【必考题】九年级数学下期中一模试题及答案(1)

【必考题】九年级数学下期中一模试题及答案(1)

一、选择题

1．有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）

A．6

7

B．

30

37

C．

12

7

D．

60

37

2．已知线段a、b，求作线段x，使

2

2b

x

a

=，正确的作法是（）

A．B．C．D．

3．若

3

5

x

x y

=

+

，则

x

y

等于（）

A．3

2

B．

3

8

C．

2

3

D．

8

5

4．如图，在正方形ABCD中，N为边AD上一点，连接BN．过点A作AP⊥BN于点P，连接CP，M为边AB上一点，连接PM，∠PMA＝∠PCB，连接CM，有以下结论：

①△PAM∽△PBC；②PM⊥PC；③M、P、C、B四点共圆；④AN＝AM．其中正确的个数为（）

A．4B．3C．2D．1

5．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）

A．1：3 B．1：4 C．2：3 D．1：2

6．如图，△ABC中AB两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）

A．

1

2

a

-B．

1

(1)

2

a

-+C．

1

(1)

2

a

--D．

1

(3)

2

a

-+

7．在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O为位似中心，按比例1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（）

A．（2，﹣1）或（﹣2，1）B．（8，﹣4）或（﹣8，4）C．（2，﹣1）D．（8，﹣4）

8．在反比例函数

4

y

x

=的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）

A．B． C．D．

9．给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y=3

x

；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞

1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）

A．①③B．③④C．②④D．②③

10．如图，在△ABC中，M是AC的中点，P,Q为BC边上的点，且BP=PQ=CQ，BM与

AP,AQ分别交于D,E点，则BD∶DE∶EM等于

A．3∶2∶1B．4∶2∶1C．5∶3∶2D．5∶2∶1

11．如图，一张矩形纸片ABCD的长BC＝xcm，宽AB＝ycm，以宽AB为边剪去一个最大

的正方形ABEF，若剩下的矩形ECDF与原矩形ABCD相似，则x

y

的值为（）

A．51

2

-

B．

51

2

+

C．2D．

21

2

+

12．如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（）

A．△PAB∽△PCA B．△ABC∽△DBA C．△PAB∽△PDA D．△ABC∽△DCA 二、填空题

13．如图，P（m，m）是反比例函数

9

y

x

=在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等

边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为_____．

14．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为________．

15．如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数

y ＝3x 的图象经过A 、B 两点，则菱形ABCD 的面积是_____；

16．已知点(,)P m n 在直线2y x =-+上，也在双曲线1y x =-

上，则m 2+n 2的值为______．

17．如图，矩形ABCD 的顶点,A C 都在曲线k y x

= （常数0k ≥，0x >）上，若顶点D 的坐标为()5,3，则直线BD 的函数表达式是_.

18．如图，点A 在双曲线y ＝6x

（x ＞0）上，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，点C 在线段AB 上且BC ：CA ＝1：2，双曲线y ＝

k x （x ＞0）经过点C ，则k ＝_____．

19．将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC 和MD 重合.已知AB="AC=8" cm,将△MED 绕点A(M)逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积是 cm2.

20．如图所示的网格是正方形网格，点P到射线OA的距离为m，点P到射线OB的距离为n，则m __________ n．（填“>”，“=”或“<”）

三、解答题

21．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，在A的正东200米的B处，测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路的距离PC约等于多少米？（取1.732，结果精确到1米）

22．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．

（1）求证：△ABE∽△ACB；

（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．

23．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，4)，C(－3，2)．

(1)以原点O为位似中心，位似比为1∶2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形

△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；

(2)如果点D(a，b)在线段AB上，请直接写出经过(1)的变化后点D的对应点D1的坐标．

24．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2=AB?AD，∠ADC=90°，点E为AB的中点．

（1）求证：△ADC∽△ACB．

（2）若AD=2，AB=3，求的值．

25．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：6≈2.449，结果保留整数）

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．D

解析：D

【解析】

试题解析：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．

∵S△ABC=1

2

AB?BC=

1

2

AC?BP，

∴BP=

·3412

55 AB BC

AC

?

==．

∵DE∥AC，

∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，∴△BDE∽△BAC，

∴DE BQ AC BP

=．

设DE=x，则有：

12

5

12

5

5

x

x-=，

解得x=60 37

，

故选D．

2．C

解析：C

【解析】

【分析】

对题中给出的等式进行变形，先作出已知线段a、b和2b，再根据平行线分线段成比例定理作出平行线，被截得的线段即为所求线段x．

【详解】

解：由题意，

2

2b x

a =

∴

2

a b

b x =，

∵线段x没法先作出，

根据平行线分线段成比例定理，只有C符合．

故选C．

3．A

解析：A

【解析】

【分析】先根据比例的基本性质进行变形，得到2x=3y，再根据比例的基本性质转化成比例式即可得.

