概率论第三版第2章答案详解

第二章作业题解:

2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.

解：

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6

由表格知X 的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。

并且，361)12()2(=

===X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；36

)9()5(====X P X P ；

)8()6(====X P X P ；366)7(==X P 。

即 36

7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)

2.2 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a .

解：根据

1)(0

==∑∞=k k X P ，得10

=∑∞

=-k k

，即111

=---e

ae 。故 1-=e a

2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7 和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：

(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则

12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ========

两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=???=B B A A P ，两人各投中一次的概率为：

2016

.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=????=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。所以：

（1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++

(2) 甲比乙投中的次数多的概率为：

12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628

P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=???+?+??= 2.4 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15

}{===k k

k X P ，求

)31()1(≤≤X P )5.25.0()2(<

2153152151)31(=++=

≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==<

1152151=+= 2.5 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21

}{ ===k k X P k

，求 };6,4,2{)1( =X P }3{)2(≥X P

解：31)21211(21212121}6,4,2{)1(4

22642=++?=++==

X P

}2{}1

{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P

2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率均为0.4 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出

信号, 求下列事件的概率：

(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.

解：(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P

1792.04.06.04.04

4=+?=C (2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P

31744.04.06.04.06.04.0544

52335=+?+?=C C .

2.7 某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊

松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率： (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾;

(2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解：(1) ()!

P X k e k λλ-==

，由题意，0.53 1.5,0k λ=?==，所求事件的概率为 1.5e -.

(2) 0

(2)110!

P X e e e e λλλλλλ

λ----≥=-

=--, 由题意，0.54 1.5λ=?=，所求事

件的概率为2

13e --.

2.8 为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99？

解：设应配备m 名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X ，则)01.0,180(~B X 。依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即99.0)(≥≤m X P ，也即

01.0)1(≤+≥m X P

因为n =180较大，p =0.01较小，所以X 近似服从参数为8.101.0180=?=λ的泊松分布。查泊松分布表，得，当m +1=7时上式成立，得m =6。故应至少配备6名设备维修人员。

2.9 某种元件的寿命X (单位：小时) 的概率密度函数为：

1000

,1000()0,1000

x f x x x ?≥?

=??? 求5 个元件在使用1500 小时后, 恰有2 个元件失效的概率。

解：一个元件使用1500小时失效的概率为

1000

1000)15001000(1500

1000

1500

10002=

==≤≤?x

dx x X P 设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y ，则)3

1,5(~B Y 。所求的概率为

22351280

(2)()()33243

P Y C ==?=。

2.10 设某地区每天的用电量X (单位：百万千瓦?时) 是一连续型随机变量, 概率密度函数为：

212(1),01,

()0,x x x f x ?-=?

? 其他

假设该地区每天的供电量仅有80万千瓦?时, 求该地区每天供电量不足的概率. 若每天的供电量上升到90万千瓦?时, 每天供电量不足的概率是多少? 解：求每天的供电量仅有80万千瓦?时, 该地区每天供电量不足的概率，只需要求出该地区用电量X 超过80万千瓦?时（亦即X ≥0.8百万千瓦?时）的概率：

0.80.8

2340.8

(0.8=1-P(X 0.8=1-()112(1)1(683)

0.0272

P X f x dx x x dx

x x x -∞

≤=--=--+=?

? ））

若每天的供电量上升到90万千瓦?时, 每天供电量不足的概率为：

0.90.9

0.9

(0.9=1-P(X 0.9=1-()112(1)1(683)

0.0037

P X f x dx x x dx

x x x -∞≤=--=--+=?

? ））

2.11 设随机变量~(2,4),K U -求方程2

2230x Kx K +++=有实根的概率.

解：方程2

2230x Kx K +++=有实根，亦即248124(3)(1)0K K K K ?=--=-+≥,

显然，当31K K ≥?≤-时，方程2

2230x Kx K +++=有实根；又由于~(2,4),K U -所

求概率为：

1(2)431

4(2)3

---+-=--。

2.12 某型号的飞机雷达发射管的寿命X (单位：小时) 服从参数为0.005 的指数分布, 求下

列

事件的概率：

(1) 发射管寿命不超过100 小时; (2) 发射管的寿命超过300 小时;

(3) 一只发射管的寿命不超过100 小时, 另一只发射管的寿命在100 至300 小时之间.

解：(1) 发射管寿命不超过100 小时的概率：

100

0.0050.0050.50

(100)0.0051x

x P X e

dx e

e ---<==-=-?=0.39

(2) 发射管的寿命超过300 小时的概率：

1.5 1.5(300)1(300)1(1)0.223P X P x e e -->=-<=--==

(3) 一只发射管的寿命不超过100 小时, 另一只发射管的寿命在100 至300 小时之间.

