食堂人流排队论讲解

研究三水校区饭堂午餐时段的人流问题

组员:陈兆聪陈嫋嫋何艳超

摘要

本文围绕广东财经大学三水校区第二饭堂午餐时段的人流问题。

本文是通过问卷调查（附件）得出学生在中午去饭堂选择的时间段比例，然后推算出饭堂内的总人数和达到的总人数与时间的散点图，通过拟合得到函数，并画出饭堂内学生人流的动态图（如图1），把饭堂模型简单化，通过此图来解决问题1、2、3。运用层次分析法，建立了层次模糊评价模型。首先设定了三级评价指标，确定出评价指标和评价等级论域，利用模糊统计的方法，计算出各指标对于相应评价等级的隶属度，得到模糊关系矩阵。然后根据各指标之间的相对重要程度，构造出判别矩阵，从而经过相应的运算，确定各指标的权系数。再通过模糊矩阵的复合运算，最后对各指标权值和指标分值，利用综合加权法，确定出影响食堂综合评价结果的主要指标。结合模型结果和食堂现状，通过什么合理的措施，提高指标值。给出了具计算结果和提高食堂服务质量和效率的的切实可行的建议，并对模型作出了分析和评价。

关键词：拟合模型层次分析法多层次模糊评价模型

一、问题重述

广东财经大学三水校区第二食堂存在着设计和管理上的缺憾，因此造成了有效资源未被充分利用的问题和食堂内秩序混乱拥挤，让大量的时间和资源白白浪费。只有实行高效的管理和充分的利用资源，才可以使得食堂的盈利，学生在食堂就餐的舒适度得到显著提升。在此下文就专注于讨论食堂资源的利用方式，本文以第二饭堂（即三楼为教师餐厅的那个饭堂）为例，讨论一下问题：

1.给出饭堂内人数随时间变化的数学模型；

2.给出买饭排队时长随时间变化的数学模型；

3.给出已买饭者人均座位占有量随时间变化的数学模型；

4.在本题的语境下，提出一个衡量饭堂状况合理程度的指标，并计算当前情

况下的指标值；

5.通过什么合理的措施，可以提高指标值？给出具体的方案和计算结果。

二、问题分析

1、对于问题一的分析

本文根据实际，把午餐时间定在10：30到13:00，并划分每十五分钟的输入量为一组数据，用输入量减去输出量得到各个时间段饭堂的人数。再根据数据拟合出合理的模型。

2、对问题二的分析

饭堂内每一个达到的学生都会先排队，本文根据这个细节，运用原始数据和每个服务时间离开队伍的学生得到排队时间随时间的变化。

3、问题三的分析

由于排完队的人数减去饭堂输出量就是饭堂内正在就餐的人数，而且知道饭堂座位数，就可求出就餐人数与总座位数的比就为座位占有量。

4、对问题四的分析

该问题要求我们建立合理的就餐满意度指标，分别对于食堂每个方面的情况给出评价。此问题采用多层次的模糊综合评价方法来解决，即多层次分析法，其过程是：将与决策有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性和定量分析，这是一种层次权重决策分析方法。首先，我们需要建立一些对于食堂的综合评价具有决定性的就餐满意度指标，比如考虑的因素可以包括：食堂的位置关系、饭菜的性价比、环境；将这些指标分成三个层次；再设定每个层次中的各因素可选取的评价等级，分别求出各因素对于每个等级的隶属度，从而建立模糊矩阵，；最后根据每个层次中各个指标的对于上一层次的重要次序建立判别矩阵，从而确定了各指标的权重分配，依次求解得到定量的评价。从而可以确定食堂的综合评价结果和哪些因素的关系最大。