【详解】根据比例的基本性质得：

5x=3（x+y），即2x=3y，

即得

3

2

x

y

=，

故选A．

【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解本题的关键.

4．A

解析：A

【解析】

【分析】

根据互余角性质得∠PAM＝∠PBC，进而得△PAM∽△PBC，可以判断①；由相似三角形得∠APM＝∠BPC，进而得∠CPM＝∠APB，从而判断②；根据对角互补，进而判断③；

由△APB∽△NAB得AP AN

BP AB

=，再结合△PAM∽△PBC便可判断④．

【详解】

解：∵AP⊥BN，

∴∠PAM+∠PBA＝90°，

∵∠PBA+∠PBC＝90°，

∴∠PAM＝∠PBC，

∵∠PMA＝∠PCB，

∴△PAM∽△PBC，

故①正确；

∵△PAM∽△PBC，

∴∠APM＝∠BPC，

∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC，故②正确；

∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°，

∴B、C、P、M四点共圆，

∴∠MPB＝∠MCB，

故③正确；

∵AP⊥BN，

∴∠APN＝∠APB＝90°，

∴∠PAN+∠ANB＝90°，

∵∠ANB+∠ABN＝90°，

∴∠PAN＝∠ABN，

∵∠APN＝∠BPA＝90°，

∴△PAN∽△PBA，

∴AN PA BA PB

=，

∵△PAM∽△PBC，

∴Al AP BC BP

=，

∴AN AM AB BC

=，

∵AB＝BC，

∴AM＝AN，

故④正确；

故选：A．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质、四点共圆，同角的余角相等，判断出PM⊥PC是解题的关键．

5．D

解析：D

【解析】

解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴DF：AB=DE：EB．∵O为

对角线的交点，∴DO=BO．又∵E为OD的中点，∴DE=1

4

DB，则DE：EB=1：3，∴

DF：AB=1：3．∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．

6．D

解析：D

【解析】

【分析】

设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．

【详解】

设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，

∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，

∴2（﹣1﹣x）＝a+1，

解得x＝﹣1

2

（a+3），

故选：D．

【点睛】

本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．

7．A

解析：A

【解析】

【分析】

利用位似比为1：2，可求得点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1），注意分两种情况计算．

【详解】

∵E（-4，2），位似比为1：2，

∴点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1）．

故选A．

【点睛】

本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．注意位似的两种位置关系．

8．B

解析：B

【解析】

【分析】

根据反比例函数

k

y

x

=中k的几何意义，过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩

形面积为|k|解答即可．

【详解】

解：A、图形面积为|k|=4；

B、阴影是梯形，面积为6；

C、D面积均为两个三角形面积之和，为2×（1

2

|k|）=4．

故选B．【点睛】

主要考查了反比例函数

k

y

x

=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂

线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂

线所围成的直角三角形面积S的关系即S=1

2

|k|．

9．B

解析：B

【解析】

分析：分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．详解：①y=﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；

②y=3

x

，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；

③y=2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；

④y =3x ，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项正确．

故选B ．

点睛：本题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题的关键．

10．C

解析：C

【解析】

【分析】

过A 作AF ∥BC 交BM 延长线于F ，设BC=3a ，则BP=PQ=QC=a ；根据平行线间的线段对应成比例的性质分别求出BD 、BE 、BM 的长度，再来求BD ，DE ，EM 三条线段的长度，即可求得答案．

【详解】

过A 作AF ∥BC 交BM 延长线于F ，设3BC a =，

则BP PQ QC a ===；

∵AM CM =，AF ∥BC ， ∴1AF AM BC CM

==， ∴3AF BC a ==，

∵AF ∥BP ， ∴133

BD BP a DF AF a ===， ∴34

DF BF BD =

=， ∵AF ∥BQ ， ∴2233

BE BQ a EF AF a ===， ∴23EF BE =，即25BF BE =， ∵AF ∥BC ， ∴313BM BC a MF AF a

===， ∴BM MF =，即2BF BM =

，

∴

23

5420

BF BF BF

DE BE BD

=-=-=，

2

2510

BF BF BF

EM BM BE

=-=-=，

∴

3

::::?532

42010

BF BF BF

BD DE EM==：：．

故选：C．

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例定理以及比例的性质，正确作出辅助线是关键．11．B

解析：B

【解析】

【分析】

根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．

【详解】

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝xcm，

∵四边形ABEF是正方形，

∴EF＝AB＝ycm，

∴DF＝EC＝（x﹣y）cm，

∵矩形FDCE与原矩形ADCB相似，

∴DF：AB＝CD：AD，

即：x y y y x -

=

∴x

y

＝

5+1

，

故选B．

【点睛】

本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．

12．B

解析：B

【解析】

【分析】

根据相似三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．

【详解】

∵∠APD=90°，而∠P AB≠∠PCA，∠PBA≠∠P AC，∴无法判定△P AB与△PCA相似，故A错误；

同理，无法判定△P AB与△PDA，△ABC与△DCA相似，故C、D错误；

∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，∴AB=P A，AC=P A，AD=P A，BD=2P A，

