人口问题分析数学建模论文
2015海南师范大学第七届数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B
所属院系（请填写完整的全名）：数学与统计学院
参赛队员： 1. 任敏嘉
2. 陈亚
3. 刘小方
日期：2015 年 4 月26 日
人口问题模型
【摘要】：
日本是人口小国，日本人口数量已连续4年呈减少趋势，人口总数降至约1.27亿，创下15年来新低。其中，年满65岁者占人口总数超过四分之一，老龄化形势严峻。日本人口数量已连续4年减少，较2008年的峰值减少了约100万人。同时，人口总数也创下2000年以来的新低。
本文根据日本近十年的人口数据从而对其人口现状，人口老龄化程度等方面以及2011年我国第六次人口普查登记的全国总人口数，政府对控制人口数所提出的政策进行修改后，对未来某年的人口数进行预测，并运用MATLAB软件对各方面进行分析，根据所建设的模型对日本人口减少状况的预测和中国对控制人口政策的修改是否有利及相关问题的解决。
【关键词】：
人口现状、数据拟合、一元线性回归、老龄化、预测结果、生育模式，生育率、存活率。
一、问题的重述
近十几年来，日本的人口逐年递减，随着经济的发展，人口老龄化等现象的出现，使得日本的人口减少问题更加严重。
（1）根据日本既往的人口数据（2013年10月以前的数据，但不包括2014年的数据），建立适当的数学模型，预测2014年10月的日本人口，所预测的结果是否与2014年10月的日本实际人口相符。
（2）根据所建立的模型预测2060年的日本人口及年满65岁的老人所占人口的比例，所预测的值与新闻中所报道的“8674万”及“40%”是否相符。
（3）2011年我国第六次人口普查登记（已上报户口）的全国总人口数为1,332,810,869人，标准时点为11月1日零时。假设中国育龄夫妻的生育意愿较高，在政策允许的范围内愿意生育更多的子女。
（a）假设从2011年11月1日起，中国放开全面二胎（不论夫妻是否独生子女，所有的夫妻都可以生育二孩，但不允许生育三孩），预测中国2020年的人口及年满65岁老人的比例；
(b)根据中国的国情，结合建立的数学模型，请说明中国是否能够实施全面放
开二胎政策。如果可以，何时实施此政策，需实施多长时间。
二、模型的假设
（1）在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害、突发事故或战争等而受到大的影响；
（2）在我国和日本，视为没有人口的迁入和迁出；
（3）人口变化只与出生，死亡和老龄化有关；
（4）一段时期内我国和日本人口的死亡率不发生大的波动，不同年龄段人口的分布也不随时间发生变化；
三、问题的分析
问题一：根据附表1中给出的相关数据关数据，将近10年人口数量用MATLAB 软件画出图形再拟合函数，根据所建立的函数模型预测2014年10月的日本人口，经验证所预测的结果与2014年10月的日本实际人口基本相符。
问题二：根据历年出生人口数和死亡人口数，利用MATLAB程序对数据进行拟合。由自然人口增长数等于历年人口出生数减去历年人口死亡数，得到各年份的自然增长人口数。结合出生人口数和死亡人口数的数据画出具体图形分析发
现，数据分段呈现出一定的规律性，于是对数据进行分段拟合，并最终确定出人口的自然增长人口数。由自然人口增长数等于历年人口出生数减去历年人口死亡数，得到各年份的自然增长人口数。此公式能够较好反应中国近期及预测未来近15年内的人口增长数量。然后由我们所选取的初值人口数加上自然增长人口数拟算出每年的总人口数。
另外为了更好的分析人口的具体情况，我们根据所查得表格资料，用MATLAB画出散点图，根据图形趋势（10年内一直呈上升趋势，基于以上数据及分析），合理假设，进行数据拟合得到人口老龄化计算公式。然后由直观图得出中国老龄化指数在未来变化图像，由模型具体预测日本老龄化比例,从而确定出日本调整人口生育政策的时机、具体方案。
问题三：对于人口增长的问题，影响人口增长的因素有：人口基数，出生率，死亡率，人口男女比例，人口年龄组成，人口迁移，政治策略。
如果把众多的因素考虑进来，则问题会无从下手。因此，根据我国人口自身的发展特点，应该选取能够体现我国人口发展特点的模型。
人口发展模型有连续形式和离散形式，由于题目所给的数据是每个年龄段的具体数据，可以将这些数据视为连续的。但是，若用连续形式，则涉及偏微分方程的求解问题，很难得出预测结果，同时，数据量也很大，因此，可以直接建立离散形式的人口发展模型。
根据初期的数据，利用人口的年龄推移方法推算一段时间后人口数量，建立离散形式的人口发展模型。我们选择用2009年到2010年的人口普查数据的平均值。推算的实际过程是递归的过程，就是根据某段时间的不同性别，年龄人口的资料，按照一定的存活率和妇女生育率，推算未来某段时间相应的性别，年龄人口数的一种方法。其基本依据是人的年龄增长与时间推移的一致性，人口存活率和妇女生育水平是相对稳定的。因此，可以建立离散形式的人口发展模型。
四、相关符号的说明
符号变量变量意义
y 各年的总人口
m 各年的出生人口数
n 各年的死亡人口数
k 各年的人口自然增长数
y0 所选取的初值人口数
t0 2005到2008年的时间
t1 2009到2014年的时间
w 65岁以上人口的比例
ww 老龄化人口的拟合函数
五、模型的建立和求解
5.1 运用到的相关知识
模型一
1、一元线性回归函数拟合
m=k*t+b(k、b为一个常数)
