201x版中考数学专题复习 专题八 综合应用(30)探索性问题学案
2019版中考数学专题复习专题八综合应用（30）探索性问题学
案
【学习目标】
1.通过观察、类比、操作、猜想、探究等活动，了解探索性数学问题中的常见四大类型,并体会解题策略.
2.能够根据相应的解题策略解决探索性问题.
3.使学生会关注探索性数学问题，提高学生的解题能力.
【重点难点】
重点：条件探索型、结论探索型、规律探索型的问题.
难点：对各探索型问题策略的理解.
【知识回顾】
1.
_____．
2. 观察下面的一列单项式：x，2
2x
-，3
4x，4
8x
-，…根据你发现的规律，第7个单项式为；第n个单项式为
3. 观察算式：
22
4135
-=?；
22
5237
-=?；
22
6339
-=?
22
74311
-=?；
…………
则第n（n是正整数）个等式为________.
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D．
由以上两个条件可得________．(写出一个结论) 2
1
D C
B
A
【综合运用】
例1抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，根据这个函数图象，你能得到关于该函数的那些性质和结论？
例2（1）探究新知：如图①，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试探究AB 与CD 的位置关系，并说明理由．
（2）结论应用：① 如图②，点M ，N 在反比例函数
k
y x
（k ＞0）的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ．试探究MN 与EF 的位置关系． ② 若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图③所示，试探究MN 与EF 的位置关系．
O
y N M
图②
E
F
x
N x
O y D
M
图③
E
N
F
A
B D
C
图①
G H
【直击中考】
1. 对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；
第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；
第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2．
（1）证明：∠ABE=30°；
（2）证明：四边形BFB′E为菱形．
2. 已知点A(－1，－1)在抛物线y=(k2－1)x2－2(k－2)x+1上，
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若B点与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由.
【总结提升】
1.请你画出本节课的知识结构图.
2.通过本课复习你收获了什么？
【课后作业】 一、必做题：
1、如图，坐标平面内一点A (2，－1)，O 为原点，P 是x 轴上的一个动点，如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为( ) A .2 B .3 C .4 D .5
2、已知（x 1，y 1），(x 2，y 2)为反比例函数x
k
y
图象上的点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则k 的值可为___________.（只需写出符合条件的一个．．k 的值）
二、选做题：
3、（xx.山东临沂）如图1，已知矩形ABED ，点C 是边DE 的中点，且AB =2AD. (1)判断△ABC 的形状，并说明理由；
(2)保持图1中的△ABC 固定不变，绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧）.试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明；
(3)保持图2 中的△ABC 固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧）.试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明.
探索性问题复习学案答案
综合运用
例1.对称轴是x = -1,开口向下，与y 轴交于（0,3）点等 例2. （1）证明：分别过点C ，D ，作CG ⊥AB ，DH ⊥AB ， 垂足为G ，H ，
则∠CGA =∠DHB =90°． ∴ CG ∥DH ． ∵ △A BC 与△ABD 的面积相等， ∴ CG =DH ． ∴ 四边形CGHD 为平行四边形． ∴ AB ∥CD ．
（2）①证明：连结MF ，NE ．
设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2）． ∵ 点M ，N 在反比例函数（k ＞0）的图象上， ∴
∵ ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴， ∴ OE =y 1，OF =x 2．
∴ S △EFM = 111122x y k = S △EFN = 2211
22
x y k =
∴S △EFM =S △EFN ．
由（1）中的结论可知：MN ∥EF ． ② MN ∥EF ．
错误！未找到引用源。直击中考
1. 证明：（1）∵对折AD 与BC 重合，折痕是MN ， ∴点M 是AB 的中点， ∴A ′是EF 的中点， ∵∠BA′E=∠A =90°， ∴BA ′垂直平分EF ， ∴BE =BF ，
∴∠A′BE =∠A′BF ，
由翻折的性质，∠ABE=∠A′BE，
∴∠ABE=∠A′BE=∠A′BF，
∴∠ABE=×90°=30°；
（2）∵沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，∴BE=B′E，BF=B′F，
∵BE=BF，
∴BE=B′E=B′F=BF，
∴四边形BFB′E为菱形．
2. （1）把点A的坐标代入抛物线方程并解得k=－3或k=1.∵k2－1≠0 ∴k=1舍去
∴y=8x2+10x+1 ∴对称轴为x=
5 8 -
（2）设点B坐标为(a，b)
∵点B与A(－1，－1)关于x=
5
8
-对称.
∴a
5
8
-=
5
8
-－(－1)得a=
1
4
-，b=－1
∴点B坐标为(
1
4
-，－1)
假设存在直线y=mx+n与抛物线y=8x2+10x+1只交于点B(
1
4
-，－1)，
则
1
4
-m+n=－1…………①
又由
解得8x2+(10－m)x+1－n=0
∵直线与抛物线只交于一点，即上述方程的两根相等，∴△=0即(10－m)2－32(1－n)=0…………②
另一方面，当直线过B(
1
4
-，－1)且与y轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，
此直线为x=
1 4 -
综上，符合条件的直线存在，并且有两条，分别为y=6x+1
2
和x=
1
4
-.
课后作业
必做题：1.C 2.略
选做题：3. （1）△ABC为等腰直角三角形. 如图1，在矩形ABE D中，
∵点C是边DE的中点，且AB=2AD，
∴AD=DC=CE=EB，DD=DE=90°，
∴Rt△ADC≌Rt△BEC，
∴AC=BC，∠1=∠2=45°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形；
（2）DE=AD+BE；
如图2，在Rt△ADC和Rt△CEB中，
∵∠1+∠CAD=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠CAD=∠2，
又∵AC=CB，∠ADC=∠CEB=90°，
∴Rt△ADC≌Rt△CEB，
∴DC=BE，CE=AD，
∴DC+CE=BE+AD，即DE=AD+BE；（3）DE=BE-AD.
如图3，Rt△ADC和Rt△CEB中，
∵∠1+∠CAD=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠CAD=∠2，又
∵∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB，
∴Rt△ADC≌Rt△CEB，
∴DC=BE，CE=AD，
∴DC-CE=BE-AD，即DE=BE-AD.
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