.15
4
<≤a 7、解：(1)∵OA →－[y ＋2f /(1)]OB →＋ln(x ＋1)OC →＝0，∴OA →＝[y ＋2f /(1)]OB →－ln(x ＋1)OC →
由于A 、B 、C 三点共线 即[y ＋2f /(1)]＋[－ln(x ＋1)]＝1…………………2分 ∴y ＝f(x)＝ln(x ＋1)＋1－2f /(1)
f /(x)＝1
x ＋1，得f /(1)＝1
2，故f(x)＝ln(x ＋1)…………………………………4分 （2）令g(x)＝f(x)－2x x ＋2，由g/(x)＝1
x ＋1－2(x ＋2)－2x (x ＋2)2＝x2
(x ＋1)(x ＋2)2 ∵x ＞0，∴g/(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数………………6分
故g(x)＞g(0)＝0
即f(x)＞2x
x ＋2………………………………………………………………8分
（3）原不等式等价于1
2x2－f(x2)≤m2－2bm －3
令h(x)＝1
2x2－f(x2)＝1
2x2－ln(1＋x2)，由h/(x)＝x －2x
1＋x2＝x3－x
1＋x2………10分 当x ∈[－1，1]时，h(x)max ＝0，∴m2－2bm －3≥0
令Q(b)＝m2－2bm －3，则?
??Q(1)＝m2－2m －3≥0
Q(－1)＝m2＋2m －3≥0 得m ≥3或m ≤－3………12分
8、解：(I) ()()12ln 20q p f e pe e qe p q e e e e ?
?=-
-=--?-+= ??
?而10e e +≠，所以p q = (II) 由 (I) 知 ()2ln p f x px x x =--，()222
22p px x p
f x p x x x
-+'=+-=…… 4分 令()22h
x px x p =-+，要使()f x 在其定义域 (0,+
) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+) 内满足：h(x)
≥0 或 h(x)≤0 恒成立. ………… 5分
① 当0p ≤时，
()20,200px x h x ≤-
② 当0p >时，()2
2h x px x p =-+，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为()1
0x p
=
∈+∞，， ∴()min 11
h x h p p p ??==- ???
，只需10p p -≥，即p ≥1时， h(x)≥0，()0f x '≥， ∴
f (x) 在 (0,+
) 内为单调递增，故 p ≥1适合题意.
综上可得，p ≥1或 p ≤0
………… 9分
(III) ∵ g(x) = 2e
x 在 [1,e] 上是减函数
∴
x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e 即 g(x)
[2,2e]
………… 10分
① p ≤0 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 递减 f (x)max = f (1) = 0 < 2，不合题意。
②0 < p < 1 时，由x [1,e] x－1
x≥0
∴f(x)=p (x－1
x)－2lnx≤x－
1
x－2lnx 右边为f (x) 当p = 1 时的表达式，故在[1,e] 递增
∴ f (x)≤x－1
x－2ln x≤e－
1
e－2ln e = e－
1
e－2 < 2，不合题意。…………12分
③p≥1 时，由(II) 知f (x) 在[1,e] 连续递增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在[1,e] 上是减函数∴本命题 f (x)max > g(x)min = 2，x [1,e]
f (x)max = f (e) = p (e－1
e)－2ln e > 2 p >
4e
e 2－1…………13分
综上，p 的取值范围是(4e
e 2－1,+) …………14分
导数中恒成立问题(最值问题)
导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题， 也是高中数学非常重要的一个模块， 不管是小题，还 是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后， a f （x ）恒成立，则有a f （X ）max 2. 对于双变量的恒成立问题 f(x) min g(x)min 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的， （甚至我提出这样 一个观点，所有导数的题目95%3根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论， 3%是 ax b 与ax 3 b 这种形式根的讨论，2%!观察法得到零点，零点通常是1,-,e 之类），所以如果 e 我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一?二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知f （x ） ■ 2x2 2ax a 1定义域为R ，求a 的取值围 思考：①引入定义域（非R ） ② 参数在二次项，就需考虑是否为0 1 ③ 引入高次（3次，4次，—，I nx , e x 等等） x ④ 引入a 2, a 3等项（导致不能分离变量） f （x ）恒成立，则有a f ( x) min （若是存在性问题，那么最大变最小, 最小变最大） 如：化简后我们分析得到, a,b ， f (x) 0恒成立，那么只需 f ( x) min a,b ，使得 f(x) 0,那么只需f （X ）max 0 如：化简后我们分析得到, X i ,X 2 a,b ， f(xj g(X 2)，那么只需 f (X)min g ( X) max 如：化简后我们分析得到, X i a,b ， x 2 c, d 使f （xj gg ），那么只需 如：化简后我们分析得到, X i a,b ，X 2 C,d 使 f (X i ) g(X 2),那么只需 f (X)max g(x)min 还有一些情况了，这里不一一列举， 一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题， 成立问题（2014.03锡常镇一模那题特别典型） 总之一句话 （双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理 我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒
导数中的恒成立和存在性问题
导数中的恒成立和存在性问题
技巧传播 1．恒成立问题的转化：()a f x >恒成立max ()a f x ?>；()a f x ≤恒成立min ()a f x ?≤； 2．能成立问题的转化：()a f x >能成立min ()a f x ?>；()a f x ≤能成立max ()a f x ?≤； 3．恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立()a f x ?>的解集为R ()()a f x M M a f x C M >???≤?在上恒成立在上恒成立 ； 另一转化方法：若x D ∈，()f x A ≥在D 上恰成立，等价于()f x 在D 上的最小值min ()f x A =， 若x D ∈，()f x B ≤在D 上恰成立，则等价于()f x 在D 上的最大值max ()f x B =； 4．设函数()f x 、()g x ，对任意的1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≥，则min min ()()f x g x ≥； 5．设函数()f x 、()g x ，对任意的1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≤，则max max ()()f x g x ≤； 6．设函数()f x 、()g x ，存在1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≥，则max min ()()f x g x ≥； 7．设函数()f x 、()g x ，存在1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≤，则min max ()()f x g x ≤； 8．若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像上方； 9．若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像下方；
第18讲 导数的应用——利用导数研究不等式恒成立问题备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试
《导数的应用——利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题》 达标检测 [A 组]—应知应会 1．已知函数f (x )＝x ＋4 x ，g (x )＝2x ＋a ，若?x 1∈????12，1，?x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≤2 D ．a ≥2 【解析】选A.由题意知f (x )min ??? ?x ∈????12，1≥g (x )min (x ∈[2，3])，因为f (x )min ＝5，g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A. 2．(2020·吉林白山联考)设函数f (x )＝e x ????x ＋3x －3－a x ，若不等式f (x )≤0有正实数解，则实数a 的最小值为________． 【解析】原问题等价于存在x ∈(0，＋∞)，使得a ≥e x (x 2－3x ＋3)，令g (x )＝e x (x 2－3x ＋3)，x ∈(0，＋∞)，则a ≥g (x )min ，而g ′(x )＝e x (x 2－x )．由g ′(x )>0可得x ∈(1，＋∞)，由g ′(x )<0可得x ∈(0，1)．据此可知，函数g (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为g (1)＝e.综上可得，实数a 的最小值为e. 3．(2020·西安质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x －1. (1)求函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)若不等式f (x )≤ag (x )对任意的x ∈(1，＋∞)均成立，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)因为f ′(x )＝1 x ， 所以f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，所以切线的方程为y －f (1)＝f ′(1)(x －1)， 即所求切线的方程为y ＝x －1. (2)易知对任意的x ∈(1，＋∞)，f (x )＞0，g (x )＞0. ①当a ≥1时，f (x )≤g (x )≤ag (x )； ②当a ≤0时，f (x )＞0，ag (x )≤0，所以不满足不等式f (x )≤ag (x )； ③当0＜a ＜1时，设φ(x )＝f (x )－ag (x )＝ln x －a (x －1)，则φ′(x )＝1 x －a ，
用导数研究函数的恒成立与存在性问题-答案
用导数研究函数的恒成立与存在问题 1．已知函数23()2ln x f x x x a = -+，其中a 为常数． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围． 2．已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈，'()f x 是()f x 的导函数。 （1）当2a =时，对于任意的[1,1]m ∈-，[1,1]n ∈-，求()()f m f n '+的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()f x ＞0，求a 的取值范围。
3．已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. （1）若2=a ，求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间； （3）设22)(2 +-=x x x g ，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <， 求实数a 的取值范围.