多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：
(1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；
(2) 写出正规方程组
2、MATLAB的具体操作以及拟合函数的用法。
模型二
该模型主要是一个递归的推算过程，根据已知的某时点的数据推测出未来某时间相应的数据，就人口问题而言，可以根据本年度的人口年龄数据，推测出后一年的相应年龄加一岁的人口数据
5.2 具体模型
模型一
问题一：根据附表1中给出的总人口数，将近10年人口数量用MATLAB软件画出图形，给出我国人口现状的统计结果。具体的分布图形如下，程序将在附录中给出。
图1 日本人口现状的图形
根据图1我们可以发现在2002年到2008年这6年中我国的人口总数一致趋于上升的趋势，09年——14年之间人口逐渐下降。
根据附表1中的出生人口数和死亡人口数的数据分别画出与各年份间对应的图形（图2、图3）
图2 我国人口的出生数图形
图3 我国人口的死亡数图形
根据图2我们发现我国人口的出生人口数在02年——08年间趋于上升的基础上存在大的波动，08年之后的出生人口数呈明显的下降趋势。根据图3我们发现死亡人口数的图形在02至13年一直呈上升的趋势。
问题二：
A、人口模型
根据附表1的数据我们可以对出生人口数进行拟合，分别进行检验分析之后得到拟合函数.
m=(4480235005281563*x)/549755813888-8190450825431553/536870912 (2002<=t1<=2008)
m=6786052434743055/268435456-(6619224925956275*x)/549755813888 (2009<=t2<=2013)
根据附表2的数据我们可以对死亡人口数进行拟合，分别进行检验分析之后得到拟合函数
n=(3954252857987411*x)/137438953472 - 7601270621534183/134217728 在该模型的假设条件下，自然增长人口数就等于出生人口数减去死亡人口数，于是自然增长人口数的函数我们可以表示为：
2002年——2008年间
k=(4480235005281563*x)/549755813888-8190450825431553/536870912-（(3954252857987411*x)/137438953472 - 7601270621534183/134217728）
2009年——20013年间
k=6786052434743055/268435456-(6619224925956275*x)/549755813888-（(3954252857987411*x)/137438953472 - 7601270621534183/134217728）其中拟合图形分别见下图：
图4 02年——08年的出生人口数图形
图5 09年——13年的出生人口数图形
图6 02年——13年的死亡人口数图形
图8 02年——08年的自然增长人口数图形
图9 09年——13年的自然增长人口数
图10 拟合函数检验图
根据该人口模型以及函数模拟，如果保持现有的计划生育政策不变，人口将会在2014年年左右突破达到1.2718亿，2060年达到1.253亿。
2.人口老龄化模型
国际上通常把65岁以上的人口占总人口比例达到10％，或65岁以上人口占总人口的比重达到7％作为国家或地区进入老龄化社会的标准。目前，全世界60岁以上老年人口总数已达6亿，有60多个国家的老年人口达到或超过人口总数的10%，进入了人口老龄化社会行列。根据所查资料给出的数据我们可以看出从2001年起日本已经步入老龄化社会，而且比例在逐渐增加。根据数据我们得出65岁以上人口占总人口比例的趋势如下图：
图11 人口老龄化比例图形
由以上图行我们发现数据大致分布在一条直线上，于是对其选取一次函数进行拟合得出拟合函数为ww=(5048398709566173*x)/9007199254740992 - 1213754017844097/1099511627776，拟合函数图形如下：
图12 拟合函数图形
根据该拟合函数图形可以看出我国人口老龄化比例逐渐增大，照此拟合函数对2060年的人口老龄化比例做出预测，那时日本的老龄化程度所占比例将为50.6959%
可以发现到2060年日本的人口老龄化比例已经达到50%，所以只有提高劳动生产率、加快发展，才能更好地满足扶养老人的各种需求，才是解决老龄化问题的根本出路
注：预测的结果与新闻报道不相符。
模型二
1.符号说明
X(k)表示第k年不同年龄段人口数量的矩阵；
X（k+1)表示第k+1年不同年龄段人口数量矩阵；
S(k)表示第k年不同年龄段的存活率；
b(k)表示第k年不同年龄段的妇女的生育率和婴儿存活率的乘积；
Y(k)表示第k年的人口总数；
2.模型的建立与求解
此模型只要为了描述出我国人口短中期的发展趋势，并能够对未来的人口数量做
出预测，在实际中，研究未来人口增长规律，人口年龄结构的影响是不可忽略的重要因素，人口的出生率和死亡率都是不同的，从而人口的数量变化也不同。
人口发展的离散形式
1)第k年i周岁的人活到第k+1年成为第i+1周岁的人数为
X(k+1)=S(k)*X(k)
其中，等式左边的第i周岁换算到等式又边变为第i+1周岁。
由于出生人数受育龄妇女数和生育率的影响，所以，0周岁的婴儿成长到1周岁的概率为B（k).
