数学建模竞赛优秀论文

2015湖南省研究生数学建模竞赛参赛承诺书

我们仔细阅读了湖南省研究生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权湖南省研究生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从组委会提供的试题中选择一项填写）：

我们的参赛报名号为（如果组委会设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员 (打印并签名) ：1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

日期：年月日

评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：

2015湖南省研究生数学建模竞赛

编号专用页

评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：

湖南省首届研究生数学建模竞赛

题目航班计划的合理编排

摘要:

本文从提高飞机利用率，降低运行成本，提高航空公司经济效益等角度出发，来研究航班计划的合理编排。我们先后建立了，相关性分析模型，0-1整数规划模型，改进的0-1整数规划，鲁棒性评价模型等模型，并运用matlab，spss等相关软件对各模型进行求解，进而对题中各问题给出了相应的解答。

针对问题1，首先对附件1中的数据进行了检查，并合理地更改了一些不合理的数据，例如对附件1中餐食费为0的数据我们进行了合理的更改（见附录附表1）。其次，为了找到影响航班收益的主要因素，我们求出了各航线的收益，

建立了相关性分析模型，并给出了附件1中各因素与航班收益的相关系数。通过对相关系数排序，我们找出了8各主要因素（见表1）。同时基于这8个主要因素，我们对亏损航线提出了相应的整改措施。

针对问题2，首先根据问题中的假设条件，我们将求解航空公司收益最大化问题转化为了求解飞机利用率最高的问题。为使飞机利用率最高，我们假设每架飞机每天的最大飞行时间为17.5小时，并针对西安、天津两个独立基地以及A320、E190两种机型分别建立了4个0-1整数规划模型，并将其转化为NP-hard问题

求解。我们利用动态规划算法，通过matlab软件求解，计算出航空公司最少需要再去租4架A320机型和2架E190机型的飞机。同时，我们还制定了下个月的航班计划（见附录附表1），并计算出公司的最大收益为4237.1万元。

针对问题3，在问题2的基础上，我们进一步考虑了飞机累计飞行130小时就必须在维修基地停场维修24小时的条件，进而建立了改进的0-1整数规划模型。通过对模型进行求解，我们计算出在问题2的基础上至少需要增加A320机型和E190机型的飞机各2架，同时列出了一份各飞机停场排班表（见表11-14）。

针对问题4，首先给出了评价航班计划“鲁棒性”的评判标准。基于该评判标准，我们对问题2中制定的航班计划的“鲁棒性”进行了评价。通过评价结果我们发现问题2的中制定的航班计划的“鲁棒性”较差。为了提高航班计划的“鲁棒性”，减少航班延误对后续航班的影响，我们根据“鲁棒性”评判标准，建立了带有“鲁棒性”约束条件的新0-1规划整数模型。通过matlab对该模型求解，我们制定了具有较好“鲁棒性”的航班计划（见附录附表2）。

关键词：相关性分析法，整数规划，动态规划

一问题重述

航班计划是航空公司运输生产计划的具体实施计划，它规定了飞行的航线、航段、机型、航班号、班次和班期、（起降）时刻等。一个合理的航班计划应该既有助于航班的安全运行，又能提高飞机的利用率，还可以有效地降低运营及维护成本，提高公司的经济效益。

国内某个以客运为主的航空公司，该公司运行指挥中心每个月的月末都会对本月各航线、机型的收益情况进行市场分析，然后结合本公司现有的生产资源情况（包括现有可飞航线、不同类型的飞机数量等）编排下一个月的航班计划，在航班计划制定之后需送给机务部门进行飞机排班作业（安排每架飞机执行飞行的航班），机务部门在制定飞机排班计划时主要考虑满足飞机维修的需要，飞机排班计划完成以后形成可执行的航班计划，该计划需下发到飞行总队具体执飞。

已知该公司有两种类型的飞机，A320飞机2架和E190飞机4架，维修基地设在西安和天津。由于航线（航权）资源是航空公司的稀缺资源，所以制定航班计划时一般不会取消，也不会随意拆分带有经停航点的航线。在航班计划制定时，若本公司飞机数量无法满足现有航线需要，可向专业的飞机租赁公司申请租赁（租金：A320，33万美金/月架；E190，25

万美金/月架）；反之，若在满足现有航线需要的前提下，本公司尚有一定数量的剩余飞机，则可作为备用飞机在航线发生延误及飞机出现临时故障时使用，或者直接出租给其它航空公司以便获取额外利润。