4．（2016届惠州二模）已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点． ①求实数a 的值； ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数)，不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．
5．已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈． （1）当1a =时，01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤，求实数m 的取值范围； （2）若在区间1(,)+∞，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方，求实数a 的取值范围．
导数中恒成立问题(最值问题)
导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，()a f x ≥恒成立，则有max ()a f x ≥ ()a f x ≤恒成立，则有min ()a f x ≤ （若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[],x a b ?∈，()0f x ≥恒成立，那么只需min ()0f x ≥ [],x a b ?∈，使得()0f x ≥，那么只需max ()0f x ≥ 2.对于双变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥，那么只需min max ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，对[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ?∈使12()()f x g x ≥，那么只需 min min ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ∈使12()()f x g x ≥，那么只需max min ()()f x g x ≥ 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒成立问题（201 4.03苏锡常镇一模那题特别典型） 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的，（甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是 ax b +与3ax b +这种形式根的讨论，2%是观察法得到零点，零点通常是1 1,,e e 之类） ，所以如果我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一．二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知()f x =R ，求a 的取值范围 思考：① 引入定义域（非R ） ②参数在二次项，就需考虑是否为0 ③引入高次（3次，4次，1 x ，ln x ，x e 等等） ④引入2a ，3a 等项（导致不能分离变量）
导数之恒成立问题
应用导数研究函数的恒成立与存在性问题 例已知函数()()()21,ln 12 f x x x g x x a =+=+-. （1）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x =，求实数a 的取值范围； （2）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x >，求实数a 的取值范围； （3）若对任意[]0,2x ∈，恒有()()f x g x >，求实数a 的取值范围； （4）若对任意[]12,0,2x x ∈，恒有()()12f x g x >，求实数a 的取值范围； （5）若对任意[]20,2x ∈，存在[]10,2x ∈，使得()()12f x g x >，求实数a 的取值范围； （6）若对任意[]20,2x ∈，存在[]10,2x ∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围； （7）若存在[]12,0,2x x ∈，使得()()12f x g x >，求实数a 的取值范围； （8）若存在[]12,0,2x x ∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围；
(1)恒成立问题 ①. ①x①D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A； ①. ①x①D,均有f(x)﹤A恒成立,则f(x)ma xg(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,① F(x)min >0； ①. ①x①D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,① F(x) ma x <0； (2)存在性问题 ①. ①x0①D,使得f(x0)>A成立,则f(x) ma x >A； ①. ①x0①D,使得f(x0)﹤A成立,则f(x) min g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),① F(x) ma x >0； ①. ①x0①D,使得f(x0) g(x2)成立,则f(x)min > g(x)ma x； ① ①x1①D, ①x2①E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x) ma x > g(x) min； ① ①x1①D, ①x2①E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x)m in > g(x)m in； ① ①x1①D, ①x2①E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x)max > g(x)max.
导数在处理不等式的恒成立问题(一轮复习教案)
学习过程 一、复习预习 考纲要求： 1．理解导数和切线方程的概念。 2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。 3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。
5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题 二、知识讲解 1.导数的计算公式和运算法则 几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1 )'(-=n n nx x (Q n ∈)； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '= ； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '= 求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．
法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '= 法则3： ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 复合函数的导数：设函数()u x ?=在点x 处有导数()x u x ?'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导 数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ?=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或(())()()x f x f u x ??'='?' 2.求直线斜率的方法（高中范围内三种） (1) tan k α=（α为倾斜角）； (2) 1212 ()() f x f x k x x -= -，两点1122(,()),(,())x f x x f x ； (3)0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； 3.求切线的方程的步骤：（三步走） （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； （3）点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-； 4.用导数求函数的单调性： （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）()0f x '>，求单调递增区间； （3）()0f x '<，求单调递减区间； （4）()0f x '=，是极值点。 考点一 函数的在区间上的最值 【例题1】：求曲线29623-+-=x x x y 在)5,2(上的最值 。 【答案】：最大值为18，最小值为-2. 【解析】:∵根据题意09123'2=+-=x x y ，∴3,121==x x ,由函数的单调性，当11=x ，2=y ， 取得极大值；当32=x ，2-=y ，取得极小值；当5=x ，18=y 。所以最大值为18，最小值为-2.
