的坐标为（7

2

，

7

4

）；（3）

21

4

；（4）点M的坐标

为（3

2

，

15

4

）．

解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；

（2）联立两解析式可得：2124y x y x x

?=???=-+?，解得：00x y =??=?，或72

74

x y ?=????=??．

故可得点A 的坐标为（

72，74

）； （3）如图，作PQ ⊥x 轴于点Q ，AB ⊥x 轴于点B ．

S △POA =S △POQ +S △梯形PQBA ﹣S △BOA

=

12×2×4+12×（74+4）×（72﹣2）﹣12×72×74 =4+6916﹣4916

=214

； （4）过P 作OA 的平行线，交抛物线于点M ，连结OM 、AM ，则△MOA 的面积等于△POA 的面积． 设直线PM 的解析式为y=1

2

x+b ， ∵P 的坐标为（2，4），

∴4=

1

2

×2+b ，解得b=3， ∴直线PM 的解析式为y=1

2

x+3．

由21324y x y x x

?=+???=-+?，解得24x y =??=?，32

154

x y ?=

????=??，

∴点M 的坐标为（

32，15

4

）．