5、问题五的分析

问题五要求在问题四建立模型的基础上，提高指标值，改变隶属值，得到评价分数。总结出食堂餐饮部门的优缺点，并给出合理的建议。

三、模型假设

1、只研究广东财经大学三水校区第二饭堂的就餐规律，并建造相关模型。

2、因三水校区学生在外就餐次数少、不规律，忽略到外就餐人数，假设所

有学生都在食堂就餐。

3、因节假日就餐情况特殊，无法反应学生就餐规律，故本文只针对工作日

的就餐模式。

4、因教职工用餐与学生基本分开，故不考虑教职工的就餐等方面。

5、假设所得到的数据真实可靠。

6、根据调查，我校三水校区有学生大约9000人，至少有2534人去2饭吃

饭；由于无论在一楼还是二楼打饭后不限定在一楼还是二楼吃饭，同时食堂容纳为2600人，2600大于2534人，所以在此不需考虑找不到位置等待的时间。

7、忽略拿餐具的时间。

8、忽略已买饭不在食堂就餐的人数。

9、每一个学生进食堂都优先选择队长短的排队。

10、忽略食堂一、二楼的差别。

11、假设当x<0的时候，已经有学生在饭堂排队吃饭

12、假设平均服务时间为50s（附录）

13、为了方便计算把10：30假设为0，10：45假设为15，以此类推。

四、符号说明

表示权重向量

五、 模型的建立与求解

1、模型的建立

建立食堂就餐模型，下图为学生食堂就餐流程图：

图1 2、对于问题一，建立多项式拟合模型

根据问卷调查（附录），得到午餐时间段内饭堂每十五分钟的输入

量，再由每种类型的窗口的服务时间计算出平均服务时间（附录）。根据实际数据，每个人的服务时间加就餐时间平均为15分钟（在不需要排队的情况下）。所以得到每隔一个服务时长， 饭堂输出量是一定的。再从10：30开始，用每个时间段达到饭堂的人数减去离开饭堂的人数，若有剩余则叠加到下一个时段，若没有剩余，则用下一时段达到的人数减去离开饭堂的人数，以此类推，得到一系列数据。再利用Excel 拟合得到饭堂内总人数随时间的变化的多项式拟合模型。

根据数据得到的饭堂内人数随时间的变化的模型为：

y 1

y

y 2

y 2=ax

所以y=??????

?≤<-+-≤≤<<≤≤+13560,7626

24.2269586.10053.06030,22-x 8667.03015,015x 098x 5333.6-23x x x x x x ，

当R 2趋近于1，模型越可靠。 3、对于问题二：

由于某个时刻的排队人数等于由开始到此刻到达饭堂总人数减去排完队的总人数。首先累加到达饭堂的人数，由于经过一个服务时间排完队人数为15人，所以排完队的总人数为18x ，相减即排队人数。再把排队人数平均分配到每个窗口，再乘上服务时间就可得到排队时间。

从图看到，两条曲线的两个交点之间表示排完队人数等于到达饭堂的总人数，即这段时间到达饭堂的人不用排队，所以这段时间排队时间为零。 到达饭堂人数的累加函数为：

C=-0.0032x 3+0.6035x 2-6.2747x+150.45

用matlab 求得两函数的交点（附录二）为：

???==13.136y 563.7x ??

?==08.829y 059

.46x

所以得到时饭堂内排队时长随时间的变化的分段函数为：

???

??

><-+-+=0）34x 或01x （6

5

*1845.1502747.66035.0x 0032.0-Q 23x x x

4、对于问题三：

由于排完队的人数减去饭堂输出量就是饭堂内正在就餐的人数，而且饭堂座位数为2600，所以就餐人数与总座位数的比就为座位占有量。

由数据可知，从0-15有172个人进入饭堂，有270个人离开排队，即还剩下0个人在排队，从15-30有197个学生进入饭堂并排队，有197个学生离开队伍去就餐，还剩下0个学生在排队，由于前面的时间段学生几乎不需要排队，所以我们不作为研究对象，从30-45有295个学生进入饭堂，同样有270个学生离开饭堂，饭堂内还剩下25个学生在排队，同理可分析后面的研究对象。

当30x >时，因为一直有人排队，所以得到已买饭人数为

N=18 -

17

x

18（30x >）

所以，得到已买饭者的人均座位占有量随时间变化模型为：

Y=

()40x 2600

x

1718-18>x

5、对于问题四：

（1）衡量饭堂状况合理程度的指标模型——层次模糊评价模型：

根据对于食堂综合评价的决定因素的调查情况，我们从中选取了一级评价指标5个，二级评价指标16个，具体的评价指标如下表5-1：

表1：就餐满意度指标

（2）建立模型二：多层次模糊评价模型

评价指标论域和评价等级论域的确定

根据上表，我们划定就餐满意度指数U 的三个层次,即：

{}321,,U U U U =

设定每个评价指标的5个评价等级，即很好、好、一般、差和很差，得到评价集为}V ,V ,V ,V ,{V V 54321=,其中1V 表示很好，2V 表示好，3V 表示一般，4V 表示差，5V 表示很差。 不同等级对应的分数值为，很好90—100，好为90—75，一般为60—75，差为45—60，很差为45以下。

{}

12111,U U U ={}

2322212,,U U U U ={}

3332313,,U U U U =

（3）模糊关系矩阵的建立：

根据问卷调查（附录三）,利用模糊统计的方法，通过计算属于某个评价等级的人数占总人数的百分比来确定该指标对于相应评价等级的隶属度，即可得到相应的模糊关系矩阵：

=1

R ?????

???????20120

320

720

710

1203515151

41 =2R ???????

?????

????10110

1524120

32012012095141211213214219214

=3

R ???????

?????????019

719

419419

4019719819219200209209101

（4）权重系数的确定：

根据实际情况,得到某项指标U i 对于另一指标U j 的重要程度为ij a ，则指标U j 对于指标U i 的重要程度为ji a ，即1

ij ji

a a =， ij a 满足的条件为：

0ij a >； 1,,1,2,

,ii a i j n ==。从而构造出判别矩阵()ij n n A a ?=。

根据判别矩阵()ij n n A a ?=，计算某级指标U i 中的某一元素U ij 对该级指标

U i 权重，具体的步骤为：

1)将判别矩阵()ij n n A a ?=中每一行的元素相乘，得1,1,2,

,n

i ij j H a i n ==∏=

2)计算i H 的n

次方根，得1

1,1,2,,n

n

i ij j h a i n =??==∏= ???