利用导数解决恒成立能成立问题备课讲稿
利用导数解决恒成立能成立问题
利用导数解决恒成立能成立问题 一利用导数解决恒成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） (1)恒成立问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 1．若在x∈[1，+∞）上恒成立，则a 的取值范围是 ______ ． 2．若不等式x 4﹣4x 3＞2﹣a 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围 _________ ． 3．设a ＞0，函数，若对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f （x 1）≥g（x 2）成立，则a 的取值范围为 _________ ． 4．若不等式|ax 3 ﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a 取值范围是 _________ ．
15．设函数f（x）的定义域为D，令M={k|f（x）≤k恒成立，x∈D}，N={k|f（x）≥k恒成立，x∈D}，已知 ，其中x∈[0，2]，若4∈M，2∈N，则a 的范围是_________ ． 6．f（x）=ax3﹣3x（a＞0）对于x∈[0，1]总有f（x）≥﹣1成立，则a的范围为_________ ． 7．三次函数f（x）=x3﹣3bx+3b在[1，2]内恒为正值，则b的取值范围是_________ ． 8．不等式x3﹣3x2+2﹣a＜0在区间x∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a的取值范围是__ ． 9．当x∈（0，+∞）时，函数f（x）=e x的图象始终在直线y=kx+1的上方，则实数k的取值范围是_________ ．10．设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的 x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为 _________ ．
导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧
函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结： 1、分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4、构造新函数法 一、分离讨论思想： 例题1： 讨论下列函数单调性： 1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x 2、()x f =)0,11(1 2≠<<--b x x bx 二、判别法 例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）???<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 （2）?? ???<-=-=-040)2(202a a 解（1）得???<<-<2 22a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２． 练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 三、分离法参数： 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即： （1） 对任意x 都成立()min x f m ≤ （2）对任意x 都成立。 例3．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(利用导数解决恒成立能成立问题
利用导数解决恒成立能成立问题 一利用导数解决恒成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） (1)恒成立问题 若不等式A x f 在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上min f x A 若不等式B x f 在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上max f x B 1．若在x ∈[1，+∞）上恒成立，则a 的取值范围是______ ． 2．若不等式x 4﹣4x 3＞2﹣a 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围_________ ． 3．设a ＞0，函数，若对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f （x 1）≥g （x 2）成立，则a 的取值范围为_________ ． 4．若不等式|ax 3﹣lnx|≥１对任意x ∈（0，1]都成立，则实数a 取值范围是_________ ． 15．设函数f （x ）的定义域为D ，令M={k|f （x ）≤ｋ恒成立，x ∈D}，N={k|f （x ）≥ｋ恒成立，x ∈D}，已知，其中x ∈[0，2]，若4∈M ，2∈N ，则a 的范围是_________ ． 6．f （x ）=ax 3﹣3x （a ＞0）对于x ∈[0，1]总有f （x ）≥﹣1成立，则a 的范围为_________ ． 7．三次函数f （x ）=x 3﹣3bx+3b 在[1，2]内恒为正值，则b 的取值范围是_________ ． 8．不等式x 3﹣3x 2+2﹣a ＜0在区间x ∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是__ ．