0.50.5 1.5(1)()0.15e e e -----=。

2.13 设每人每次打电话的时间(单位：分钟) 服从参数为0.5 的指数分布. 求282 人次所打

的电话中, 有两次或两次以上超过10 分钟的概率.

解：设每人每次打电话的时间为X ，X ~E (0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为

510

5.010

5.05.0)10(-+∞

-+∞

-=-==>?e e

dx e

X P x x

又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y ，则),282(~5

-e B Y 。

因为n =282较大，p 较小，所以Y 近似服从参数为9.12825

≈?=-e

λ的泊松分布。

所求的概率为

)1()0(1)2(=-=-=≥Y P Y P Y P

56625.09.219.119.19.19.1=-=--=---e e e

2.14 某高校女生的收缩压X (单位：毫米汞柱) 服2(110,12)N , 求该校某名女生： (1) 收缩压不超过105 的概率;

(2) 收缩压在100 至120 之间的概率. 解：(1))42.0(1)42.0()12

110

105(

)105(Φ-=-Φ=-Φ=≤X P 3372.06628.01=-=

(2))12

110

100()12110120(

)120100(-Φ--Φ=≤≤X P 5934.017967.021)83.0(2)83.0()83.0(=-?=-Φ=-Φ-Φ=。

2.15 公共汽车门的高度是按成年男性与车门碰头的机会不超过0.01 设计的, 设成年男性的

身高X (单位：厘米) 服从正态分布N (170，2

62), 问车门的最低高度应为多少? 解：设车门高度分别为x 。则：

170

()10.010.99(

x P X x -≤=-==Φ 查表得，(2.33)0.99Φ=，因此170

2.336

x -=，由此求得车门的最低高度应为184厘米。

2.16 已知20 件同类型的产品中有2 件次品, 其余为正品. 今从这20 件产品中任意抽取4 次, 每次只取一件, 取后不放回. 以X 表示4 次共取出次品的件数, 求X 的概率分布与分布函数.

解：X 的可能取值为0,1,2。

因为1817161512(0),2019181719P X ===； 2

184203

(2)95

C P X C ===；

12332(1)1199595

P X ==-

-= 所以X 的分布律为

X 0

1219 3295 395

X 的分布函数为

0120119

()921295

12x x F x x x

?≤

2.17 袋中有同型号小球5 只, 编号分别为1,2,3,4,5. 今在袋中任取小球3 只, 以X 表示取

出的3只中的最小号码, 求随机变量X 的概率分布和分布函数. 解：X 的可能取值为1,2,3。

因为6.010

)1(3524====C C X P ； 1.01011)3(35==

==C X P ； 3.01.06.01)2(=--==X P

所以X 的分布律为

1 2 3 P

0.6

0.3

0.1

X 的分布函数为

????

?≥<≤<≤<=3

1329.0216.010

)(x x x x x F 2.18 设连续型随机变量X 的分布函数为：

0,1,()ln ,1,1,x F x x x e x e

=≤

求（1）{2}P X <，{03}P X <<，{2 2.5}.P X <≤ （2）求X 的概率密度函数()f x 。解：(1)2ln )2()2(==

101)0()3()30(=-=-=<

25.1ln 2ln 5.2ln )2()5.2()5.22(=-=-=≤

(2) ???<≤='=-其它0

1)()(1e x x x F x f

2.19 设连续型随机变量X 的分布函数为：

2,0,

()0,0.

x a be x F x x -

?+≥??

（1）求常数,a b

（2）求X 的概率密度函数()f x 。（3）求{ln 4ln16}.P X <≤

解：(1)由1)(=+∞F 及)0()(lim 0F x F x =→，得?

??=+=01

b a a ，故a =1,b =-1.