2）将人口数量按照年龄分段。0~4周岁，5~9周岁，10~14周岁.........，将第k年的人口数量分为21段。
3）根据上面的结论，引入向量X（k)=[x1(k),x2(k),......,x21(k)]的转置，则可以得到人口发展方程的离散形式：
X（k+1)=A(k)*X(k)+B(k)*X(k),
其中
0 0 ...... 0 0
S1(k) 0 ...... 0 0
A(k)= 0 S2(k) ...... 0 0
. . . . .
. . . . .
0 0 ...... S20(k) 0
(21*21)
0 . . . 0 b4(k) . . . b10(k) 0 . . . 0
0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 B(k)= 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0
.
.
0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0
(21*21)
此人口发展方程为一阶差分方程，实际中，如果已知初始各个年龄段人口数量X（0），有统计数据确定矩阵A（k)和矩阵B(k),就可以预测人口的发展规律。
如果在理想(社会稳定）情况下，可以认为A(k）和B(k)都与时间无关，即为常数，则人口发展方程变为
X(k+1)=A*X(k)+B(k)*X(k).
4）确定人口指数
人口总数： Y（k)=X1(k)+X2(k)+.......+X21(k).
5)对模型中生育率进行分析.
生育率=人口总数*女性比例*婴儿成活率。
不同年龄段的女性的生育能力不同，在本模型中，假设女性的生育年龄为15~49周岁，在这个年龄范围外的女性没有生育能。
根据上述模型，用MATLAB编程求解，可以得到未来几年内各个年龄段的人口数量，这里以问题中给出的2009~2010年的平均数据，预测了未来9年的人口数
量。
12年13年14年15年16年17年18年19年20年
0~4 1.2127 1.2062 1.0584 0.9032 0.8354 0.9510 1.1004 1.1315 1.0635 5~9 0.7132 1.1450 1.1389 0.9993 0.8783 0.7879 0.8979 1.0390 1.0684 10~14 0.7067 0.7111 1.1416 1.1355 0.9963 0.8757 0.7855 0.8952 1.0359 15~19 0.7470 0.7074 0.7091 1.1384 1.1323 0.9935 0.8732 0.7833 0.8927 20~24 0.9950 0.7441 0.7020 0.7063 1.1340 1.1279 0.9896 0.8698 0.7802 25~29 1.2735 0.9954 0.7437 0.7016 0.7059 1.1334 1.1273 0.9891 0.8694 30~34 1.0040 1.2657 0.9884 0.7392 0.6973 0.7016 1.1265 1.1204 0.9831 35~39 0.9635 0.9959 1.2554 0.9804 0.7332 0.6917 0.6959 1.1174 1.1113 40~44 1.1666 0.9523 0.9843 1.2408 0.9690 0.7247 0.6837 0.6878 1.1044 45~49 1.2256 1.1461 0.9355 0.9670 1.2190 0.9519 0.7119 0.6933 0.6757 50~54 1.0284 1.1936 1.1162 0.9111 0.9418 1.1872 0.9271 0.6933 0.6542 55~59 0.7546 0.9854 1.1437 1.0695 0.8730 0.9024 1.1376 0.8883 0.6643 60~64 0.7628 0.7079 0.9244 1.0729 1.0030 0.8190 0.8465 1.0672 0.8333 65~69 0.5262 0.6842 0.6349 0.8291 0.9623 0.8996 0.7346 0.7592 0.9572 70~74 0.3404 0.4356 0.5664 0.5256 0.6864 0.7967 0.7448 0.6082 0.6285 75~79 0.2287 0.2361 0.3021 0.3929 0.3646 0.4761 0.5526 0.5166 0.4218 80~84 0.1204 0.1154 0.1192 0.1525 0.1983 0.1841 0.2403 0.2790 0.2608 85~89 0.0203 0.0183 0.0175 0.0181 0.0232 0.0301 0.0280 0.0365 0.0424 90~94 0.0098 0.0035 0.0032 0.0030 0.0031 0.0040 0.0052 0.0049 0.0064 95~99 0.0030 0.0019 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0008 0.0010 0.0009 100~
0.0080 0.0007 0.0004 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 以上
单位：亿
人口总数：
2012年： 13.8078亿
2013年： 14.2482亿
2014年： 14.4828亿
2015年： 13.9418亿
2016年： 14.3562亿
2017年： 14.2392亿
2018年： 14.2095亿
2019年： 14.1596亿
2020年： 14.0591亿
由此，若从2011年11月1日起，中国放开全面二胎，可以预测中国2020年的
人口数量为14.0591亿，年满65岁老人的比例为16.49%.
