《边界元法》
《边界元法》课程教学大纲
课程名称：边界元法
英文名称：boundary element method
课程编码：51416018
学时/学分：36/2
课程性质：必修
适用专业：工程力学
先修课程：高等数学、偏微分方程、数值分析和有限元法等
一、课程的目的与任务
本课程是工程力学专业的必修课程，是学习相关后续课程的基础，一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元,用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。
二、教学内容及基本要求
第一章引言
教学目的和要求：掌握边界元的基本概念；了解边界元法的分类和学习边界元法
的基础条件。
教学重点和难点：重点掌握边界元法的基本解题思路。难点怎么利用积分法解微
分方程的基本解。
教学方法与手段：采用多媒体教学，边界元法的研究方法和学习方法与有限元法
相比，具有自己的特点，即力学中的微分方程的定解问题化为
边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数的
分片插值求解的数值方法。
课时安排：1学时
教学内容：
第一节边界元法的数学基础
第二节边界元法的发展历史
第三节我国边界元法研究概况
第四节边界元法研究的最新进展
第五节边界元法的应用举例
第六节边界元法的优缺点
第七节本书的内容安排
复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。
考核知识点：边界元法的基础条件、微分方程的定解问题、插值求解的数值方法。
第二章位势问题的边界积分方程与边界元法
教学目的和要求：掌握位势问题中的拉普拉斯(Laplace)方程的解法，位势问题中
的边界条件，了解珀松方程的基本概念。要求学生能够利用微
积分知识推导拉普拉斯方程的基本解，并将它应用于格林
(Green)定理，得到拉普拉斯方程问题的积分方程和边界积分方
程。能够熟练的采用最简单的常用单元说明边界积分方程的离
散化方法。能够熟练的简述珀松(Poisson)方程和多连域问题的
边界元法。
教学重点和难点：重点讲解求解多连域珀松方程问题的计算程序和数值计算，以
及数值积分所使用的一维、二维高斯方程积分公式。难点求解
方程的方法和计算程序的确定。
教学方法与手段：采用多媒体教学，结合实例。
课时安排：4学时
教学内容：
第一节调和方程的基本定解问题
第二节Green等式、基本解及解的积分表达式
第三节边界积分方程的建立
第四节对于一般问题的推广
第五节位势问题的边界元法简介
复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布
置作业1～2题。
考核知识点：拉普拉斯(Laplace)方程的求解方法、格林(Green)定理和珀松(Poisson)方程。
第三章线弹性静力学问题的边界积分方程
教学目的和要求：掌握静力学线弹性问题的边界元方法，理解和掌握根据基本解的物理意义，能够利用弹性力学方法求出平面弹性问题的基本解。能够
由按位移求解平面弹性问题的基本方程和基本解出发，应用积分定
理，求解积分方程和边界积分方程，并用常用单位进行离散化求解。
了解具有体积力的弹性问题解法，以及对无限域问题进行讨论。
教学重点和难点：重点掌握线弹性问题的边界元的解法，能够利用弹性力学知识求平面弹性问题。难点弹性问题中的应力、应变和位移等矢量场的确定，
以及积分和微分方程的求解方法。
教学方法与手段：采用多媒体教学。
课时安排：6学时
教学内容：
第一节线弹性静力学定解问题的微分提法
第二节Betti定理、Kelvin解及Somigliana等式
第三节线弹性静力学的边界积分方程
第四节建立基本解的一种一般方法
复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。
考核知识点：Betti定理、Kelvin解及Somigliana等式，线弹性静力学的边界积分方程。
第四章几种常见的直接法和间接法边界积分方程
教学目的和要求：掌握核函数的扩充，变截面轴的扭转问题，弹性薄板弯曲问题，半空间、半平面问题，位势问题的间接法边界积分方程，位移间断法
建立的边界积分方程等知识。要求学生能熟练的求解弹性薄板弯曲
问题的基本边界积分方程和弹性薄板弯曲问题的补充边界积分方
程。
教学重点和难点：本章重点掌握弹性裂纹问题的对偶边界积分方程和位势问题的间接