(2) ?????<≥='=-0

0)()(2

x x xe

x F x f x (3) )4ln ()16ln ()16ln 4ln (F F X P -=<<

25.04

)1()1(2

4ln 2

ln ==

---=--e e 。

2.20设随机变量X 的概率分布为：

X 0 2

π π

π k p

0.3

0.2

0.4

0.1

解：(1) Y 的可能取值为0, π2, 4π2

。

因为2.0)2

()0(==

==π

X P Y P ；

7.0)()0()(2==+===ππX P X P Y P ；

1.0)2

3()4(2==

==π

πX P Y P 所以Y 的分布律为

Y 0 π2

4π2

0.2

0.7

0.1

(2) Y 的可能取值为-1,1。

因为 7.0)()0()1(==+==-=πX P X P Y P ；

3.0)2

3()2

()1(==

==π

X P X P Y P 所以Y 的分布律为

Y -1 1 P

0.7

0.3

2.21 设随机变量X 的分布函数为

10.311()0.81212

x x F x x x <-??-≤

≤

因为 3.0)1(=-=X P ；5.03.08.0)1(=-==X P ；2.08.01)2(=-==X P 所以X 的分布律为

X -1 1 2 P

0.3

0.5

0.2

(2) Y 的可能取值为1,2。

因为 8.0)1()1()1(==+-===X P X P Y P ；

2.0)2()2(====X P Y P

所以Y 的分布律为

Y 1 2 P

0.8

0.2

2.22 设随机变量~(0,1)X N ，求下列随机变量Y 概率密度函数：（1）21;Y X =- （2）X

Y e

-=； (3)2

Y X =.

解：(1) 已知2

221)(x X e

x f -

因为)2

()21()12()()(+=+≤

=≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y 求导得 )2

(21)21)(21()(+='++=y f y y f y f X X Y 8

)1(2)2

2212121+-

+-=

y y e

e π

所以Y 参数分别为-1, 22

服从正态分布。 (2) 已知2

221)(x X e

x f -

因为

ln ()()()(ln )

(ln )1(ln )1(ln )12X Y t y

X F y P Y y P e y P X y e

P X y P X y F y dt

--∞

=≤=≤=-≤=≥-=-≤-=--=-?

求导得 2

ln 211,0()20,0;x

Y e y f y y y π

-?>?

=??≤?

(3) 已知2

21)(x X e

x f -

2()()()()()()

Y X X F y P Y y P X y P y X y F y F y =≤=≤=-≤≤=--

求导得 21

()20,0;

y Y

e y

f y y

y π-?>?

=??≤?

2.23解：(1)已知???

??<<=其他

01)(ππ

x x f X

)()()ln 2()()(2

2y X y Y e F e X P y X P y Y P y F =≤=≤=≤=

求导得 )(2

))(()(222

X y y y X Y e f e e e f y f ='=

因为当π<<2

0y e

，即πln 2

)(2

y X e f ；当y 取其他值时0)(2

=y X e f 。

所以 ?????<=其他

ln 221)(2ππ

y e

y f y

Y 为所求的密度函数。

二、第二章定义、定理、公式、公理小结及补充：

（1）离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量X的可能取值为X k(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=X k)的概率为

P(X=x k)=p k，k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：

)

k p

=。

显然分布律应满足下列条件：

（1）

≥

p，

,2,1

k，（2）

∑∞

。

（2）连续型随机变量的分布密度设

)

F是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)

f，对任意实数x，有

?∞-=x dx

(

)

(

，

则称X为连续型随机变量。)

f称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质：

1°

)

(≥

f。

2°

?+∞∞-=1

)

(dx

。

（3）离散与连续型随机变量的关系

(

)

(

)

(≈

≤

≈

积分元dx

(在连续型随机变量理论中所起的作用与k

k p

(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

（4）分布函数

设X 为随机变量，x 是任意实数，则函数

)()(x X P x F ≤=

称为随机变量X 的分布函数，本质上是一个累积函数。

)()()(a F b F b X a P -=≤< 可以得到X 落入区间],(b a 的概率。分布

函数)(x F 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。

分布函数具有如下性质：

1° ,1)(0≤≤x F +∞<<∞-x ；

2° )(x F 是单调不减的函数，即21x x <时，有 ≤)(1x F )(2x F ； 3° 0)(lim )(==-∞-∞

→x F F x ， 1)(lim )(==+∞+∞

→x F F x ；

4° )()0(x F x F =+，即)(x F 是右连续的； 5° )0()()(--==x F x F x X P 。对于离散型随机变量，∑≤=

x x k

k p

x F )(；

对于连续型随机变量，?∞

dx x f x F )()( 。

（5）八大分布

0-1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q

二项分布

在n 重贝努里试验中，设事件A 发生的概率为p 。事件A 发生的次数是随机变量，设为X ，则X 可能取值为n ,,2,1,0 。

n k k n n q

p C k P k X P -===)()(，其中

n k p p q ,,2,1,0,10,1 =<<-=，

则称随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布。记为

),(~p n B X 。

当1=n 时，k

k q p k X P -==1)(，1.0=k ，这就是（0-1）分

布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布设随机变量X 的分布律为

λλ-=

=e k k X P k

)(，0>λ， 2,1,0=k ，

则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，记为)(~λπX 或者P(λ)。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n →∞）。