∴=，∴，

∴△ABC∽△DBA，故B正确．

故选B．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．二、填空题

13．【解析】【详解】如图过点P作PH⊥OB于点H∵点P（mm）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点∴9=m2且m＞0解得

m=3∴PH=OH=3∵△PAB是等边三角形∴∠PAH=60°∴根据锐角三

解析：933

+

．

【解析】

【详解】

如图，过点P作PH⊥OB于点H，

∵点P（m，m）是反比例函数y=9

x

在第一象限内的图象上的一个点，

∴9=m2，且m＞0，解得，m=3.∴PH=OH=3.∵△P AB是等边三角形，∴∠P AH=60°.

∴根据锐角三角函数，得3∴OB3

∴S△POB=1

2

OB?PH

933

+

.

14．【解析】已知BC=8AD是中线可得CD=4在△CBA和△CAD中由∠B=∠DAC∠C=∠C可判定△CBA∽△CAD根据相似三角形的性质可得即可得AC2=CD?BC=4×8=32解得AC=4

解析：2

【解析】

已知BC=8， AD是中线，可得CD=4，在△CBA和△CAD中，由∠B=∠DAC，∠C=∠

C，可判定△CBA∽△CAD，根据相似三角形的性质可得AC CD

BC AC

=，即可得

AC2=CD?BC=4×8=32，解得AC=42.

15．【解析】【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H根据反比例函数解析式求出A 的坐标点B的坐标求出AHBH根据勾股定理求出AB根据菱形的面积公式计算即可【详解】作AH⊥BC交CB的延长线于H∵反比例函数y

解析：42

【解析】

【分析】

作AH⊥BC交CB的延长线于H，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标，求出AH、BH，根据勾股定理求出AB，根据菱形的面积公式计算即可．

【详解】

作AH⊥BC交CB的延长线于H，

∵反比例函数y＝3

x

的图象经过A、B两点，A、B两点的横坐标分别为1和3，

∴A、B两点的纵坐标分别为3和1，即点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），

∴AH＝3﹣1＝2，BH＝3﹣1＝2，

由勾股定理得，AB22

22

+＝2，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BC＝AB＝2，

∴菱形ABCD的面积＝BC×AH＝2，

故答案为2

【点睛】

本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义、菱形的性质，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标是解题的关键．

16．6【解析】分析：直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值再利用完全平方公式将原式变形得出答案详解：∵点P（mn）在直线y=-x+2上∴n+m=2∵点P（m

解析：6

分析：直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m 以及mn 的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．

详解：∵点P （m ，n ）在直线y=-x+2上，

∴n+m=2，

∵点P （m ，n ）在双曲线y=-

1x

上， ∴mn=-1，

∴m 2+n 2=（n+m ）2-2mn=4+2=6．

故答案为6．

点睛：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m ，n 之间的关系是解题关键． 17．【解析】【分析】利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到A （3）C （5）所以B （）然后利用待定系数法求直线BD 的解析式【详解】∵D

（53）∴A（3）C （5）∴B（）设直线BD 的解析式为y=m 解析：35y x =

【解析】

【分析】

利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到A （

3k ，3），C （5，5k ），所以B （3k ，5

k ），然后利用待定系数法求直线BD 的解析式． 【详解】

∵D （5，3），

∴A （

3k ，3），C （5，5k ）， ∴B （3k ，5

k ）， 设直线BD 的解析式为y=mx+n ， 把D （5，3），B （

3k ，5k ）代入得 5335m n k k m n ＝＝+???+??，解得350

m n ?????＝＝， ∴直线BD 的解析式为35y x =

． 故答案为35

y x =．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k

x

（k为常数，k≠0）的图象

是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了矩形的性质．

18．2【解析】【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论【详解】解：连接OC∵点A在双曲线y＝（x＞0）上过点A作AB⊥x轴于点

B∴S△O AB＝×6＝3∵BC：CA＝1：2∴S△OBC＝3×＝1

解析：2

【解析】

【分析】

根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．

【详解】

解：连接OC，

∵点A在双曲线y＝6

x

（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，

∴S△OAB＝1

2

×6＝3，

∵BC：CA＝1：2，

∴S△OBC＝3×1

3

＝1，

∵双曲线y＝k

x

（x＞0）经过点C，

∴S△OBC＝1

2

|k|＝1，

∴|k|＝2，

∵双曲线y＝k

x

（x＞0）在第一象限，

∴k＝2，

故答案为2．【点睛】

本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k 的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k 的几何意义是解题的关键．