法边界积分方程。重点域外回线虚载荷法建立的回线积分方程和域
外奇点法建立的边界积分方程求解方法。
教学方法与手段：采用多媒体教学。
课时安排：4学时
教学内容：
第一节核函数的扩充
第二节回转体问题
4.2.1 变截面轴的扭转问题
4.2.2 轴对称问题
4.2.3 回转体的弯曲问题
第三节弹性薄板弯曲问题
4.3.1 弹性薄板弯曲问题的微分提法
4.3.2 弹性薄板弯曲问题的基本边界积分方程
4.3.3 弹性薄板弯曲问题的补充边界积分方程
第四节弹性裂纹问题的对偶边界积分方程
4.4.1 位移边界积分方程
4.4.2 面力边界积分方程
第五节半空间、半平面问题
4.5.1 半空间问题
4.5.2 半平面问题
第六节位势问题的间接法边界积分方程
第七节虚应力法建立的边界积分方程
第八节位移间断法建立的边界积分方程
第九节域外回线虚载荷法建立的回线积分方程
第十节域外奇点法建立的边界积分方程
第十一节边界积分方程的正则化和基本解的恒等式
复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。
考核知识点：弹性薄板弯曲问题、半空间、半平面问题。
第五章二维问题的边界元数值方法与程序实现
教学目的和要求：了解和掌握流动相和二维问题边界元数值方法和计算程序的现实。教学重点和难点：一般了解流二维边界条件的离散化方法，边界积分方程的离散化、核函数与形函数乘积的等精度Gauss积分、方程的求解以及边界应
力、内点位移和应力的确定。难点边界元法计算误差的一种直接估
计和边界元子域法。
课时安排：5学时
教学内容：
第一节边界的离散化
5.1.1 二维域边界线的几何描述及单元自动划分
5.1.2 二维域的边界线元单元描述
第二节边界积分方程的离散化
5.2.1 由加权余量法配点格式将边界积分方程化为线性代数方程组
5.2.2 核函数与形函数乘积的等精度Gauss积分
5.2.3 奇异积分的处理
5.2.3.1 弱奇异积分的处理
5.2.3.2 Cauchy主值积分和超奇异积分的简单特解法
5.2.3.3 Cauchy主值积分和超奇异积分的有限部分积分的一般性处理方法
第三节方程的求解以及边界应力、内点位移和应力的确定
5.3.1 离散化的边界积分方程的求解
5.3.2 边界应力的确定
5.3.3 内点位移和应力的确定
第四节边界元法计算误差的一种直接估计
5.4.1 内点变量趋于边界点极限的确定
5.4.2 边界元解误差的一种直接估计
5.4.3 基于边界元解误差直接估计的边界元自适应计算简例
第五节边界元子域法
5.5.1 边界元链状子域法
5.5.2 边界元重复相似子域法
5.5.3 边界元行列子域法
教学方法与手段：采用多媒体教学。
复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。
考核知识点：边界积分方程的离散化、方程的求解以及边界应力、内点位移和应力的确定。
辅助教学活动：观察模型实验。
第六章三维问题的边界元数值方法
教学目的和要求：本章重点掌握三维边界的离散化、边界积分的离散化、线性代数方程组的边界元数值解法等。了解裂纹问题对偶边界元法和边界元一
有限元耦合方法。
教学方法与手段：采用多媒体教学。
课时安排：4学时
教学内容：
第一节边界的离散化
6.1.1 用I-J映射法自动划分单元
6.1.2 三维域的边界面元单元描述
第二节边界积分方程的离散化
6.2.1 核函数与形函数乘积的等精度Gauss积分
6.2.2 弱奇异积分的处理
6.2.3 奇异积分和近奇异积分的简单特解法
6.2.4 Cauchy主值积分的直接计算法
6.2.5 超奇异积分的有限部分积分
第三节线性代数方程组的求解
第四节裂纹问题对偶边界元法
6.4.1 裂纹面的分元离散
6.4.2 确定应力强度因子的方法
第五节边界元一有限元耦合方法
复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。
考核知识点：三维离散化方法、线性方程组的边界元方法。
第七章与时间有关问题的边界元法
教学目的和要求：掌握瞬态热传导问题的拉普拉斯变换发，能够熟练的解决考虑时间问题的边界元数值解。了解弹性力学中考虑时间因素的边界元方
法。
教学重点和难点：本章在前面知识的基础上，重点讲解时间对边界元法求解方程的影响，学习于与时间有关基本解的边界积分方程与边界元法，了解
Laplace反演方法和双重互易法。难点为弹性动力学问题的求解方
