2003年高考数学试题 江西卷
2003年高考数学试题（江西卷 理工农医类）
●试题部分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.
2
)
3(31i i
+-等于（ ） A.
i 4341+
B.i 4
341--
C.i 2
321+
D.i 2
321--
2.已知x ∈（－
2
π，0），cos x =
5
4
，则tan2x 等于（ ） A.
24
7
B.－
24
7 C.
7
24 D.－
7
24 3.设函数f （x ）=???
??>≤--.
0 ,,0,1221x x x x 若f （x 0）>1，则x 0的取值范围是（ ）
A.（－1，1）
B.（－1，+∞）
C.（－∞，－2）∪（0，+∞）
D.（－∞，－1）∪（1，+∞）
4.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
λ+=(
+
，λ∈［0，+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
5.函数y =ln
1
1
-+x x ，x ∈（1，+∞）的反函数为（ ） A.y =11+-x x e e ，x ∈（0，+∞）
B.y =11-+x x e e ，x ∈（0，+∞）
C.y =1
1+-x x e e ，x （－∞，0）
D.y =1
1-+x x e e ，x ∈（－∞，0）
6.棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）
A.3
3a
B.4
3a
C.6
3a
D.12
3a 7.设a >0，f （x ）=ax 2+bx +c ，曲线y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，
4
π
］，则P 到曲线y =f （x ）对称轴距离的取值范围为（ ）
A.［0，
a
1
］ B.［0，
a
21
］ C.［0，|
a b 2|］ D.［0，|a
b 21-|］ 8.已知方程（x 2－2x +m ）（x 2－2x +n ）=0的四个根组成一个首项为41
的等差数列，则 |m －n |等于（ ） A.1
B.
4
3 C.
2
1 D.
8
3 9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线y =x －1与其相交于M 、N 两点，
MN 中点的横坐标为－
3
2
，则此双曲线的方程是（ ） A.14322=-y x
B.1342
2=-y x C.12
522=-y x
D.15
222=-y x 10.已知长方形的四个顶点A （0，0）、B （2，0）、C （2，1）和D （0，1），一质点从AB
的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1 3 1 ，1） B.（ 3 2 ,31） C.（ 2 1 ,52） D.（ 3 2,52） 11.)C C C C (C C C C lim 11413122 242322n n n ++++++++∞→ 等于（ ） A.3 B. 3 1 C. 6 1 D.6 12.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A.3π B.4π C.3 3π D.6π 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13.（x 2－ x 21）9 展开式中x 9的系数是_____. 14.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_____、_____、_____辆. 15.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种.（以数字作答） 16.下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是_____.（写出所有符合要求的图形序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数f （x ）=2sin x ·（sin x +cos x ）. （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期和最大值； （Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数y =f （x ）在区间［－ 2, 2π π］上的图象. 18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB =90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G . （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离. 19.（本小题满分12分）设a >0，求函数f （x ）=x －ln （x +a ）（x ∈（0，+∞））的单调区间. 20.（本小题满分12分）A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1，A 2，A 3，B 队队员是B 1，B 2，B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下： 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分.设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η. （Ⅰ）求ξ、η的概率分布； （Ⅱ）求E ξ，E η. 21.（本小题满分12分）已知常数a >0，向量c =（0，a ），i =（1，0），经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A （0，a ），以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P .