超几何分布

),min(,2,1,0,)(n M l l k C C C k X P n

n M

N k M ==?==-- 随机变量X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为H(n,N,M)。

几何分布

,3,2,1,)(1===-k p q k X P k ，其中p ≥0，q=1-p 。

随机变量X 服从参数为p 的几何分布，记为G(p)。

均匀分布

设随机变量X 的值只落在[a ，b]内，其密度函数)(x f 在[a ，b]上为常数a

b -1

，即

??-=,0,1)(a

b x f 其他，则称随机变量X 在[a ，b]上服从均匀分布，记为X~U(a ，b)。

分布函数为

?∞

dx x f x F )()(

当a ≤x 1

b x x x X x P --=

<<1

221)(。

0， x

其中0>λ，则称随机变量X 服从参数为λ的指数分布。 X 的分布函数为

其中μ、0>σ为常数，则称随机变量X 服从参数为μ、

σ的正态分布或高斯（Gauss ）分布，记为),(~2

σμN X 。

)(x f 具有如下性质：

1° )(x f 的图形是关于μ=x 对称的； 2° 当μ=x 时，σπμ21

)(=

f 为最大值；

若),(~2σμN X ，则X 的分布函数为 dt e x F x t ?∞---=22

2)(21)(σμπσ。。

参数0=μ、1=σ时的正态分布称为标准正态分布，记为

)(x Φ是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝

21。如果X ~),(2

σμN ，则σμ-X ~)1,0(N 。

??-Φ-??? ??-Φ=≤<σμσμ1221)(x x x X x P 。

=)(x f ,x e λλ- 0≥x ,

先利用X的概率密度f X(x)写出Y的分布函数F Y(y)＝P(g(X)≤

y)，再利用变上下限积分的求导公式求出f Y(y)。

概率论与数理统计第四版第二章习题答案

概率论与数理统计第二章习题 1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。解设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010； 2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。解（1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法： 3554 1021 C ?= =?，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为 2 2335511 {3}10 C P X C C ==== 若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法，其概率为23335533 {4}10 C P X C C ==== 若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法其概率为 25335566 {5}10 C P X C C ==== 一般地 3 5 21 )(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为

（2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件， X的取值为1,2，3,4，5,6，最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11 {1} 36 P X==；最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3）， 9 {2} 36 P X==；最小点数为3的共有7种， 7 {3} 36 P X==；最小点数为4的共有5种， 5 {4} 36 P X==；最小点数为5的共有3种， 3 {5} 36 P X==；最小点数为6的共有1种， 1 {6} 36 P X== 于是其分布律为 3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数，（1）求X的分布律；（2）画出分布律的图形。解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下，从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3 15151413 P=??，其概率为若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3 13131211 P=?? 其概率为 13121122 {0} 15141335 p X ?? === ??

概率论第二章练习答案

《概率论》第二章练习答案一、填空题： ”2x c S 1 1.设随机变量X的密度函数为f(x)= 则用丫表示对X的3次独立重复的 0 其匕 '- 观察中事件(X< -)出现的次数，则P (丫= 2)= ___________________ 。 2 2.设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0

4. 设为随机变量，E =3, E 2=11,则 E (4 10) = 4E TO =22 5. 已知X的密度为(x)二ax?"b Y 01 0 . x :: 1 1 1 (x ) =P(X?),则 3 3 6. 7. 1 1 (X〈一)= P ( X〉一)一 1 (ax b)dxjQx b) 联立解得: dx 若f(x)为连续型随机变量X的分布密度，则J［f(x)dx= ________ 1 ——'J 设连续型随机变量汕分布函数F(x)=x2/：, 丨1, x ：： 0 0 岂 x ：：： 1，则 P ( E =0.8 ) = _0_; P(0.2 ：：：： 6) = 0.99 8. 某型号电子管，其寿命(以小时记)为一随机变量，概率密度：(x)二 x _100 x2，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不0(其他) 需要更换的概率为_____ 厂100 8/27 _________ x> 100

概率论与数理统计第二章答案

第二章随机变量及其分布 1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为；投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010 投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X 2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为 10 61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10 11)2,1,3()3(35 2 435 2 335 2 2=?= === ?==== ?= ==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：10 6, 103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。 35 22 )0(315313= ==C C X P 3512)1(3 15213 12=?==C C C X P 35 1)2(3 15 113 22= ?= =C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2 P ： 35 1, 3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0

