高考数学模拟复习试卷试题模拟卷1501 2
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【考情解读】
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；
2.了解反证法的思考过程和特点． 【重点知识梳理】 1．直接证明
内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和某些数学定义、公
理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止
实质 由因导果
执果索因 框图表示
P ?Q1→Q1?Q2→…→Qn ?Q
Q ?P1→P1?P2
→…→
得到一个明显
成立的条件
文字语言 因为……所以……
或由……得……
要证……只需证…… 即证……
2.间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．
(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．
(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．
【高频考点突破】 考点一 综合法的应用
例1 已知数列{an}满足a1＝12，且an ＋1＝an
3an ＋1(n ∈N*)．
(1)证明数列{1
an }是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn ＝anan ＋1(n ∈N*)，数列{bn}的前n 项和记为Tn ，证明：Tn<1
6.
【特别提醒】(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理
方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．
(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．
【变式探究】(·课标全国Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac≤13；(2)a2b ＋b2c ＋c2a ≥1. 考点二 分析法的应用 例2、已知a>0，求证a2＋1a2－2≥a ＋1
a －2.
【特别提醒】
(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．
(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．
【变式探究】 已知a ，b ∈(0，＋∞)，求证：(a3＋b3)13<(a2＋b2)1
2. 考点三 反证法的应用
例3 已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足an ＋Sn ＝2. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列． 【特别提醒】
(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等．
(2)用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的．
【变式探究】 等差数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1＋2，S3＝9＋3 2. (1)求数列{an}的通项an 与前n 项和Sn ；
(2)设bn ＝Sn
n (n ∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 考点四、反证法在证明题中的应用
例4、直线y ＝kx ＋m(m≠0)与椭圆W ：x2
4＋y2＝1相交于A 、C 两点，O 是坐标原点． (1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；
(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形． 【方法与技巧】
1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．
2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．
3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
失误与防范
1．用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论．
2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.
【真题感悟】
1.【高考陕西，文16】观察下列等式：
1－11 22 =
1－11111 23434 +-=+
1－11111111 23456456 +-+-=++
…………
据此规律，第n个等式可为______________________.
2．（·山东卷）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()
A. 方程x2＋ax＋b＝0没有实根
B. 方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根
C. 方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根
D. 方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根
3．（·北京卷）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项
之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.
(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；
(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；
(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1，2，3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.
【押题专练】
1.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理( ) A 小前提错 B 结论错 C 正确 D 大前提错
2．对于平面α和共面的直线m ，n ，下列命题中真命题是( )． A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C ．若m ?α，n ∥α，则m ∥n
D ．若m ，n 与α所成的角相等，则m ∥n 3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )． A ．2ab －1－a2b2≤0 B ．a2＋b2－1－a4＋b42≤0 C.
a ＋
b 2
2
－1－a2b2≤0 D ．(a2－1)(b2－1)≥0 4．命题“如果数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2－3n ，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立( )． A ．不成立 B ．成立 C ．不能断定 D ．能断定
5．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1
a ( )． A ．都大于2 B ．都小于2
C ．至少有一个不大于2
D ．至少有一个不小于2
6．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：(n ＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝ ( )． A ．nB ．n ＋1 C ．n －1 D ．n2
7．要证明“3＋7＜25”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号)． ①反证法，②分析法，③综合法．
8．设a>b>0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是________．
9．已知a ，b ，μ∈(0，＋∞)且1a ＋9
b ＝1，则使得a ＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________． 10．若a ，b ，
c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2≠0；
②a>b 与a
11．已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a|＋|b|
|a ＋b|≤ 2.
12．设数列{an}是公比为q 的等比数列，Sn 是它的前n 项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列； (2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 13．已知f(x)＝x2＋ax ＋b. (1)求：f(1)＋f(3)－2f(2)；
(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1
2.
14．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c(a ＞0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0＜x ＜c 时，f(x)＞0.
(1)证明：1
a 是f(x)＝0的一个根； (2)试比较1
a 与c 的大小；
(3)证明：－2＜b ＜－1. 高考模拟复习试卷试题模拟卷
高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆
一．基础题组
1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )
A ．1
B ．13-
C ．2
3
-
D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．
3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线
)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.
4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线
0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．
二．能力题组
1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线2
1y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22
430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）
A.
4515- B.25
15
- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2
2
14x y +-=。若过点11,2P ??
???
的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。
3.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.
三．拔高题组
1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆
0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．3-a
B ．2
3<
a C ．13<<-a 或2
3
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