其中λ∈R .试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE |+|PF |为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由. 22.（本小题满分14分）设a 0为常数，且a n =3n － 1－2a n －1（n ∈N +）. （Ⅰ）证明对任意n ≥1，a n = 5 1［3n +（－1）n － 1·2n ］+（－1）n ·2n a 0； （Ⅱ）假设对任意n ≥1有a n >a n －1，求a 0的取值范围. ●答案解析 1.答案：B 解析： )60sin 60(cos 2) 60sin 60(cos 2)30sin 30(cos 2)60sin 60(cos 2) 3(31222 ?+??-?=?+??-?=+-i i i i i i .4 3 41)2321(21)]120sin()120[cos(21i i i --=--=?-+?-=. 2.答案：D 解法一：∵x ∈（－ 2 π ，0），cos x = 54，∴sin x =－53，tan x =－4 3 ，∴tan2x = 7 24 tan 1tan 22 -=-x x . 解法二：在单位圆中，用余弦线作出cos x =54，x ∈（－2 π，0），判断出2x ∈Ⅳ且tan2x =A T<－1. 3.答案：D 解法一：因为f （x 0）>1，当x ≤0时，，∴x 0<－1，当x 0>0时，2 10x >1，∴x 0>1.综上，所以x 0的取值范围为（－∞，－1）∪（1，+∞）. 解法二：首先画出函数y =f （x ）与y =1的图象.由图中易得f （x ）>1 时，所对应的x 的取值范围. 4.答案：B 解析:设 B A AB AB '=||为AB 上的单位向量, C A AC '=||为AC 上的单位向量,则 | |||AC AC AB AB +的方向为∠BAC 的角平分线AD 的方向. 又λ∈［0，+∞］，∴λ（ ||||AC AC AB AB +）的方向与| |||AC AC AB AB +的方向相同. 而)| |||(AC AC AB AB OA OP ++=λ，∴点P 在AD 上移动，∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 5.答案：B 解法一：y =ln 11,11-+-+x x x x =l y ，∴x =11 -+y y l l ，又12112111-+=-+-=-+x x x x x 而x >1， ∴11-+x x >1，∴ln 11-+x x >0，因此y =ln 11-+x x 的反函数为y =1 1 -+x x l l （x >0） 解法二：因原函数的定义为（1，+∞），而y =11 21121|1<+-=+-+=+-x x x x x l l l l l .因此排 除A 、C ，又原函数的值域为（0，+∞），排除D. 6.答案：C 解析：如图，此八面体可以分割为两个正四棱锥， 而AB 2=（ 2a ）2+（2 a ）2=21a 2 ，∴V 八面体=32612131a a a =??. 7.答案：B 解析：f （x ）的导数为f ′（x ）=2ax +b ，由已知y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0， 4 π ］.因此有0≤2ax 0+b ≤1.而P 到曲线y =f （x ）的对称轴的距离为 a b ax a b ax a b x 2|2||22||2|000+=+=+ . 8.答案：C 解析：设a 1= 41，a 2=41+d ，a 3=41+2d ，a 4=4 1 +3d ，而方程x 2－2x +m =0中的两根之和为2， x 2－2x +n =0中的两根之和也是2.∴a 1+a 2+a 3+a 4=1+6d =4，∴d = 21，∴a 1=41，a 4=4 7 是一个方程的两个根，a 2=43，a 3=45是一个方程的两个根，∴ 1615,167为m 或n .∴|m －n |=2 1. 9.答案：D 解法一：设所求双曲线方程为172 2 22 =--a y a x 由?? ???-==--1 172 2 22x y a y a x 得17)1(2 222=---a x a x ，（7－a 2）x 2－a 2（x －1）2=a 2（7－a 2） 整理得：（7－2a 2）x 2+2a 2x －8a 2+a 4=0.又 MN 中点横坐标为－3 2 ， ∴x 0=3 2)7(2222 221-=--=+a a x x 即3a 2=2（7－2a 2），∴a 2=2. 故所求双曲线方程为15 22 2=-y x . 解法二：因所求双曲线与直线y =x －1的交点的中点横坐标为－ 3 2 <0，故双曲线的渐近线的斜率（k >0）时，为k >1，因此，排除B 、C.经检验?? ???-==- 115 22 2x y y x 的交点的中点横坐标为－ 3 2. 解法三：由已知MN 中点横坐标x 0=－ 32 ，可得中点纵坐标y 0=x 0－1=－3 5，设MN 与双曲线交点分别为M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），则有22 122 1b y a x -=1 ①，22 222 2b y a x -=1 ② 则②－①得： 0) )(())((2 211221212=+--+-b y y y y a x x x x ， ∴2 21122 2112))(())((b y y y y a x x x x +-=+-， ∴2 5))(())((2112211222=+-+-=x x x x y y y y a b . 10.