5.3调整以及预测
1）根据以上两个模型，我们可以发现日本人口的下降趋势，以及老龄化迅速上升，人口老龄化将是我们必须面对的问题。为了能在未来实现可持续的发展，我们现在亟待解决人口问题。从该意义上讲生育政策的最佳调整时期应该在21世纪初期，我们积极主张增加人口数量的政策。
未来扶养老人的社会能力的提高，应从培养高素质人口着力，采取各种措施使我国从人口数量大国转变为人力资源大国。为此，我国应采取稳定低生育水平，培养高素质人口，完善经济、社会制度，提高服务、保障能力，重视人的全面发展的政策，统筹人口、经济、社会、资源、生态、环境发展。
2）针对人口短中期预测模型，做出如下的分析与检验：
对于人口发展的中短期预测来说，总合生育率和死亡率这些值可以认为是不变的，所以用定值对十年以内的总人口数进行预测是可行的，但是，对未来而是到五十年的总人口数进行预测，其预测的数据的可信度是不高的。并且，预测的年数越长，数据的误差越大。
当总和生育率取不同值时，人口的数量有明显的差异。这里得到的数据是我国从2011年11月1日起全面放开二胎，所有有生育能力的妇女的生育力的总和平均值，实际值应略低于预测值。
六、模型的评价及总结以及优化
本文通过对历史数据的研究，选择能够描述数据规律的曲线作为预测模型。我们进行了较严格的拟合，能较好的反应数据的变化，短期预测性较高。但是忽略了其他因素的影响，当预测时间段较长时可能会导致结果不太准确。综合评价如下：
1）在对这次实验的研究中，因为数据比较齐全，所以能够较好得看观察到过去三十年的人口发展现状，为接下来的各种模型的建立提供了很好的依据。
2）由于模型是简化的，我们的假设模型是在没有外界的影响下建立的，比如自然灾害、经济波动导致的收支变化对人口增长的影响和性别比例。所以模型不是很完善，可能会使分析变得不全面，预测的结果在短期内可以较好，但长期预测结果仍存在着较大的偏差。
3）有一些值得研究的方向，我们没能及时去整理。比如热口中的性别数量差异、中青年在人口中的比例这些都是能够反映人口的现状以及对未来的预测会有一定影响，也能说明一些问题的研究方向。
4）在对模型的改进方面，我们可以引入性别比例和经济指标等因素，进行研究。把它们看做影响力大小不同的因素，进行回归分析，逐步筛选出了出生人口数、死亡人口数、人口老龄化等主要的因子，建立模型。
在模型的改进和优化方面，我们认为：
（1）可以建立一个针对调整方案的模型，这样可以对调整方案有一个定量的分析。
（2）要多方面考虑一些因素，使得模型更切合实际。
（3）还可以从人口与经济数量关系方面研究我国的人口发展问题。
数学建模人口模型
摘要 以2010年11月1日零时为标准时点，中国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共13.397亿。13亿是一个忧虑的数字。13亿人要吃饭、要穿衣、要上学、要就业、要住房……，消费的需求乘以13亿，就是一个庞大的数目，而我国的耕地、水资源、森林以及矿产资源本来就稀缺，再除以13亿，就少得可怜。平均每人耕地面积只有1.4亩，水资源只相当于世界人均水平的1/4…….、 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。当前中国的人口存在着最为明显的三大特点：（1）人口基数大，人口数量的控制难度仍很大。（2）人口整体素质不高，特别是县域及以下农村人口素质普遍偏低。（3）人口结构不合理，城乡差别、地区差别和人口素质差别很大。 人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。 我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表： 有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。 长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。 我国人口问题已积重难返，对我国人口进行准确的预测是制定合理的社会经济发展规划
数学建模logistic人口增长模型
数学建模l o g i s t i c人口 增长模型 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测的效果好并结合中国实情分析原因。 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： 0)0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再 增长，即增长率0)(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为 )1()(m x x r x r -= （3） 将（3）代入方程（1）得： ?? ? ??=-=0 )0()1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988]; x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=61.5; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); title('1954-2005年实际人口与理论值的比较')
数学建模logistic人口增长模型
Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测 表1 各年份全国总人口数（单位：千万） 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： )0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2） 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当 m x x =时人口不再增长，即增 长率 )(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为
)1()(m x x r x r -= （3） 将（3）代入方程（1）得： ?? ???=-=0 )0() 1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988]; x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=61.5; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); title('1954-2005年实际人口与理论值的比较')
数学建模 人口模型 人口预测
关于计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究 【摘要】 本文着重于讨论两个问题:1、从目前中国人口现状出发，对于中国未来人口数量进行预测。2、针对深圳市讨论单独二胎政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。 对于问题1从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了 Logistic 、灰色预测、等方法进行建模预测。 首先，本文建立了 Logistic 阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历 史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合， 对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测， 得出在 2040 年时，中国人口有 14.32 亿。在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、 出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理 论上很好，实用性不强，有一定的局限性。 然后， 为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响， 本文建立了 GM(1,1) 灰色预测模型，对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测，同时还用 2002 至 2013 年的 人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测， 得出 2040 年时，中国人口有 14.22 亿。与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄 一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。 对于问题2针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，我们采用了灰色GM(1,1)模型，通过matlab 对深圳市自2001至2010年的数据进行拟合，发现其人口变化近似呈线性增长，线性相关系数高达0.99，我们就此认定其为线性相关并给出线性方程。同理，针对其非户籍人口，我们进行matlab 拟合发现，其为非线性相关，并得出相关函数。并做出了拟合函数 0.0419775(1)17255.816531.2t X t e ?+=?-。 对于新政策的实施，我们做出了两个假设。在假设只有出生率改变的情况，人口呈现一次函数线性增加。并拟合出一次函数0.032735617965.017372.5t Y e ?=?-；在假设人口增长率增长20%时，做出了预测如果单独二胎政策实施，到2021年，深圳市常住人口数将会到达1137.98千万人。 关键词:GM(1,1)灰色模型 Logistic 阻滞增长模型 线性拟合 非线性拟合
人口增长数学模型
软件学院 人口增长模型数学建模报告 专业：软件工程 班级：卓越131班 学号：201370044120 学生姓名：郭俊成 指导教师：于志云 2015 年11 月12 日 题目：计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究
摘要 本论文针对2007年国家人口发展战略研究课题组发布的《国家人口发展战略研究报告》中关于“计划生育实施以来，全国少生了4亿多人，使世界60亿人口日推迟4年”的论述做了研究。论文根据计划生育实施之前1949-1980年的人口普查数据，使用最小二乘法拟合并建立灰色预测模型，利用数学软件，预测出了如果未实行计划生育现今中国人口的数量，从而对研究报告中“少生4亿”的结论产生质疑。 同时，本论文针对2006年全国老龄工作委员会发布的《中国人口老龄化发展趋势预测研究报告》中关于“2051年，中国老年人口规模将达到峰值4.37亿，老龄化水平基本稳定在31%左右”的论述做了研究，根据近几年的人口老龄化程度、老龄人口比重、老龄人口数量、死亡率的变化等诸多因素，建立阻滞增长模型(Logistic模型)，预测40年到70年的老龄人口数量和老龄化率，验证了报告中的关于老龄人口数目持续增加、数目庞大、老龄化严重的预测。 论文基于近期的计划生育调整、“单独二孩”政策的逐步实施、城镇化所导致的人口迁移等现象，结合江苏省的实际情况，利用差分方程模型、LESLIE矩阵，分析新政策对江苏人口数量的影响。论文从出生率着手，重点研究了新政策对江苏省14岁以下儿童、60岁以上老人的影响，分析了儿童和老人数量的变化对人口结构、教育改革、养老的直接影响作用。 关键字 单独二孩、人口老龄化、Logistic 模型、差分方程模型、LESLIE模型 一、问题描述