附件1给出了该公司某月各航线单日运行成本及（收入）明细表，假定每个航线每日只安排一个班次的飞机，附件二是航空公司航班延误统计表，现要求通过数学建模完成以下任务:

1、对附件1中给出的数据进行航线收益分析，找出影响收益的主要因素，并根据分析结果提出针对亏损航线的整改措施。

2、为简化问题，假定各航线的航班时刻可以根据需要变动，同时假定现有飞行航线和航空公司的营销能力是稳定的（航线、平均客座率、平均折扣率不变），请为航空公司制定一份下个月的航班计划，使航空公司的收益最大化。

3、如果继续考虑满足飞机维修需要，即每架飞机累计飞行130个小时就必

须在维修基地停场维修一次，每次停场时间为24小时。那么，在不改变问题2

中所求航班计划的情况下，要使航空公司正常营运，至少需要新增加两种类型的飞机各多少架？

4、航班计划的“鲁棒性”是生产运行过程中需要考虑的一个重要因素，即设定一定的时间裕度以便在出现某一航班延误时能够减少对后续航班的影响。根据附件2中给出的数据请评价问题2中求得的航班计划的“鲁棒性”，并重新制定一个带有“鲁棒性”约束的最优航班计划。

二问题分析

2.1问题1的分析

首先对附件1中的数据进行检查，更改一些不合理的数据。为了影响分析航空公司收益的主要因素，我们可以建立相关性分析模型求解。通过对相关系数排序，我们可以确定出主要因素，并基于主要因素对亏损航线进行整改。

2.2 问题2的分析

在假设航线、平均客座率、平均折扣率不变的情况下，再假设各类航线成本仅与航线本身有关，则航空公司的收益最大化就可以转化为飞机利用率最高的问题。进而我们可以建立0-1规划模型，并通过动态规划算法进行求解。

2.3 问题3的分析

在问题2的基础上，要考虑停场维修时间，可以通过改进问题2中建立的0-1规划模型，在改进的模型中考虑到停场维修的约束条件，进而就可求出需要增加的飞机数。

2.4 问题4的分析

要评价问题2中的航班计划的“鲁棒性”，我们首先得建立“鲁棒性”评判标准。然后，我们就可以根据评判标准去评价问题2中的航班计划的“鲁棒性”，并进而建立具有较好“鲁棒性”的航班计划。

三 模型假设与符号说明

3.1模型假设

1. 假设飞机航行过程中不会出现意外故障。

2. 不考虑不同城市的经济水平、地理方面的差异。

3. 每个航线只安排一个班次的飞机。

4. 当重新编排航班的时候，我们假定每条航线从一个月的一号开始运营，一个月以30天计。

3.2符号说明

N :所需最少的飞机架数 i ：第i 条航线

j ：第j 架飞机

T :一天中航班安排的时间限制 s ：一天中飞机最大飞行时间

i t ：飞机飞行第i 条航线所需时间

1,j ij x ?=?

?

第架飞机飞第i 条航线

0，否则 ij x ：第i 天第j 架飞机是否处于停场状态，停场为0，否则为1

b ：原来每天需要的飞机数

j s ：一架飞机在一个月内处于停场状态的最少天数

j T ：第j 架飞机在原计划中的飞行时间

四 模型的建立与求解

4.1 影响收益的主要因素

4.1.1 数据的分析

首先先对附件1中的数据进行检查，合理地更改一些不合理的数据。例如，更改了附件1中餐食费为0的相关数据（见附录附表1）。

4.1.2 相关性分析模型的建立与求解

相关性分析是指对两个或多个具备相关性的变量元素进行分析，从而衡量两个变量因素的相关密切程度。相关性的元素之间需要存在一定的联系或者概率才可以进行相关性分析。问题1是探索各个因素与公司收益的相关程度，故我们可以采取相关分析法[1]。

首先我们利用更改了附件1提供的数据，计算出该航空公司每条航线的总收入，总支出，然后利用“收益=总收入-总支出”计算出每条航线的收益，然后计算各个因素与收益的相关系数。

相关系数的计算公式：

(x

)(x )n

ki

i kj j ij x x r --

--=

∑

为变量i x 与变量j x 的相关系数，其中i x -

是变量i x 的均值，其中j x -

是变量j x 的均值，并且相关系数越大表示两个变量间的相关性越高。

利用matlab 软件编程求解，我们求得各因素与收益的相关系数，并对其从大到小进行排序：

表1：影响收益因素与收益的相关系数

4.1.3 模型结果分析

我们选取相关系数较大的前8个因素作为影响航空公司收益的主要因素。从上表中可以看到，主要因素中包含了平均折扣率、航材维修费、全价票价格等因素。这些因素和我们的主观思考的结果很一致，这就说明我们用相关性分析获得的主要因素还是比较合理的。