9．当x ∈（0，+∞）时，函数f （x ）=e x 的图象始终在直线y=kx+1的上方，则实数k 的取值范围是_________ ． 10．设函数f （x ）=ax 3﹣3x+1（x ∈R ），若对于任意的x ∈[﹣1，1]都有f （x ）≥０成立，则实数a 的值为_________ ． 11．若关于x 的不等式x 2+1≥kx 在[1，2]上恒成立，则实数k 的取值范围是_________ ． 12．已知f （x ）=ln （x 2+1），g （x ）=（）x ﹣m ，若?x 1∈[0，3]，?x 2∈[1，2]，使得f （x 1）≥g （x 2），则实数m 的取值范围是（） A ．[，+∞） B ．（﹣∞，] C ．[，+∞） D ．（﹣∞，﹣] 13．已知，，若对任意的x 1∈[﹣1，2]，总存在x 2∈[﹣1，2]，使得g （x 1）=f （x 2），则m 的取值范围是（） A ．[0，] B ．[，0] C ．[，] D ．[，1] 二利用导数解决能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式A x f 成立,则等价于在区间D 上max f x A ；若在区间D 上存在实数x 使不等式 B x f 成立,则等价于在区间D 上的 min f x B.如14．已知集合A={x ∈R|≤2}，集合B={a ∈R|已知函数f （x ）=﹣1+lnx ，?x 0＞0，使f （x 0）≤０成立}，则A ∩B=（）
高二数学导数中的恒成立问题专题学案(含答案)
1 第 讲 导数中的恒成立问题 时间： 年 月 日 刘满江老师 学生签名： 一、 兴趣导入 二、 学前测试 §1. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率 ，相应的切线 方程是 . §2.几种常见函数的导数 ①'C = ；②'()n x = ； ③'(sin )x = ； ④'(cos )x = ； ⑤'()x a = ； ⑥'()x e = ； ⑦'(log )a x = ；⑧'(ln )x = §3.导数的运算法则 （1）'()u v ±= . （2）'()uv = . （3）' ()u v = .(0)v ≠ §4.复合函数求导法则 复合函数(())y f g x =的导数和函数(),()y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的 导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 解题步骤:分层—层层求导—作积还原. §5.函数的极值 (1)极值定义： 极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极 值； 极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＞)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极 值. (2)判别方法： ①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极 值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极 值. 三、 方法培养
导数与不等式的恒成立问题
导数与不等式的恒成立问题 规范答题示专题 典例 (12分)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx . (1)证明：f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增； (2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围． 审题路线图 (1)求导f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x ―→讨论m 确定f ′(x )的符号―→证明结论 (2)条件转化为(|f (x 1)－f (x 2)|)max ≤e －1 ―――――→结合(1)知 f (x )min ＝f (0) ? ?? ?? f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1―→? ?? ?? e m －m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1―→ 构造函数g (t )＝e t －t －e ＋1―→研究g (t )的单调性―→寻求? ???? g (m )≤0， g (－m )≤0的条件―→ 对m 讨论得适合条件的范围
评分细则 (1)求出导数给1分； (2)讨论时漏掉m ＝0扣1分；两种情况只讨论正确一种给2分； (3)确定f ′(x )符号时只有结论无中间过程扣1分； (4)写出f (x )在x ＝0处取得最小值给1分； (5)无最后结论扣1分； (6)其他方法构造函数同样给分． 跟踪演练 已知函数f (x )＝1 x －x ＋a ln x . (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2， 证明：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 导数恒成立问题(教师版)
导数恒成立问题 1、已知函数（a 为实数） （I ）若 在 处有极值，求a 的值； （II ）若在]23[--，上是增函数，求a 的取值范围。 1.解（I ）由已知得的定义域为 又 由题意得 （II ）解法一：依题意得 对 恒成立， 的最大值为 的最小值为 。 又因 时符合题意 为所求 2、设函数2 ()ln f x x x ax =++. （Ⅰ）若1 2 x = 时，()f x 取得极值，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围； 2.解： 2121 ()2x ax f x x a x x ++'=++=， （Ⅰ）因为12x = 时，()f x 取得极值，所以1 ()02 f '=， 即210,a ++= 故3a =-． （Ⅱ）()f x 的定义域为()0+∞，. 方程2 210x ax ++=的判别式2 8a ?=-,
(1) 当0?≤, 即a -≤≤2 210x ax ++≥, ()0f x '≥在()0+∞，内恒成立, 此时()f x 为增函数. (2) 当0?>, 即a <- 或a > 要使()f x 在定义域()0+∞，内为增函数, 只需在()0+∞，内有2 210x ax ++≥即可, 设2 ()21h x x ax =++， 由(0)10, 022 h a =>???-, 所以a > 由(1) (2)可知,若()f x 在其定义域内为增函数，a 的取值范围是[)-+∞. 3、设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+. （Ⅰ）求f (x )的单调区间； （Ⅱ）若当1[1,1]x e e ∈--时，不等式f (x )，得x >0；由/()0f x <，得10x -<<. ∴ f (x )的递增区间是(0,)+∞，递减区间是（-1, 0）. （Ⅱ）∵ 由/2(2)()01 x x f x x +==+，得x =0,x =-2（舍去） 由（Ⅰ）知f (x )在1[1, 0]e -上递减，在[0, 1]e -上递增. 又 211(1)2f e e -=+， 2(1)2f e e -=-, 且22 122e e ->+. ∴ 当1[1,1]x e e ∈--时，f (x )的最大值为22e -. 故当22m e >-时，不等式f (x ),得x >1或x <-1（舍去）. 由/()0g x <, 得11x -<<. ∴ g (x )在[0,1]上递减, 在[1,2]上递增. 为使方程2()f x x x a =++在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根，