3)对向量()12,,,T

n h h h h =作归一化处理，得到权重向量

()121212

111,,

,,,,T

T

n n n n n

n i i i h h h W w w w h

h h ===??

?

?== ? ???

∑∑∑

4)计算判别矩阵()ij n n A a ?=的最大特征值max λ，用平均法计算

()max max

11,n i

i i

aw n w λλ=≈=∑其中()i aw 是权重w 右乘A 得到的列向量aw 的第i 个分量。

5) 检查是否满足一致性，max ,,1

n

CI

CI CR n RI

λ-=

=

-其中RI 可以查得，如表5-3.若0.10CR <，则A 具有满意的一致性，否则应该重新调整判断矩阵中的

ij a ，直到0.10CR <具有满意的一致性为止。

表5-3 平均随机一致性指标RI

n 1 2 3 4 5 6 RI 0 0 0.58 0.89 1.12 1.26

计算得出

=1w []3333.06666.0 =2w []6500.02300.01200.0 =3w []739857.0166592.0093821.0

（5）模糊矩阵的复合运算

将权重向量W 和隶属度关系R 进行模糊矩阵的复合运算，得到模糊综合评价结果，根据隶属度关系矩阵R ，得到：

==111w R L []1167.01833.02500.02500.02000.0 ==222w R L []0822.00936.03864.02599.01779.0 ==333w R L []03340.02681.02155.01827.0

（6）多层次模糊综合评价

根据调查得出综合评价分：

[]000.40000.60000.70000.80000.90=M

计算各指标的综合评价分，如下：

=M L T

171.166 =M L T

272.755 =M L T 372.49

因此，三个指标对应的分数值都为一般，表示学生对第二饭堂的位置关系，饭菜的性价比，环境等的满意程度一般。希望饭堂加以改善饭菜的价格，口味，饭堂内卫生状况，排队时间，人均座位占有量等，以获得更好的评价，得到更多学生的青睐，以增加营业额。

5、对于问题五：

根据对到达总人数数据的线性拟合为y=21x ，得出当窗口数量增加到

21*2

3

=31.5个时，到达的人几乎不用排队,但会造成资源浪费。所以，窗口

增加到20个比较合适，则学生对于排队的时间的评价几乎都为良，导致模糊关系矩阵3R 变为：

=3

R ??????????????0197

19

419419

40001000

209209

101 用层次模糊评价方法计算出综合评价分为：

M L T

374.243

接近于“好”，所以饭堂必须重视排队时间，为学生营造更好更优效率的就餐空间，使饭堂评价升高，盈利增加。

六、模型评价

1、模型的优点

（1）模型一通过调查多个同学的就餐习惯得到比较可靠的饭堂输入流数据。 （2）预测了饭堂人流规律，对于模型一具有指导作用。 （3）把整个过程看成动态过程，具有灵活性。

（4）该模型运用了层次分析法，把指标量化了，清晰明确的表示各指标的影

响。

同时又把定量和定性有机结合起来，更加数学化、系统化。再者需要的定

量信息少，更加快捷方便。

（5）该模型运用了模糊统计的方法，结合实际并且把数据量化。

（6）指标的选取了排队时间和人均座位占有量，达到了问题一、二、三与问题

四、五之间的联系。

2、模型的缺点

（1）指标的选取有限制，同时较为主观。 （2）定量数据少，定性数据多，可靠性降低。 （3）如果指标过多时计算困难，模型可能不适用

(4) 该模型把所有学生都假设成在饭堂就餐，没有考虑打包的学生，造成误

差。

(5) 该模型忽略了饭堂各个窗口打饭的速度不同。 (6) 该模型对于输出量的推算不够精准，说服力度比较弱。

(7) 多项式本来就是一个数学性质极强的数学工具，没有任何的背景意义，所

以用多项式来拟合函数，会使函数脱离现实。

七、小结

广东财经大学三水校区建设在三水的郊区，较为偏僻。大一、大二的大学生的日常生活大多在学校度过，每天三餐也几乎在饭堂就餐。俗话说得好，民以食为天，对于学生来说，既要学知识又要学做人等等，而这些都建立在拥有健康的体魄之上。上述两点则要求饭堂质量优秀，不仅在饭菜质量上要美味健康，而且饭堂管理要井然有序。本文所建立的模型研究了饭堂总人数、排队时长、人均座位占有量和学生关注的饭堂指标，是给广东财经大学的饭堂的建议，希望实现饭堂的合理经营和改善。

附录一

附录二

附录三

关于广东财经大学三水校区第二饭堂午餐时段就餐满意程度的调查结果

参考文献

[1] 姜启源，数学模型，北京：高等教育出版社，2011年。

[2] 曹岩，MATLAB R2008数学与控制实例教程，北京:化学工业出版社，2009年。