为了更直观地体现出各主要因素与收益间的关系，我们给出了下图：

为了整改亏损航线，我们首先整理出了所有亏损航线，如下表：

表2：亏损航线统计

针对以上亏损的航线，基于我们选出的主要因素我们提出整改措施如下：

西安-天津-沈阳以及返航航线：从上表可以看出,西安-天津-沈阳以及返航航线的收益分别是-6909.379及-27788.190，均处于亏损状态。对于西安-天津-沈阳航线，可以利用上表的数据分析出其亏损的主要原因是平均折扣率太低，对于此，我们提出的整改措施是适当提高折扣率，同时通过提供更好的服务或者更换机型以及其它的方式来吸引更多的顾客。而对于返航航线与西安-天津-沈阳航线最大的区别是全票价价格不同，同时其平均折扣率也是非常低，于是我们可以认为以上两点是造成其航线亏损如此之多的关键所在。这与我们利用相关性分析出全票价价格也是影响收益的主要因素之一是吻合的，因此，如果此航线想要减少损失或者说获得更多利润，就需要适当的提高全价票价格。同时，通过提供更好的服务或者更换机型以及其它的方式来吸引更多的顾客，进而适当提高折扣率[2]。

天津-临沂-福州以及返航航线：天津-临沂-福州以及返航航线的收益分别是-30110.340以及-22920.040，亏损相对来说比较严重，从表中我们可以清楚地

看到这两条航线的平均折扣率，全价票价格以及客座率均偏低，故早成航线亏损严重，这与我们的分析结果相吻合，对于此我们给出的整改措施是改变航线机型或者航班时刻，提高航线服务质量，从而增高客座率。

天津-阜阳-厦门航线以及返航航线：天津-阜阳-厦门航线以及返航航线的收益分别是-33768.110以及-38841.590，亏损严重，通过分析我们得出其原因是全价

票价格非常低，并且平均折扣率也偏低。整改措施：适当提高全价票价格，同时通过调整航班时刻或改变航线机型促进平均折扣率的提升。

呼和浩特-西安航线：主要是由于折扣率较低，造成轻微亏损。整改措施：改变航线机型或者提供更好的服务或者采用其它方式增加平均折扣率。

4.2 制定航班计划

4.2.1 模型的分析

问题2的目的是制定新的航班计划，以达到航空公司的收益最大的最终目标。

由问题2的题设，航线、平均客座率、平均折扣率不变，所以如果我们假定票价也不变的话，可知各航线的收入总和不变。同时，我们还假设附件1中各航线的成本也只跟航线本省有关，即除了租飞机要租金外，各航线的其他成本也不变。于是，求解公司收益最大化的问题便转化为求解飞机利用率最大的问题。因此可以建立以所需飞机数最少为目标的模型。

4.2.2 基本符号说明

N:所需最少的飞机架数

i：第i条航线

j：第j架飞机

T:一架飞机每天可以飞行的最大时间

s ：一天中飞机最大飞行时间 i

t ：飞机飞行第i 条航线所需时间

1,j ij x ?=?

?第架飞机飞第i 条航线0，否则

4.2.3 模型建立与求解

对附件1的航线进行分析可以发现，所有航线可以分为西安、天津两个独立的基地。再根据A320和E190两种机型，我们可以将各航线分成4个对立的系统进行求解。下面对于各个系统我们分别建立如下模型。

目标：最小化所用飞机架数，即N 。

约束：一架飞机每天飞行的总时间不能超过航线排班时间 则可得具体模型如下：

11

min .11,...,1,...,N

10

N

ij

j s i ij

i ij N

s t

x

i s

t x

T

j x ====≤==∑∑或

很显然以上模型是0-1整数规划模型，由于0-1整数规划模型是NP-难题，因此我们将原模型转化为较简单的0-1整数背包问题求解,其转化的具体过程如下：

(1) 一架飞机每天可以飞行的最大时间可以看成一个背包可装物品的总数量。 (2) 一条航线需要的飞行时间可以看成一个物品的质量。

(3) 由题设每条航线每天飞且只飞一次可以看成物品的价值都相等（都取为

1）

原模型要求使用的飞机数最少，即等价于每架飞机的利用率越高，也就对应每个背包的利用率越高，其具体的执行步骤为：

（1） 输入原参数集合（航线的标号，每条航线的飞行时间，每条航线的价

值）；

（2） 运用动态规划算法求得一架飞机的排班计划； （3） 从原参数中去除已经分配航线对应的参数；

（4） 判断参数集合是否为空集，如果为空集，输出各飞机的分配结果，过

程结束否则返回第2步继续执行。

具体程序流程图如下:

根据附件1的数据，我们假设一架飞机每天的飞行时间最大为17.5个小时[7:30,1:00]，利用附件1提供的数据以及MATLAB软件对以上模型进行求解。最后得出在保证航线正常运行的前提下，使得航空公司收益最大的最少飞机架数N 为12，其中机型A320和机型E190各6架。具体结果如下列各表：首先给出符号说明：

n：初始航线在附件1中对应的行标号；

s:新的航线标号；

st：新航线的飞行时间；

ZW:每架飞机每天可以飞行的最长时间；

BH:同一架飞机一天可以飞行的新的航线标号。

天津A320：

表3：机型为A320的从天津出发的飞机的原始数据

将以上数据输入到MATLAB，可得出以下结果：

表4：一架从天津出发的A320飞机一天飞行的时间与对应的航线之间的关系

天津E190：

表5：机型为E190的从天津出发的飞机的原始数据

将以上数据输入到MATLAB，可得出以下结果：

表6：一架从天津出发的A190飞机一天飞行的时间与对应的航线之间的关系

西安A320：

表7：机型为A320的从西安出发的飞机的原始数据

将以上数据输入到MATLAB，可得出以下结果：

表8：一架从西安出发的A320飞机一天飞行的时间与对应的航线之间的关系

西安E190：

表9：机型为E190的从西安出发的飞机的原始数据

将以上数据输入到MATLAB，可得出以下结果：

表10：一架西安出发的E190飞机一天飞行的时间与对应的航线之间的关系

由表3到表10可知，该航空公司至少需要12架飞机才能保证各条航线正常运转，即上述优化模型的最优解N=12，也就是说该公司还需要向租赁公司租借4架A320型飞机及2架E190型飞机。

进一步，我们对各架飞机进行具体的航班时刻安排。我们在排航班时刻表的

过程中，需要作出以下假设：

1）假设飞机每天最早航班为7:30是合理的

2）假设飞机在每个中间站的停留时间为20分钟是足够的

3）假设飞机在飞行过程中是不会出故障的

基于以上几点，我们给出了可使得航空公司获得最大收益的航班时刻表。由于航线太多，导致表格太大，故我们将其放于附录附表1中。

最后，我们容易计算得到：这种方案可使该公司的月利润为4237.1万元（经查阅相关资料，1美元按6.3685人民币元换算）。

4.3考虑飞机停场时间的排班计划

4.3.1 模型分析

由题意可知，维修停场时间为24小时，则在不向租赁公司租赁飞机的情况下，我们的航线是不能正常运营的。因此，分别以西安、天津为维修基地的，以

E190、A320飞机机型的分成4个独立系统进行分析（与第二问一样分类讨论）。

4.3.2 模型符号说明

N:需要租的飞机架数

x：第i天第j架飞机是否处于停场状态，停场为0，否则为1

ij

b：原来每天需要的飞机数

s：一架飞机在一个月内处于停场状态的最少天数

j

T：第j架飞机在原计划中的飞行时间

j

4.3.2 模型的建立与求解

因为在问题2的基础上，我们还要额外考虑每架飞机累计飞行130个小时就得停场24小时的条件，故在问题2建立的模型基础上，我们提出如下改进的0-1规划模型。

目标：最小化的增加飞机架数。

约束：1.添加租的飞机后,每天飞行的飞机架数要大于或等于原来的飞机架数；

2.一架飞机一个月内飞行不能超过除去必须维修时间的最大天数

则可得具体模型如下：

{}

1

301

1min .01

1,...,30301,...,b N 301

1,...,min ,...,1,...,ij b N ij

j ij j

j j j j b N

s t

x x

b i x s j s j b

T s s s j b b N

+===≥=≤-=+??=-=?????

