数字滤波器设计

1.CDIO项目设计目的及意义

（1）了解FIR数字滤波器和IIR数字滤波器的原理与设计方法；

（2）了解FIR数字滤波器和IIR数字滤波器的特性特点；

（3）对MATLAB的仿真有一个明确的了解，体会软件的功能和现实意义。2.CDIO项目设计正文

2.1数字滤波器的研究背景和发展趋势

2.1.1数字滤波器的研究背景和意义

当今，数字信号处理技术正飞速发展，它不但自成一门学科，更是以不同形式影响和渗透到其他学科；它与国民经济息息相关，与国防建设紧密相连；它影响或改变着我们的生产、生活方式，因此受到人们普遍的关注数字化、智能化和网络化是当代信息技术发展的大趋势，而数字化是智能化和网络化的基础，实际生活中遇到的信号多种多样，例如广播信号、电视信号、雷达信号、通信信号、导航信号等等。上述这些信号大部分是模拟信号，也有小部分是数字信号。模拟信号是自变量的连续函数，自变量可以是一维的，也可以是二维或多维的。大多数情况下一维模拟信号的自变量是时间，经过时间上的离散化（采样）和幅度上的离散化（量化），这类模拟信号便成为一维数字信号。因此，数字信号实际上是数字序列表示的信号，语音信号经采样和量化后，得到的数字信号是一个一维离散时间序列；而图像信号的经采样和量化后，得到的是数字信号是一个二维离散空间序列。

数字滤波技术是数字信号分析、处理技术的重要分支。无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传输时至关重要的。在所有的电子系统中，使用最多技术最复杂的要算数字滤波器了。数字滤波器的优劣直接决定产品的优劣。

2.1.2数字滤波器的应用与发展趋势

在信号处理过程中，所处理的信号往往混有噪音，从接收到的信号中消除或减弱噪音是信号传输和处理中十分重要的问题。根据有用信号和噪音的不同特性，提取有用信号的过程称为滤波，实现滤波功能的系统称为滤波器。在近代电信设备和各类控制系统中，数字滤波器应用极为广泛，这里只列举部分应用最成功的领域。

(1) 语音处理

语音处理是最早应用数字滤波器的领域之一，也是最早推动数字信号处理理论发展的领域之一。该领域主要包括5个方面的内容：第一，语音信号分析。即对语音信号的波形特征、统计特性、模型参数等进行分析计算；第二，语音合成。即利用专用数字硬件或在通用计算机上运行软件来产生语音；第三，语音识别。即用专用硬件或计算机识别人讲的话，或者识别说话的人；第四，语音增强。即从噪音或干扰中提取被掩盖的语音信号。第五，语音编码。主要用于语音数据压缩，目前已经建立了一系列语音编码的国际标准，大量用于通信和音频处理。近年来，这5个方面都取得了不少研究成果，并且，在市场上已出现了一些相关的软件和硬件产品，例如，盲人阅读机、哑人语音合成器、口授打印机、语音应答机，各种会说话的仪器和玩具，以及通信和视听产品大量使用的音频压缩编码技术。

(2) 图像处理

数字滤波技术以成功地应用于静止图像和活动图像的恢复和增强、数据压缩、去噪音和干扰、图像识别以及层析X射线摄影，还成功地应用于雷达、声纳、超声波和红外信号的可见图像成像。

(3) 通信

在现代通信技术领域内，几乎没有一个分支不受到数字滤波技术的影响。信源编码、信道编码、调制、多路复用、数据压缩以及自适应信道均衡等，都广泛地采用数字滤波器，特别是在数字通信、网络通信、图像通信、多媒体通信等应用中，离开了数字滤波器,几乎是寸步难行。其中，被认为是通信技术未来发展方向的软件无线电技术，更是以数字滤波技术为基础。

(4) 电视

数字电视取代模拟电视已是必然趋势。高清晰度电视的普及指日可待，与之配套的视频光盘技术已形成具有巨大市场的产业；可视电话和会议电视产品不断更新换代。视频压缩和音频压缩技术所取得的成就和标准化工作，促成了电视领域产业的蓬勃发展，而数字滤波器及其相关技术是视频压缩和音频压缩技术的重要基础。

(5) 雷达

雷达信号占有的频带非常宽，数据传输速率也非常高，因而压缩数据量和降低数据传输速率是雷达信号数字处理面临的首要问题。告诉数字器件的出现促进了雷达信号处理技术的进步。在现代雷达系统中，数字信号处理部分是不可缺少的，因为从信号的产生、滤波、加工到目标参数的估计和目标成像显示都离不开数字滤波技术。雷达信号的数字滤波器是当今十分活跃的研究领域之一。

(6) 声纳

声纳信号处理分为两大类，即有源声纳信号处理和无源声纳信号处理，有源声纳系统涉及的许多理论和技术与雷达系统相同。例如，他们都要产生和发射脉冲式探测信号，他们的信号处理任务都主要是对微弱的目标回波进行检测和分析，从而达到对目标进行探测、定位、跟踪、导航、成像显示等目的，他们要应用到的主要信号处理技术包括滤波、门限比较、谱估计等。