基于人口增长模型的数学建模(DOC)
数学建模论文 题目：人口增长模型的确定专业、姓名： 专业、姓名： 专业、姓名：
人口增长模型 摘要 随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。问题给出了1790—1980年间美国的人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每10年的人口数的变化。预测美国未来的人口。对于问题我们选择建立Logistic模型(模型2)现实中，影响人口的因素很多，人口也不能无限的增长下去，Logistic 模型引进常数N 表示自然资源和环境所能承受的最大人口数，因而得到了一个贝努利方程的初值问题公式，从实际效果来看，这个公式较好的符合实际情况的发展，随着时间的递增，人口不是无限增长的，而是趋近于一个数，这个即为最大承受数。我们还同时对数据作了深入的探讨，作数据分析预测，通过观测比较选择一个比较好的拟合模型（模型3）进行预测。预测接下来的每隔十年五次人口数量，分别为251.4949， 273.5988 ， 293.4904 ， 310.9222 325.8466。关键词：人口预测Logistic模型指数模型
一、问题重述 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 年份1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 人口(?106) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 年份1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 人口(?106) 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。 二、问题分析 人口预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长除了人口数与可利用资源外，还与医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因素有关…….可以采取几套不同的假设，做出不同的预测方案，进行比较。 人口预测可按预测期长短分为短期预测 (5年以下)、中期预测(5～20年)和长期预测(20～50年)。在参数的确定和结果讨论方面，必须对中短期和长期预测这两种情况分开讨论。中短期预测中所用的各项参数以实际调查所得数据为基础，根据以往变动趋势可较准确加以估计，推算结果容易接近实际，现实意义较大。 三、问题假设 1.在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害、突发事故 或战争等而受到大的影响； 2.假设美国人口的增长遵循马尔萨斯人口指数增长的规则 3.假设人口增长不受环境最大承受量的限制 四、变量说明
数学建模 之 人口模型
数学建模 ———关于人口增长的模型
摘要：本文讨论了人口的增长问题，并预测出了2010、2020年的美国人口。首 先，我们给出了两种预测方法：第一，在假定人口增长率不变的情况下，建立指数增长模型；第二，假定人口增长率呈线性下降的情况下，建立阻滞增长模型。对两种模型的求解，我们引入了微分方程。其次，为了选择一种较好的预测方法，我们分别对两种模型进行了检验和讨论。先列图表对预测值与真实值进行比较，然后定性的对模型进行讨论，最后一个阶段选择绝对误差、均方差和相关系数对两个模型的优劣进行定量的评价，选出最好的预测方法。 一、 问题的提出： 人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一，认识人口数量的变化规律，做出较为准确的预报，是有效控制人口增长前提，现根据下表给出的近两百 模型一（指数增长模型） 1、模型的提出背景：我们对所给的数据进行了认真仔细的分析之后，对其进行处理：将年份进行编号（i X ），人口数量计为（i Y ），以i X 为横坐标，以i Y 为纵坐标，建立直角坐标系。然后将表格中所给的数据绘在直角坐标系中附表A ，我们发现这些点大体呈指数增长趋势固提出此模型。 附图A
2、基本假设：人口的增长率是常数 增长率——单位时间内人口增长率与当时人口之比。 故假设等价于：单位时间人口增长量与当时人口成正比。 设人口增长率为常数r 。时刻t 的人口为X(t),并设X(t)可微，X(0)=X O 由假设，对任意△t>0 ，有 )() ()(t rx t t x t t x =?-?+ 即：单位时间人口增长量=r ×当时人口数 当△t 趋向于0时，上式两边取极限，即： o t →?lim )() ()(t rx t t x t t x =?-?+ 引入微分方程： )1( )0()(0 ??? ??==x x t rx dt dx 3、模型求解： 从（1）得 rdt x dx = 两边求不定积分： c rt x +=ln ∵t=0时0x x =，∴C x =0 ln rt e x rt x x 00ln ln ln =+= ∴rt e x t x 0 )(= (2) 当r>0时.表明人口按指数变化规律增长. 备注； r 的确定方法： 要用（4.2）式来预测人口,必须对其中的参数r 进行估计: 十年的增长率307.0ln 9.33 .5==r ,359.1307.0=e ,则(2)式现为: t t x )359.1(9.3)(?= 4、结论：由上函数可预测得:2010的人口为x(22):
