2019年高考新课标Ⅰ文数学试题及答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ文科数学

适用于：山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东、山东

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设312i

z i

-=

+，则z =（ ）

A ．2

B

C

D ．1

2．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,4,5A =，{}2,3,6,7B =，则U B C A =（ ） A ．{}1,6

B ．{}

1,7

C ．{}6,7

D ．{}1,6,7

3．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ） A ．a b c <<

B ．a c b <<

C ．c a b <<

D ．b c a <<

4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

（0.618≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如

此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是

若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ） A ．165cm

B ．175cm

C ．185cm

D ．190cm

5．函数()2

sin cos x x

f x x x +=

+在[],ππ-的图象大致为（ ）

6．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…1000，从这些新生中用系统抽

样方法等距抽取100名学生进行体质测试，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A ．8号学生

B ．200号学生

C ．616号学生

D ．815号学生

7．tan 255?=（ ） A

．2-

B

．2-+

．2

D

．2

8．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()

a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．

6

π

B ．

3

π C ．

23

π D ．

56

π 9．右图是求

112122

+

+的程序框图，图中空白框中应填入（ ）

A ．1

2A A

=

+ B ．12A A

=+ C ．1

12A A =

+

D ．112A A

=+

10．双曲线C ：22

221x y a b

-=（0,0a b >>）的一条渐近线的倾斜角为130?，则C 的离心率为（ ）

A ．2sin 40?

B ．2cos40?

C ．

1

sin 50?

D ．

1

cos50?

11．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，

已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1

cos 4A =-，则b c

=（ ）

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

12．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21

,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（ ）

A ．2

212

x y += B ．22

132x y += C ．22

143

x y +=

D ．22

154

x y += 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第

22题-第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线()

23x y x x e =+在点()0,0处的切线方程为________． 14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，33

=4

S ，则4=S ________． 15．函数()3sin 23cos 2

f x x x π??

=+

- ??

?

的最小值为________． 16．已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，P 点到ACB ∠两边AC ，BC 的距离均

，那么P 到平面ABC 的距离为________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试

题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

（1）分别估计分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：()()()()()

2

2

=n ad bc K a b c d a c b d -++++

18．（12分）

记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式；

（2）若10a >，求使得n n a S ≥的n 的取值范围。

19．（12分）

如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，

2AB =，60BAD ∠=?，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的

中点．

（1）证明：MN ∥平面1C DE ； （2）求点C 到平面1C DE 的距离．

20．（12分）

已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数． （1）证明：()f x '在区间()0,π存在唯一零点； （2）若[]0,x π∈时，()f x ax ≥，求a 的取值范围．

21．（12分）

已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，4AB =，圆M 过点A ，B 且与直线20x +=相切． （1）若A 在直线0x y +=上，求圆M 的半径；

（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值？并说明理由．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2

221,141t x t t y t ?-=??+??=?+?

（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）若C 上的点到l 距离的最小值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =，证明： （1）

222111

a b c a b c

++≤++； （2）()()()3

3

3

24a b b c c a +++++≥．

2019年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ文科数学答案

一、选择题 1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C 7．D

8．B

9．A

10．D

11．A

12．B

二、填空题

13．y =3x 14．

58

15．?4

16

三、解答题

17．解：（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为40

0.850

=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．

女顾客中对该商场服务满意的比率为30

0.650

=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．

（2）2

2

100(40203010) 4.76250507030

K ??-?=

≈???． 由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 18．解：（1）设{}n a 的公差为d ．

由95S a =-得140a d +=． 由a 3=4得124a d +=． 于是18,2a d ==-．

因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．

（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2

n n n n d

a n d S -=-=

. 由10a >知0d <，故n n S a …

等价于2

11100n n -+…，解得1≤n ≤10． 所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N 剟．

19．解：（1）连结1,B C ME .因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且11

2

ME B C =.又因为N 为1A D 的中点，所以11

2

ND A D =

. 由题设知11=A B DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=

ME ND ∥，因此四边形MNDE 为平行四边形，

MN ED ∥.又MN ?平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE .

（2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .

由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离，

由已知可得CE =1，C 1C =4，所以1C E =，故CH =

.

从而点C 到平面1C DE 的距离为

17

.

20．解：

（1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=.

当π

(0,)2

x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ??∈ ???时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2??

?

??

单调递减. 又π(0)0,0,(π)22g g g ??

=>=-

???

，故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.

（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =…，可得a ≤0.

由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()

0,πx x ∈

时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减. 又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x …. 又当0,[0,π]a x ∈…时，ax ≤0，故()f x ax …. 因此，a 的取值范围是(,0]-∞. 21．解：（1）因为

M 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且

,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a .

因为

M 与直线x +2=0相切，所以M 的半径为|2|r a =+.

由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥，故可得2

2

24(2)a a +=+，解得=0a 或=4a . 故

M 的半径=2r 或=6r .

（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：

设(, )M x y ，由已知得

M 的半径为=|+2|,||=2r x AO .

由于MO AO ⊥，故可得2

2

2

4(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为2

4y x =.

因为曲线2

:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .

22．解：（1）因为221111t t --<≤+，且()

2

2

2

22

222141211y t t x t t ??-??+=+= ? ?+????+，所以C 的直角坐标方程为2

2

1(1)4

y x x +=≠-.

l

的直角坐标方程为2110x ++=.

（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,

2sin x y αα

=??

=?（α为参数，ππα-<<）.

C 上的点到l

π4cos 11

α?

?-+ ?=