答案：C 解析：设P 1B =x ，∠P 1P 0B =θ，则CP 1=1－x ，∠P 1P 2C 、∠P 3P 2D 、∠AP 4P 3均为θ，所以tan θ= B P B P 01=x ，又tan θ=2 21 1CP x CP CP -==x ， ∴CP 2=x x x 1 1=-－1，而tan θ=x x DP x DP D P D P =- =--=13)11(23 323， ∴DP 3=x （3－ x 1 ）=3x －1，又tan θ=4 44332)13(1AP x AP x AP AP -=--==x ， ∴AP 4= x x x 232=-－3，依题设1 －3<2， ∴4< x 2<5，51241>>x ，∴5 2 21>>x . 11.答案：B 解析：∵m n m n m n 1 1332 2C C C ,1C C +-=+== ∴2 24342242333224232 2 C C C C C C C C C C C n n n +++=++++=++++ 31C +=n ，1C C C C C C 2 1115141312-=++++++n n 3 1]12 )1([123) 1()1(lim )1C (C lim )C C C (C C C lim 2131 113122 2322=-+??-+=-=++++++∞→++∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n 12.答案：A 解法一：,3 632,26=== AD AO AD 33 2 22= -=AO SA SO . ∴R 2=32)332( 2+-R ，∴R = 2 3. ∴球的表面积为3π. 解法二：构造棱长为1的正方体，则C 1A 1BD 为棱长为 2的正 四面体，正方体的外接球体也为正四面体的外接球.此时球的直径为 3，因此球的表面积为4π（ 2 3）2 =3π. 13.答案：－ 2 21 解析：（x 2－ x 21）9的展开式中，T r +1=r 9C ·（x 2）9－ r （－x 21）r =（－2 1）r r r r x x --2189C ， r r r x 3189C )2 1(-?-=由题意得18－3r =9，∴r =3，因此x 9的系数为（－21） 3· 1 237 8981C 39????-= 2 21 - =. 14.答案：6 30 10 解析：因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为 200 1 920046=，而三种型号的轿车有显著区别.根据分层抽样分为三层按 200 1 比例抽样分别有6、30、10辆. 15.答案：120 解法一：先排1区，有4种方法，把其余四个区视为一个圆环（如图1），沿着圆环的一个边界剪开并把圆环拉直，得到如图2的五个空格，在五个空格中放3种不同元素，且①相同元素不能相邻.②两端元素不能相同.共有15种不同方法.然后再把图2粘成圆形即可.下面解决两端元素相同的情况.在这种情况下我们在六个空格如图 3.要求①相同元素不能相邻.②两端元素必须相同，共有15种不同方法.然后再把图3粘成圆环形，把两端的两格粘在一起看成一个格即可.综上，共有4（15+15）=120种方法. 图2 图3 16.答案：①④⑤ 图1 解析：①、④易判断，⑤中△PMN 是正三角形且AM =AP =AN ，因此，三棱锥A —PMN 是正三棱锥.所以图⑤中l ⊥平面MNP ，由此法，还可否定③.∵AM ≠AP ≠AN .也易否定②. 17.解：（Ⅰ）f （x ）=2sin 2x +2sin x cos x =1－cos2x +sin2x =1+ 2（sin2x cos 4 π －cos2x sin 4 π） =1+ 2sin （2x － 4 π）， 所以函数f （x ）的最小正周期为π，最大值为1+2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知 x 8 3π - 8 π- 8 π 83π 8 5π y 1 21- 1 21+ 1 故函数y =f （x ）在区间［－ 2 π， 2 π］上的图象是 18.解法一：（Ⅰ）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ， ∵D 、E 分别是CC 1、A 1B 的中点，又DC ⊥平面ABC ， ∴CDEF 为矩形. 连结DF ，G 是△ADB 的重心， ∴G ∈DF .在直角三角形EFD 中，EF 2=FG ·FD = 3 1FD 2， ∵EF =1，∴FD = 3. 于是ED = 2，EG = 36 3 21=?. ∵FC =ED = 2，∴AB =22，A 1B =23，EB =3. ∴sin EBG = 32 3 136= ?=EB EG . ∴A 1B 与平面ABD 所成的角是arcsin 3 2 . （Ⅱ）连结A 1D ，有E AA D ADE A V V 1 1--=. ∵ED ⊥AB ，ED ⊥EF ，又EF ∩AB =F ，∴ED ⊥平面A 1AB ， 设A 1到平面AED 的距离为h ，则S △AED ·h =AE A S 1?·E D. 又2 621,2412111 1=?==?== ???ED AE S AB A A S S AED AB A AE A . ∴36 22 6 22=?= h . 即A 1到平面AED 的距离为 3 6 2. 解法二：（Ⅰ）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠A 1BG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O .设CA =2a ， 则A （2a ，0，0），B （0，2a ，0），D （0，0，1）， A 1（2a ，0，2），E （a ，a ，1），G （ 3 1 ,32,32a a ）. ∴BD a a GE ),3 2 ,3,3( ==（0，－2a ，1）. ∴03 2 322=+-=?a BD GE ， 解得a =1. ∴)3 1 ,34,32(),2,2,2(1 -=-=BG BA . ∴cos A 1BG =37213 132314 ||||11=?=BG BA . A 1 B 与平面ABD 所成角是arccos 3 7. （Ⅱ）由（Ⅰ）有A （2，0，0），A 1（2，0，2），E （1，1，1），D （0，0，1）. ED AE ?=（－1，1，1）·（－1，－1，0）=0， ED AA ?1=（0，0，2） ·（－1，－1，0）=0， ∴ED ⊥平面AA 1E ，又ED ?