高考数学专题：导数恒成立问题(含答案)
1、设函数f(x)＝1 3x 3－ a 2x 2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. (1)求b，c的值； (2)若a>0，求函数f(x)的单调区间； (3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 2、已知函数f(x)＝e x－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1. (1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x>0时，x21. 4、已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x，其中a∈R. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围； (3)若?x1，x2∈(0，＋∞)，且x1导数中的恒成立问题
课题：导数中的恒成立问题 教学目标： 知识与技能：理解导数中恒成立问题；掌握导数中恒成立问题的常见题型 及解决 的方法与技巧。培养学生综合分析、解决问题的能力。 过程与方法：通过课堂导学，归纳总结常见题型与解决策略。通过训练进一步提升 综合分析和解决问题的能力。 情感态度与价值观：通过引导学生分析典型例题，使学生掌握解决问题的方法，从 而培养学生的学习兴趣，增强自信心。 教学重点：导数中恒成立问题的常见题型及解决策略。 教学难点：利用分类讨论和分离参数的方法来解决导数中的恒成立问题。 教学过程： 引入：由于在前几次的测试和模拟中，21题得分率不高，而这道题在高考中难度较高，区分度较大。所以，本节课我们针对《导数恒成立问题》做一节专题训练。 一、 课前训练： 1、设函数x x e e x f --=)(，若对所有0≥x ，都有ax x f ≥)(成立，求实数a 的取值范围。 2、已知x a x x f -=ln )(，若x x f <)(在[)+∞,1上恒成立，试确定实数a 的取值范围。 3、设R a ∈，若0>x 时均有 []0)1(1)1(2≥----ax x x a 成立，则a 的值为 。 4、已知函数112)(3+-=x x x f 。当20≤高中数学压轴题系列——导数专题——恒成立问题(分类讨论和分离变量)
高中数学压轴题系列——导数专题——恒成立问题（分类讨论和分离变量）头条号：延龙高中数学微信：gyl_math123 1．（2018?全国一模）已知函数f（x）=﹣4x3+ax，x∈R． （1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为1，求实数a的取值集合．解：（1）f'（x）=﹣12x2+a． 当a=0时，f（x）=﹣4x3在R上单调递减； 当a＜0时，f'（x）=﹣12x2+a＜0，即f（x）=﹣4x3+ax在R上单调递减； 当a＞0时，f'（x）=﹣12x2+a.时， f'（x）＜0，f（x）在上递减； 时，f'（x）＞0，f（x）在上递增； 时，f'（x）＜0，f（x）在上递减； 综上，当a≤0时，f（x）在R上单调递减； 当a＞0时，f（x）在上递减；在上递增；上递减． （2）∵函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为1．即对任意x∈[﹣1，1]，f（x）≤1恒成立． 亦即﹣4x3+ax≤1对任意x∈[﹣1，1]恒成立．变形可得，ax≤1+4x3． 当x=0时，a?0≤1+4?03即0≤1，可得a∈R； 当x∈（0，1]时，．则令，则． 当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0．因此，，∴a≤3． 当x∈[﹣1，0）时，．则令，则． 当x∈[﹣1，0）时，f'（x）＜0，因此，g（x）max=g（﹣1）=3，∴a≥3． 综上，a=3，∴a的取值集合为{3}． 2．（2018?遂宁模拟）已知函数f（x）= （1）求函数f（x）的单调区间和极值点； （2）当x≥1时，f（x）≤a（1﹣）恒成立，求实数a的取值范围． 解：（1）因为f（x）=，求导得f′（x）=，令f'（x）=0，解得x=e，…（2分） 又函数的定义域为（0，+∞），当x∈（0，e）时，f'（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，
函数导数中的恒成立问题解题技巧
函数导数中的恒成立问题解题技巧 函数导数中的恒成立问题解题技巧 新课标下的高考越来越重视考查知识的综合应用，恒成立问题涉及方程、不等式、函数性质与图象及它们之间的综合应用，同时渗透换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，考查综合解题能力，尤其是在函数、导数中体现的更为明显，也是历年高考的热点问题,根据本人的体会，恒成立问题主要有以下几种. 一、利用函数的性质解决恒成立问题 例1 已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． (1)若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； (2)若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．． ，求a 的取值范围． 解：(1)由题意得)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f 又? ??