(7) 生物医学信号处理

数字滤波器在医学中的应用日益广泛，如对脑电图和心电图的分析、层析X 射线摄影的计算机辅助分析、胎儿心音的自适应检测等。

(8) 音乐

数字滤波器为音乐领域开辟了一个新局面，在对音乐信号进行编辑、合成、以及在音乐中加入交混回响、合声等特殊效果特殊方面，数字滤波技术都显示出了强大的威力。数字滤波器还可用于作曲、录音和播放，或对旧录音带的音质进行恢复等。

(9) 其他领域

数字滤波器的应用领域如此广泛，以至于想完全列举他们是根本不可能的，除了以上几个领域外，还有很多其他的应用领域。例如，在军事上被大量应用于导航、制导、电子对抗、战场侦察；在电力系统中被应用于能源分布规划和自动检测；在环境保护中被应用于对空气污染和噪声干扰的自动监测，在经济领域中被应用于股票市场预测和经济效益分析，等等。

2.1.3开发环境MATLAB简介

MATLAB是由Math Works公司开发的一种主要用于数值计算及可视化图形处理的高科技计算语言。它的特点是将数值分析、矩阵计算、图形图像处理和仿真等诸多强大功能集成在一个极易使用的交互式环境中，为科学研究、工程设计

以及必须进行有效数值计算的众多学科提供了一种高效率的编程工具。

MATLAB 意思是“矩阵实验室”（Matrix Laboratory ）。它是以著名的线性代数软件包LIN2PACK 和特征值计算软件包EISPACK 中的子程序为基础发展而成的一种开放型程序设计语言，其基本数据单元是一个维数不加限制的矩阵。与C 、C++、Fortran 、Basic 等高级语言相比，MATLAB 不但在数字语言的表达与解释方面表现出人机交互的高度一致，而且具有如下特征：高质量、高可靠的数值计算能力；基于向量、数组和矩阵的高级程序设计语言；高级图形和可视化数据处理能力；拥有一个强大的非线性系统建模和仿真工具－SIMULINK ；支持科学和工程计算标准的开放式、可扩充结构；跨平台兼容。MATLAB 有5大通用功能：数值计算功能、符号计算功能、数据可视化功能、数据图形文字统一处理功能以及建模仿真可视化功能。

2.2 FIR 滤波器

2.2.1FIR 滤波器的基本概念

FIR 滤波器有限长单位冲激响应滤波器，是数字信号处理系统中最基本的元件，它可以在保证任意幅频特性的同时具有严格的线性相频特性，同时其单位抽样响应是有限长的，因而滤波器是稳定的系统。因此，FIR 滤波器在通信、图像处理、模式识别等领域都有着广泛的应用。滤波器设计是根据给定滤波器的频率特性，求得满足该特性的传输函数。

2.2.2 窗函数法

设计FIR 数字滤波器的最简单的方法是窗函数法，通常也称之为傅立叶级数法。FIR 数字滤波器的设计首先给出要求的理想滤波器的频率响应()jw d H e ,设计

一个FIR 数字滤波器频率响应()jw H e ，去逼近理想的滤波响应()jw d H e 。然而，

窗函数法设计FIR 数字滤波器是在时域进行的，因而必须由理想的频率响应()jw d H e 推导出对应的单位取样响应

()d h n ，再设计一个FIR 数字滤波器的单位取样响应()h n 去逼近()d h n 。设计过程如下：

*()()()()()I D T F F T w n D T F T j j d d H e h n h n H e ωω???→???→???→

加窗的作用是通过把理想滤波器的无限长脉冲响应

()d h n 乘以窗函数()w n 来产生一个被截断的脉冲响应，即()()()d h n h n w n =并且对频率响应进行平滑。FIR 滤波

器单位冲激响应h(n)：其单位冲激响应h(n)是有限长(

),系统函数为： 10()()N n

n H z h n z --==∑

在有限Z 平面有(N-1)个零点，而它的(N-1)个极点均位于原点z=0处。FIR 滤波器线性相位的特点：如果FIR 滤波器的单位抽样响应h(n)为实数，而且满足以下任一条件：

偶对称h(n)＝h(N-1-n)

奇对称h(n)＝-h(N-1-n)

其对称中心在n ＝(N-1)/2处，则滤波器具有准确的线性相位。

窗函数主要用来减少序列因截断而产生的Gibbs 效应。但当这个窗函数为矩形时，得到的FIR 滤波器幅频响应会有明显的Gibbs 效应，并且任意增加窗函数的长度（即FIR 滤波器的抽头数）Gibbs 效应也不能得到改善。为了克服这种现象,窗函数应该使设计的滤波器：

（1） 频率特性的主瓣宽度应尽量窄,且尽可能将能量集中在主瓣内；

（2） 窗函数频率特性的旁瓣ω趋于π 的过程中，其能量迅速减小为零。 在实际工程中常用的窗函数有五种，即矩形窗、三角窗、汉宁窗、海明窗和凯泽窗。这些窗函数在MATLAB 中分别用boxcar 、triang 、hanning 、hamming 、kaiser 实现，它们之间的性能比较如表1所示。