数学建模作业求解常微分方程和人口模型问题
实验报告 课程名称：数学建模 课题名称：求解常微分方程与人口模型 专业：信息与计算科学 姓名：胡家炜 班级： 123132 完成日期： 2016 年 6 月 10 日
一．求解微分方程的通解 (1). dsolve('2*x^2*y*Dy=y^2+1','x') ans = (exp(C3 - 1/x) - 1)^(1/2) -(exp(C3 - 1/x) - 1)^(1/2) i -i (2). dsolve('Dy=(y+x)/(y-x)','x') ans = x + 2^(1/2)*(x^2 + C12)^(1/2) x - 2^(1/2)*(x^2 + C12)^(1/2) (3). dsolve('Dy=cos(y/x)+y/x','x') ans = (pi*x)/2-x*log(-(exp(C25 + log(x)) - i) /(exp(C25 + log(x))*i - 1))*i (4). dsolve('(x*cos(y)+sin(2*y))*Dy=1','x') ans = -asin(x/2 + lambertw(0, -(C30*exp(- x/2 - 1))/2) + 1) (5). dsolve('D2y+3*Dy-y=exp(x)*cos(2*x)','x') ans = C32*exp(x*(13^(1/2)/2 - 3/2)) + C33*exp(-x*(13^(1/2)/2 + 3/2)) + (13^(1/2)*exp(x*(13^(1/2)/2-3/2))*exp((5*x)/2(13^(1/2)*x)/2)* (2*sin(2*x) - cos(2*x)*(13^(1/2)/2 - 5/2)))/(13*((13^(1/2)/2 - 5/2)^2 +4))-(13^(1/2)*exp(x*(13^(1/2)/2+3/2))*exp((5*x)/2 +(13^(1/2)*x)/2)*(2*sin(2*x)+cos(2*x)*(13^(1/2)/2+5/2))) /(13*((13^(1/2)/2 + 5/2)^2 + 4)) （6）dsolve('D2y+4*y=x+1+sin(x)','x') ans = cos(2*x)*(cos(2*x)/4 - sin(2*x)/8 + sin(3*x)/12 - sin(x)/4 + (x*cos(2*x))/4 - 1/4) + sin(2*x)*(cos(2*x)/8 - cos(3*x)/12 + sin(2*x)/4 + cos(x)/4 + (x*sin(2*x))/4 + 1/8) + C35*cos(2*x) + C36*sin(2*x)
数学建模大赛A题中国人口增长预测与控制题目和论文赏析
中国人口增长预测与控制 摘要 针对中国人口的实际特点，建立了中国人口增长的数学模型，得到了中国人口随年份变化的增长率，解决了中国人口中短期和长期的人口预测与控制问题，包括人口总数、年龄结构、性别比、城乡比变化等各因素的预测与控制研究。 关键词：人口控制差分模型预测拟和Leslie模型Logistic方程 一、问题重述 中国人口增长影响因素主要包括老龄化进程的加速、出生人口性别比的升高和乡村人口城镇化。而老龄化程度、出生人口性别比和城镇化程度是由死亡人口、出生人口及城、镇、乡迁移人口所决定的。因此，人口增长的根本性影响因素是环境条件（决定死亡率）及国家政策（决定出生人口数量及性别结构）。 我们要解决的问题是：首先对中国人口增长做出分析；其次建立人口增长的数学模型，对人口在一至十年的中短期内及二十五年的长期内的增长情况做出预测，并向国家提出政策上的建议；最后将此模型与经典模型做出比较，指出差异及此模型的优缺点。 二、假设和符号说明 2.1 问题的假设
假设一每一年的人口总数，人口结构及分布和其他有关各量仅在年末发生变化，变化顺序是：一部分人先死亡，然后一部分人生小孩，最后一部分人迁移 假设二本文中所提到的婴儿出生率指的是婴儿出生且在一岁前存活的概率 假设三生育妇女一年只生一胎 假设四九十岁以上的人口变化对总人口变化影响不大，因此不予以考虑 假设五人口的迁移路径仅考虑从村到镇，从村到城 假设六国际迁入迁出对于人口的影响较小 三、问题分析 为了与机理分析结合求得较精确的结果，可以建立递推模型，利用附录中所给数据确定未知参数，进而确定描述中国人口增长的数学模型，并用此进行中短期、长期预测。 首先，由于人口增长受多个因素影响，我们分别建立描述各因素的数学模型，包括：死亡率模型、出生人口模型、生育性别比模型和迁移模型。由于死亡率模型和生育性别比有性别差异，各模型皆有城、镇、乡差异，所以需将男性人口与女性人口，城、镇、乡人口分开考虑。 其次，由于中短期、长期预测时问题的复杂程度不同，侧重点不同，因此中短期、长期预测的模型有所差异。中短期预测仅利用现有数据的变化趋势进行预测，长期预测需要通过机理分析得到。 最后，要检验模型的准确性，必须参照别的模型实际数据，因此我们用两个经典的模型：Logistic模型和Leislie模型进行求解并与本文模型进行比较。
人口增长模型数学建模论文