平面AED ， ∴平面AED ⊥平面AA 1E ， 又面AED ∩面AA 1E =AE .∴点A 1在平面AED 的射影K 在AE 上. 设AK =λAE ，则K A A A K A 111+==（－λ，λ，λ－2）. 由A 1·=0，即λ+λ+λ－2=0，解得λ= 3 2. ∴)34,32,32(1--=K A . ∴3 62||1=K A . 故A 1到平面AED 的距离为 3 6 2. 19.解：f ′（x ）= a x x +- 1 21（x >0）. 当a >0，x >0时，f ′（x ）>0?x 2+（2a －4）x +a 2>0， f ′（x ）<0?x 2+（2a －4）x +a 2<0. （i ）当a >1时，对所有x >0，有x 2+（2a －4）x +a 2>0， 即f ′（x ）>0，此时f （x ）在（0，+∞）内单调递增. （ii ）当a =1时，对x ≠1，有x 2+（2a －4）x +a 2>0， 即f ′（x ）>0，此时f （x ）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递增. 又知函数f （x ）在x =1处连续，因此，函数f （x ）在（0，+∞）内单调递增. （iii ）当00，即x 2+（2a －4）x +a 2>0， 解得x <2－a －2 a -1，或x >2－a +2a -1. 因此，函数f （x ）在区间（0，2－a －2 a -1）内单调递增，在区间（2－a +2a -1， +∞）内也单调递增. 令f ′（x ）<0，即x 2+（2a －4）x +a 2<0， 解得2－a －2 a -1 因此，函数f （x ）在区间（2－a －2 a -1，2－a +2a -1）内单调递减. 20.解：（Ⅰ）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0. P （ξ=3）= 75 8525232=??， P （ξ=2）= 7528525332525231535232=??+??+??， P （ξ=1）= 52525331535231535332=??+??+??， P （ξ=0）= 25 3535331=??； 根据题意知ξ+η=3，所以 P （η=0）=P （ξ=3）= 758 ，P （η=1）=P （ξ=2）=75 28， P （η=2）=P （ξ=1）= 5 2，P （η=3）=P （ξ=0）=253. （Ⅱ）E ξ=15 22 2530521752827583=?+?+?+? ； 因为ξ+η=3，所以E η=3－E ξ= 15 23 . 21.解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程.据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值. ∵i =（1，0），c =（0，a ），∴c +λi =（λ，a ），i －2λc =（1，－2λa ）. 因此，直线OP 和AP 的方程分别为λy =ax 和y －a =－2λax . 消去参数λ，得点P （x ，y ）的坐标满足方程y （y －a ）=－2a 2x 2， 整理得1)2 ()2(812 2 2=-+a a y x ① 因为a ＞0，所以得： （i ）当a = 2 2 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （ii ）当0＜a ＜ 2 2 时，方程①表示椭圆，焦点E （2,21212a a -）和F （－?21 2 ,212a a -）为合乎题意的两个定点； （iii ）当a ＞ 2 2时，方程①也表示椭圆，焦点E ))21(21,0(2 -+a a 和F （0，21（a － 2 1 2- a ））为合乎题意的两个定点. 22.（Ⅰ）证法一：（i ）当n =1时，由已知a 1=1－2a 0.等式成立； （ii ）假设当n =k （k ≥1）等式成立，即a k = 5 1［3k +（－1）k － 12k ］+（－1）k 2k a 0， 那么a k +1=3k －2a k =3k － 52［3k +（－1）k － 1·2k ］－（－1）k 2k +1a 0=5 1［3k +1+（－1）k 2k +1］+（－1）k +12k +1a 0， 也就是说，当n =k +1时，等式也成立. 根据（i ）和（ii ），可知等式对任何n ∈N +成立. 证法二：如果设a n －a 3n =－2（a n －1－a 3n － 1）， 用a n =3n － 1－2a n －1代入，可解出a = 5 1 . 所以{a n －53n }是公比为－2，首项为a 1－53的等比数列， ∴a n －5 3n =（1－2a 0－53）（－2）n － 1（n ∈N +）， 即a n =5 2)1(31n n n --++（－1）n 2n a 0. （Ⅱ）解法一：由a n 通项公式 a n －a n －1=5 23)1(32111---?-+?n n n +（－1）n 3×2n － 1a 0， ∴a n >a n －1（n ∈N +）等价于（－1）n － 1（5a 0－1）<（ 2 3）n －2 （n ∈N +）. ① （i ）当n =2k －1，k =1，2，…时，①式即为（－1）2k － 2（5a 0－1）<（ 2 3）2k －3， 即为a 0< 51（23）2k －3+5 1. ② ②式对k =1，2，…都成立，有a 0<51×（2 3）－1+51=31 . （ii ）当n =2k ，k =1，2，…时，①式即为（－1）2k － 1（5a 0－1）<（ 2 3）2k －2， 即为a 0>－ 51×（2 3）2k － 2+51. ③ ③式对k =1，2，…都成立，有 a 0>－ 51×（2 3）2×1－2+51=0. 综上，①式对任意n ∈N +成立，有0 3 1 . 故a 0的取值范围为（0， 31）. 解法二：如果a n >a n －1（n ∈N +）成立，特别取n =1，2有a 1－a 0=1－3a 0>0， a 2－a 1=6a 0>0，因此0 3