表1 5种窗函数性能比较

窗类型

旁瓣峰值 主瓣峰值 最小阻带衰减 矩形窗

13dB 4π/M 21dB 三角窗

25dB 8π/M 25dB 汉宁窗

31dB 8π/M 44dB 海明窗

41dB 8π/M 53dB 凯泽窗 57dB 12π/M 74dB

2.3IIR 数字滤波器

2.3.1IIR 数字滤波器设计原理

滤波器的设计质上是寻找一个既能物理实现，又能满足给定频率特性指标要求的系统传输函数。IIR 滤波器一般采用递归型的结构，系统的输入与输出服从N 阶差分方程：

相应的传输函数为：

设计IIR 数字滤波器就是要确定传输函数中的系数j a 、i b 或零极点增益i c 、j d 、A ，使滤波器的频率特性满足给定的性能指标要求。设计原理主要包括两个方面：一是根据设计指标，先设计出相应的模拟滤波器再通过脉冲响应不变法或双线性变换法转换成对应的数字滤波器；二是选择一种优准则，如最小均方准则，再在 ，先最误差此准则下求出滤波器传输函数的系数。根据设计理论，在MATLAB 环境下设计IIR 数字滤波器主要有四种方法：一是典型设计法；二是完全设计法；三是最优设计法；四是工具设计法。由于完全设计法程序简单，我们在这里利用完全设计法设计滤波器。

所谓数字滤波器，是指输入，输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的硬件。 实质上就是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。 它的基本工作原理是利用离散系统的特性对系统输入信号进行加工和变换， 改变输入序列的频谱或信号波形， 让有用的频率分量通过， 抑制无用的信号分量输出，根据其频率特性同样可以分为低通，高通，带通，带阻。如果要处理的信号是模拟信号，就可以通过 A/D 或者 D/A 转换，在信号形式上进行匹配转换，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。

数字滤波器滤波的数学表达式：

如果滤波器的输入输出信号都是离散信号，那么该滤波器的脉冲响应也一定是离散信号，这样的滤波器就成为了数字滤波器。其频域特性为：

其中分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域

响应，是数字滤波器的频域响应。可以看见按照输入信号的频谱特

点和处理信号的目的适当选择滤波器的频域响应，使得滤波后的输出信号满足设计性能要求，就是滤波器的滤波原理。

2.3.2IIR数字滤波器传输特性

IIR 数字滤波器的系统函数可以表示为：

式中H(Z)称为N阶 IIR 滤波器函数，它是一种递归型的滤波器。

2.3.3数字滤波器的技术要求

我们通常设计的数字滤波器一般属于选频滤波器，我们的目的是要设计一个因果可实现的滤波器，另外买也要考虑到成本和复杂性问题，因此实用中通带和阻带都允许一定的误差容限，即通带不一定是完全水平的，阻带也不可能完全衰减到零。而且，通带和阻带之间还要设置一定带宽的过渡带。如下图表示低通滤波器的技术要求：

图 1 低通滤波器特性

图中，分别表示通带截止频率和阻带截止频率，通带频率范围为0≤w≤ p w ，

通带中要求，阻带截止频率范围

，再阻带中要求，从到称为过渡带，在这个频带内，幅度响应从通带平滑的下落到阻带。

2.3.4程序设计法

IIR 数字滤波器设计的一般方法是先设计低通模拟滤波器，进行频率变换，将其转换为相应的（高通，带通等）模拟滤波器，在转换为高通，带通或带阻数字滤波器，由模拟滤波器设计数字滤波器的方法。这是因为模拟滤波器设计方法已经很成熟，它不仅有完整的设计公式，还有完善的图表供查阅，另外，还有一些典型的滤波器类型可供我们使用。对设计的全过程的各个步骤，MATLAB 都提供了了相应的工具箱函数，使 IIR 数字滤波器设计变得非常简单。

3.CDIO设计总结

课程设计从开始到现在，已经过去了一个星期的时间。在整个课程设计的过程中，我付出了劳动，也收获了许多的知识。这次课程设计的题目是数字滤波器的设计。设计中应用到了数字信号处理和MATLAB软件的知识，对我更为深刻地理解所学习过的数字信号处理知识有很大的帮助和益处。通过此次设计使我了解到了数字信号处理系统具有灵活、精确、抗干扰强、造价低、速度快等突出优

点，这些都是模拟信号处理系统所无法比拟的。而且，通过对MATLAB软件的初步学习，对计算机的应用、仿真和实现技术也有了新的认识。这次设计使我受益非浅，对我今后的学习起到很好的作用。

参考文献

1.程佩青数字信号处理(第3版)，清华大学出版社，2009.

2.赵谦通信系统中MATLAB基础与仿真应用，西安电子科技大学出版社，2010.

3.薛年喜MATLAB在数字信号处理中的应用，清华大学出版社，2003.

4.张志涌.《精通MATLAB6.5》.上海.航空航天出版社.2003.

5.薛年喜MATLAB在数字信号处理中的应用，清华大学出版社，2003.