概率论与数理统计(第三版)课后答案习题5

第五章大数定律与中心极限定理 1. 设随机变量ξ的方差为 2.5。利用契贝雪夫不等式估计： {}5.7||≥-ξξE P 的值。解：由契贝雪夫不等式：2 }|{|εξ εξξD E P ≤ ≥-，又已知 5.7,5.2==εξD ，故 044 .05.75 .2}5.7|{|2 =≤≥-ξξE P 。 2. 已知某随机变量ξ的方差D ξ=1，但数学期望E ξ=m 未知，为估计m ，对ξ进行n 次独立观测，得样本观察值ξ1，ξ2，…，ξn 。现用 {}∑=≥<-=n i i p m P m n n 1 5.0||1ξξξ多大时才可能使问当估计，。解：因∑=== n i i m E n E 1 ,1ξξ又ξ1，ξ2，…，ξn 相互独立，故 ∑∑=== ==n i n i i i n D n n D D 11 21 )(1)1(ξξξ，根据契贝雪夫不等式，有 2 5.01}5.0|{|ξξξD E P - ≤<-，即n m P 4 1}5.0|{|- ≤<-ξ，再由 p n p n -≥≥- 14,41得。 3. 设在由n 个任意开关组成的电路的实验中，每次试验时一个开关开或关的概率各为12 。设m 表示在这n 次试验中遇到的开电次数，欲使开电频率m n 与开电概率p =0.5的绝对误差小于ε =0.01，并且要有99%以上的可靠性来保证它实现。试用德莫佛-拉普拉斯定理来估计，试验的次数n 应该是多少？

从参数为p 的二点分布，且E i ξ=p ， D i ξ=p (1-p )≤1/4，而 ∑ === n i i n n 1 ξξ η是n 个独立同分布的随机变量之和，故由中心极限定理知) 1,0(~N D E η η η-，因此有 ?? ????<-ξξD p n P 21 122222/-??? ??Φ=???? ??Φ≈?? ???????? <-=n D D D D D E P ηξηξη ηη，为使 6 ,16.5,99.0122≥>≥-?? ? ??Φn n n 即查表得。 6. 一个养鸡场购进一万只良种鸡蛋，已知每只鸡蛋孵化成雏鸡的概率为0.84，每只雏鸡育成种鸡的概率为0.9，试计算由这些鸡蛋得到种鸡不少于7500只的概率。解：定义承机变量?? ?=., 0, ,1鸡只鸡蛋不能育成种第鸡只鸡蛋能育成种第k k k ξ) 10000,,2,1(Λ=k 。则k ξ)10000,,2,1(Λ=k 是独立同分布的，且756.09.084.0}1{=?==k P ξ， 224 .0756.01}0{=-==k P ξ。显然∑==10000 1 k k ξξ表示10000只鸡蛋中能育成种鸡的个数。此为n =10000，p =0.756的贝努利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得 92.0)1(75001)1(7500)1(}7500{=??? ? ??--Φ-=??????????--≥--=≥p np np p np np p np np P P ξξ。 7. 某印刷厂在排版时，每个字符被排错的概率为0.0001，试求在300000个字符中错误不多于50个的概率。解：令?? ?=. , 0, ,1个字未排错第个字排错第i i i ξ则∑==50000 1 i i ξξ是服从参数n =50000，p =0.0001的贝努利概型，因此由隶莫弗——拉普拉斯定理可得

第二章_概率论解析答案习题解答

第二章随机变量及其分布 I 教学基本要求 1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系； 2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质； 3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用； 4、会求简单随机变量函数的分布. II 习题解答 A 组 1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为 1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω= 以X 表示两个产品中的合格品数. (1) 写出X 与样本点之间的对应关系； (2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→； (2) 1 2(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-. 2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？ (1) 021()2021 x F x x x <-??? =-≤

求常数A 及(13)p X <≤？解：由()1F +∞=和lim (1)x x A e A -→+∞ -=得 1A =； (13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-. 4、设随机变量X 的分布函数为 2 00()0111 x F x Ax x x ≤??=<≤??>? 求常数A 及(0.50.8)p X <≤？解：由(10)(1)F F +=得 1A =； (0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=. 5、设随机变量X 的分布列为 ()a p X k N == (1,2,,)k N =L 求常数a ？解：由 1 1i i p +∞ ==∑得 1 1N k a N ==∑ 1a ?=. 6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、 5，且 0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、321090 5100 (3)C C p X C ==、 4110905100(4)C C p X C ==、50 1090 5100 (5)C C p X C == 于是X 的分布列为