?==++∑∑或

通过求解以上模型，我们得最优解为我们至少需要增加4架飞机。即以西安为维修基地的分别用A320、E190型飞机运转、以天津为维修基地的分别用A320、E190型飞机运转的4类航线分别至少要增加同种型号飞机一架，方能使该航空公司正常营运。显然，具体的交替维修方案是不唯一的，我们选取其中一种方案通过以下四个表格进行阐述：（假定每条航线从一个月的一号开始运营，一个月以30天计）

表11：关于以西安为维修基地、E190型飞机运转的航线交替维修方案表

表12：关于以西安为维修基地、A320型飞机运转的航线交替维修方案表

表13：:关于以天津为维修基地、E190型飞机运转的航线交替维修方案表

表14：关于以天津为维修基地、A320型飞机运转的航线交替维修方案表

4.4航班计划“鲁棒性”优化问题

4.4.1模型假设

首先我们给出如下假设：

1）航线内部的经停站点处不会发生延误现象

2）不同飞机之间的航班相互没有影响

3）航线延误不会跨天传播

4.2 基于“鲁棒性”评价模型

本文中，我们以各航班衔接处发生延误概率的总和作为航班计划的“鲁棒性”评价指标，即

N

ij

i

j

L p =∑∑

L 越大，鲁棒性越差，其中，N 为航班计划中所用的飞机数，ij p 表示第i 架飞机

中航班j 发生延误的概率。显然

1

001(1)1

n ij ijr r n p q n ==??=?

--≥??∏

这里，n 表示第i 架飞机中航班j 之前的衔接次数，ijr q 表示第i 架飞机中航班j 之前的第r 次衔接处发生延误的概率。

由附件2中的提供的数据表格：

航空公司航班延误统计表

我们易得：

55%[0,15]30%

(15,60]15%

60

ijr ijr ijr ijr t q t t ?∈?=∈??>?

其中ijr t 表示第i 架飞机中航班j 之前的第r 次衔接处的衔接时间间隔。

对于问题2中我们给出的航班计划，结合以上三个式子式我们很快求得：L =6.25。在问题2中，我们总共使用了12架飞机，由 6.250.5212

L N ==，可得平均

每架飞机每天有1

2

的航班会发生延误，显然此时延误率较高，即鲁棒性较差。

显然，问题2中的航班计划的鲁棒性是比较差的，为了提高航班的鲁棒性，减少航班发生延误时对后续航班的影响，我们改进了问题2中的模型，提出了如下带有鲁棒性约束的改进模型：

1

'1

min .11,...,()1,...,N

'0,1

N

ij

j s

i i ij i ij N s t

x

i s t t x T

j L L x ====+≤=<=∑∑

这里，'L为实现确定的一个可以接受的鲁棒性标准，'

t则是用来调节各航班

i

衔接处的衔接时间，以提高模型的鲁棒性。

取'1

L ，利用matlab编程求解，我们得到如下结果：基于问题2的基础之上，以西安为中心基地的航线需要增加机型为A320的飞机一架，以天津为中心基地的航线需要增加机型为A320的飞机一架。根据鲁棒性分析得到的航班计划时刻表详见附录附表2。

五结论

利用相关分析法对问题1进行分析与求解，通过收益与影响因素的相关系数比较，并且选择,相关系数较大的几个因素作为影响收益的主要因素，分析结果与实际情况相符。对于问题2，我们建立了整数规划模型，由于模型求解比较困难，我们需要将其转化为简单的背包问题，并利用动态规划进行分析与求解，最后对结果进行了分析，得出了模型的实用性。针对问题3，与问题2相同，以西安与天津为中心，分别对A320以及E190的机型的航线对应额模型进行求解，最后得出至少要租A320型的飞机2架以及E190型的飞机2架才可以保证航线正常运行。

航空事业的发展对中国经济具有重要的促进作用。所以这就需要更多的人投入到航空事业的研究中去，开发出更多的组合优化模型，进而促进中国经济的发展。

六参考文献

[1]邬学军，周凯，宋军全.数学建模竞赛辅导教程[M]. 杭州：浙江大学出版社，2009.

[2]朱道远.研究生数学建模精品案列[M].科学出版社，2014.

[3]管建成.航线收益管理的边际分析方法[J].航空学报，1991.

[4]杨文东，黄鹂诗，刘万明.首都机场航班延误分布规律分析[J].交通运输系统工程与信息，2013.

[5]李军会，朱金福，陈欣.基于航班延误分布的机位鲁棒指派模型[J].交通运输工程学报，2014.

[6]接婧.国际学术界对鲁棒性的研究[J].系统工程学报, 2005.

附录：

附表1

问题2的航班计划

附表2

问题4的排班计划