-=+-='==3)2()0(0)0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a (2)函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于 导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有 0)1()1(<'-'f f ， 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ，解得15-<<-a 所以a 的取值范围是{}15-<<-a a . 【方法点评】利用函数的性质解决恒成立问题，主要是函数单调性的应用，函数在给定的区间上不单调意味着导函数在给定的区间上有零点，利用函数零点的存在性定理即可解决问题. 二、利用数形结合思想解决恒成立问题 例2 已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点． （1）求a ； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围． 【方法指导】（1）在极值点处导数为零，可以求a 的值；（2）求函数的单调区间
函数导数中的恒成立问题解题技巧
临沂市高三二轮会材料 函数导数中的恒成立问题解题技巧 函数导数中的恒成立问题解题技巧 新课标下的高考越来越重视考查知识的综合应用，恒成立问题涉及方程、不等式、函数性质与图象及它们之间的综合应用，同时渗透换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，考查综合解题能力，尤其是在函数、导数中体现的更为明显，也是历年高考的热点问题,根据本人的体会，恒成立问题主要有以下几种. 一、利用函数的性质解决恒成立问题 例1 已知函数32 =+--++(,) ()(1)(2) f x x a x a a x b a b∈R．
(1)若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； (2)若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．． ，求a 的取值范围． 解：(1)由题意得)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f 又? ??-=+-='==3)2()0(0)0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a (2)函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于 导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有 0)1()1(<'-'f f ， 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ，解得15-<<-a 所以a 的取值范围是{}15-<<-a a . 【方法点评】利用函数的性质解决恒成立问题，主要是函数单调性的应用，函数在给定的区间上不单调意味着导函数在给定的区间上有零点，利用函数零点的存在性定理即可解决问题. 二、利用数形结合思想解决恒成立问题 例2 已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点． （1）求a ； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围． 【方法指导】（1）在极值点处导数为零，可以求a 的值；（2）求函数的单调区间借助()0f x '>可以求出单调递增区间，()0f x '<可以求出单调递减区间；（3）根据函数()f x 的单调性可以求出其极大值和极小值，画出图象，数形结合可以求出b 的取值范围. 解：（1）因为()'2101a f x x x =+-+，所以()'361004 a f =+-=，因此16a =． （2）由（1）知，()()()216ln 110,1,f x x x x x =++-∈-+∞，()() 2'2431x x f x x -+=+ 当()()1,13,x ∈-+∞ 时，()'0f x >；当()1,3x ∈时，()'0f x <． 所以()f x 的单调增区间是()()1,1,3,-+∞，()f x 的单调减区间是()1,3．
导数恒成立问题(学生版)
导数恒成立问题 1、已知函数 （a 为实数） （I ）若 在处有极值，求a 的值； （II ）若 在]23[--，上是增函数，求a 的取值范围。 2、设函数2()ln f x x x ax =++. （Ⅰ）若12 x =时，()f x 取得极值，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围； 3、设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+. （Ⅰ）求f (x )的单调区间； （Ⅱ）若当1[1,1]x e e ∈--时，不等式f (x )4、已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围. 5、已知函数239()()(24 f x x x =++）对任意m x f x f x x ≤--∈|)()(|],0,1[,2121不等式恒 成立，试求m 的取值范围。 6、已知函数()2 a f x x x =+，()ln g x x x =+，其中0a >． （1）若函数()x f y =在[]e ,1上的图像恒在()x g y =的上方，求实数a 的取值范围． （2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立， 求实数a 的取值范围．
7、设函数 (1)当a=1时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在其定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；(3)设函数 ，若在[l ，e]上至少存在一组使成立，求实数a 的取值范围. 8、设函数x e x x f 22 1)(=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）若当]2,2[-∈x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围． 9、已知21()(1)2 x f x e a x =-+ （1）求()f x 在0x =处的切线方程．（2）若()f x 在区间(0,2]x ∈为增函数，求a 的取值范围