法。
教学方法与手段：采用多媒体教学。
课时安排：4学时
教学内容：
第一节瞬态热传导问题
7.1.1 Laplace变换法
7.1.2 边界元一时间差分耦合法
7.1.3 与时间有关的基本解
第二节弹性动力学问题
7.2.1 基于与时间有关基本解的边界积分方程与边界元法
7.2.1.1 与时间有关的基本解
7.2.1.2 时间一空间域的边界积分方程
7.2.1.3 时间一空间域的弹性动力学边界元法
7.2.2 Laplace变换法
7.2.2.1 在Laplace变换空间的边界积分方程
7.2.2.2 边界积分方程的离散
7.2.2.3 Laplace反演方法
7.2.3 双重互易法
复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。
考核知识点：考虑时间效应的Laplace变换法、与时间有关的基本解、时间一空
间域的边界积分方程。
三、课程教学的特色说明
本课程以课堂教学为主（30学时），以讲解习题和实际编程计算演示为辅，力求形式多样，生动活泼充分激发学生的学习积极性，编写实际程序视具体情况而定。教学过程中每节课后均布置一定数量的课外作业，以促进、检查学生的学习情况，发现普遍问题时，可安排适量的习题课或讨论课（2学时）。实验学时为4学时。
编写程序的主要内容是：位势问题的边界积分方程与边界元法程序（2学时）、线性方程组的边界元方法程序（2学时）以及边界元一时间差分耦合法程序（2学时）。
四、考试大纲
1．考试的目的与作用
考试的目的与作用是为了让学生全面复习全书各章内容，掌握各章重点内容。
2．考核内容与考核目标
考核内容包括本大纲各章所规定的基本要求、知识点及知识点以下的知识细目。考试内容覆盖到章，并适当突出重点章节，加大重点内容的覆盖密度。
考核目标是全面掌握边界元学的基本内容和基本理论以及求解方程的基本方法和程序的编写。
3．主要参考书
（1）边界元法，姚振汉主编，高等教育出版社，2010.
（2）自然边界元法在力学中的应用，彭维红，董正筑主编，浙江大学出版社，2010.
（3）边界元分析，祝家麟，袁政强主编，科学出版社，2009.
4．课程考试内容与教材的关系
课程考试内容要覆盖大纲全部内容，紧扣教材，难度与教材上的例题和习题难度相当。
5．分章节的考核知识点
第一章引言
主要考核知识点为：边界元的基本概念、边界元的求解方法。
第二章位势问题的边界积分方程与边界元法
主要考核知识点为：拉普拉斯(Laplace)方程的求解方法、格林(Green)定理和珀松(Poisson)方程。
第三章线弹性静力学问题的边界积分方程
主要考核知识点为：Betti定理、Kelvin解及Somigliana等式，线弹性静力学的边界积分方程。
第四章几种常见的直接法和间接法边界积分方程
主要考核知识点为：弹性薄板弯曲问题、半空间、半平面问题。
第五章二维问题的边界元数值方法与程序实现
主要考核知识点为：边界积分方程的离散化、方程的求解以及边界应力、内点位移和应力的确定。
第六章三维问题的边界元数值方法
主要考核知识点为：三维离散化方法、线性方程组的边界元方法。
第七章与时间有关问题的边界元法
主要考核知识点为：考虑时间效应的Laplace变换法、与时间有关的基本解、时间一空间域的边界积分方程。
6．题目类型、考核方法
本课程在试卷中对不同层次要求的分数比例大致是：“了解”占20％，“掌握” 占30％，“简单应用” 占30％，“综合应用” 占20％。
合理安排试题的难易程度：试题的难度可分为：易、较易、较难和难四个等级。每份试卷中不同难度试题的比例一般为：2﹕3﹕3﹕2。
本课程可采用的题型有：填空题、选择题、计算题。
考试类型：闭卷。
7．考试时间
考试时间为120分钟。
8．成绩评定办法
成绩评定分为三部分：考试卷面按百分制，占总成绩的70％，平时成绩包括学习态度、到课率、平时作业等部分，占30％，总成绩90分以上为优秀，80～89分为良好，70～79分为中，60～69分为及格，60分以下为不及格。
五、学时分配
学时分配表
六、课程主要参考书
（1）边界元法，姚振汉主编，高等教育出版社，2010.
（2）自然边界元法在力学中的应用，彭维红，董正筑主编，浙江大学出版社，2010.
（3）边界元分析，祝家麟，袁政强主编，科学出版社，2009.
制定（修订）人：徐志军审核人：审核人：刘起霞批准人：王振清制定（修订）时间：2013.3 审核时间：2013.3 批准时间：2013.3