19．【解析】【分析】分析：设BCAD 交于点G 过交点G 作GF⊥AC 与AC 交于点F 根据AC=8就可求出GF 的长从而求解【详解】解：设BCAD 交于点G 过交点G 作GF⊥AC 与AC 交于点F 设FC=x 则GF=FC= 解析：48-163 【解析】 【分析】 分析：设BC ，AD 交于点G ，过交点G 作GF ⊥AC 与AC 交于点F ，根据AC=8，就可求出GF 的长，从而求解．

【详解】

解：设BC ，AD 交于点G ，过交点G 作GF ⊥AC 与AC 交于点F ，设FC=x ，则GF=FC=x ，

∵旋转角为60°，即可得∠FAG=60°，

∴AF=GFcot ∠FAG=3x ． 所以x+3x=8，则x=12-43． 所以S △AGC =12

×8×（12-43）=48-163

20．>【解析】【分析】由图像可知在射线上有一个特殊点点到射线的距离点到射线的距离于是可知利用锐角三角函数即可判断出【详解】由题意可知：找到特殊点如图所示：设点到射线的距离点到射线的距离由图可知【点睛】本 解析：>

【解析】

【分析】

由图像可知在射线OP 上有一个特殊点Q ,点Q 到射线OA 的距离2QD =Q 到射线OB 的距离1QC =，于是可知AOP BOP ∠>∠ ,利用锐角三角函数

sin sin AOP BOP ∠>∠ ,即可判断出m n >

【详解】

由题意可知：找到特殊点Q ，如图所示：

设点Q 到射线OA 的距离QD ，点Q 到射线OB 的距离QC 由图可知2QD =1QC =

∴ 2sin QD AOP OP OP

∠== ,1sin QC BOP OP OP ∠== ∴sin sin AOP BOP ∠>∠, ∴m n OP OP

> ∴m n >

【点睛】

本题考查了点到线的距离，熟知在直角三角形中利用三角函数来解角和边的关系是解题关键.

三、解答题

21．173米

【解析】

【分析】

由外角的性质可以得到∠PAC=∠APB ，从而有PB=AB=200，在Rt △PBC 中，由三角函数定义可以求出PC 的长．

【详解】

解：由题意，可得∠PAC=30°，∠PBC=60°．∴∠APB=∠PBC=∠PBC －∠PAC=30°．∴∠PAC=∠APB ．∴PB=AB=200．在Rt △PBC 中，∠PCB=90°，∠PBC=60°，PB=200，∴PC=PBsin ∠PBC=34002003346.4==≈173（米）． 答：灯塔P 到环海路的距离PC 约等于173米．

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．

22．（1）详见解析；（2）AC=9，CD=

152

. 【解析】

【分析】

（1）根据相似三角形的判定证明即可；

（2）利用相似三角形的性质解答即可．【详解】

证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB；

（2）∵△ABE∽△ACB，

∴AB AE AC AB

=，

∴AB2＝AC?AE，∵AB＝6，AE＝4，

∴AC＝

2

9 AB

AE

=，

∵AB∥CD，

∴△CDE∽△ABE，

∴CD CE AB AE

=，

∴

()

?

?6515

42

AB AC AE

AB CE

CD

AE AE

-?

====．

【点睛】

此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB．23．(1)图见解析，C1(－6，4)；(2)D1(2a，2b)．

【解析】

【分析】

（1）连接OB并延长，使BB1=OB，连接OA并延长，使AA1=OA，连接OC并延长，使CC1=OC，确定出△A1B1C1，并求出C1点坐标即可；

（2）根据A与A1坐标，B与B1坐标，以及C与C1坐标的关系，确定出变化后点D的对应点D1坐标即可．

【详解】

（1）根据题意画出图形，如图所示：

则点C1的坐标为（-6，4）；

（2）变化后D的对应点D1的坐标为：（2a，2b）．

【点睛】

运用了作图-位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．

24．(1)证明见解析；(2).

【解析】

【分析】

（1）根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；

（2）根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得

到 CE=AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明=，由相似三角形的性

质列出比例式，计算即可．

【详解】

(1)证明：∵AC 平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∵AC2=AB?AD，

∴=，

∴△ADC∽△ACB；

(2)∵△ADC∽△ACB，

∴∠ACB=∠ADC=90°，

∵点 E 为 AB 的中点，

∴CE=AE= AB= ，

∴∠EAC=∠ECA，

∴∠DAC=∠EAC，

∴∠DAC=∠ECA，

∴CE∥AD；

∴==，

∴=．

【点睛】

本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．