基于最小二乘拟合法的人口增长模型 摘要： 针对题目所提问题，本文结合题目所给数据，采取最小二乘拟合法，利用1982年到1998年的出生率和死亡率，对1999年到2008年的出生率和死亡率进行预测，并得出此时间段内的人口自然增长率，进而得出1999年到2008年的人口总数，并和实际人口总数进行对比。 一、问题背景及重述 1.1 问题的背景 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。我国自1973年全面推行计划生育以来，生育率迅速下降，取得了举世瞩目的成就，但全面建设小康社会仍面临着人口的形势和严峻挑战。随着我国经济的发展、国家人口政策的实施，未来我国人口高峰期到底有多少人口，专家学者们的预测结果不一。因此，根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 1.2 问题的重述 下表列出了中国1982～1998年的人口统计数据，去1982年为起始年（t=0），1982年的人口101654万人，人口自然增长率为14‰，以36亿作为我国人口的容纳量，试建立一个较好的人口数学模型并
给出相应的算法和程序，并与实际人口进行比较。 时间1982 1983 1984 1985 1986 1987 人口（万人）101654 103008 104357 105851 107507 109300 时间1988 1989 1990 1991 1992 1993 人口（万人）111026 112704 114333 115823 117171 118517 时间1994 1995 1996 1997 1998 人口（万人）119850 121121 122389 123626 124810 二、问题分析 三、模型假设与符号说明 3.1、模型假设 1．在未来50年人口生存的社会环境相对稳定（即没有战争及毁 灭性灾难）。 2.国际人口迁入与迁出量相等。
中国人口增长预测数学建模论文 精品
高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
中国人口增长预测 摘要: 中国作为世界上人口最多的发展中国家，人口问题直接影响着我们国家的 发展。本文运用数学建模的方法，建立了中国人口增长的数学模型，并对未来中国的人口状况做出了预测。 中短期人口模型：我们以莱斯利（Leslie ）模型作为理论基础，建立了一个全国人口模型。由于中国城镇化进程不断加快，所以把全国划分为城，镇，乡三个独立子系统建模方法是不可行的。通过对数据进行处理，在得到了全国人口的死亡率和生育率之后，再使用指数平滑的方法，就可以得到一个相对稳定的各个年龄段的死亡率和生育率。如果把中国看作一个独立的人口系统，就可以使用莱斯利模型顺利的建立起全国女性人口模型。建立了全国女性人口模型后，我们引入了两个重要的变量：男女比例矩阵)t (p 和初生男女婴儿比例函数)(t f 。通过这两个变量就可以由全国女性人口模型建立起全国人口的中短期模型。 通过中短期模型，可以分析出我国人口在未来几十年的变化趋势，得出以下结果。在2025年-2030年期间我国人口将达到峰值，然后人口数量就开始下降（参见图1）。而我国的老龄化进程会不断地加剧，在2040年左右将达到人口老龄化的最高峰，并在以后的十几年的时间里保持这种状态，形成一个人口老龄化的高峰平台（参见图2）。有意思的是，性别比例异常也对人口走势产生了影响。性别比例异常不会对人口增长产生特别明显的效果，但在人口衰退期，却对人口数目的减少起到了微妙的作用（参见图4）。 长期人口模型：在长期模型中，我们尝试着模拟未来中国100年的时间里人口总量的变化情况。 我们对莱斯利模型进行了改进，使这个模型能够适用于三个人口子系统（城，镇，乡）之间人口相互转移的情况，从而使长期人口模型在大的时间跨度能够更好的符合实际情况。 我们在模型中引入了迁移率（迁入人口与总人口的比）的概念，使这三个系统之间的迁入迁出关系得到量化。这样通过迁移率将三个相对独立的人口子系统联系起来，就能利用改进的莱斯利模型进行求解。 通过对长期人口模型的分析，我们可以得到未来100年的时间里中国人口总量的变化趋势 (见图5)。在经历了21世纪中叶的人口高峰后，我国人口可能会经历一个长达半个世纪的衰退期. 关键字：莱斯利（Leslie ）模型， 城镇化，指数平滑，老龄化，迁移率
数学建模预测中国人口增长
数学建模预测中国人口增长 并就“全面二胎”政策对未来几年人口影响 做出思考 一、摘要 日益增长的人口数量导致了资源短缺，环境恶化。通过对1900年到2017年的全国人口数量的统计数据，结合所学知识，建立数学模型logistic模型。模型通过假设条件，根据假设建立合理的模型，以及MATLAB对数据的处理，并且运用数据拟合求模型的解r，最后通过的的r预测中国未来几年内的人口变化规律，从而可以合理的有计划的利用资源，使环境和资源实现可持续发展。另外，全面二胎政策2016年正式实施，对于人口结构有问题中国，全面二胎政策将可能对人口模式造成怎样的影响。通过查阅大量文献资料，对二胎政策的影响做出思考。 关键词：人口模型中国人口数量全面二胎政策 二、问题的提出 人口问题是当今世界的三大问题之一，人口的剧烈增长导致资源日益短缺，环境日益恶化，认识和了解人口数量的变化规律，做出较准确的估测，从而有效地控制人口增长以及合理有效地开发能源和环境保护，通过1900年到2017年的人口数据变化的规律，对2018年到2023年全国人口数量做出合理的预测。
三、问题分析 通过对数据的观察，运用MATLAB的画图功能，可以看出随着时间增长，人口数量也在急剧增长，而且图像与指数模型吻合，所以不妨假设人口模型符合指数模型，建立第一个数学模型。但是通过对指数模型和实际数据的比对，发现指数模型在1978年到2003年间与实际较符合，但是2005到2018期间误差越来越大，通过对指数的性质可以了解到，当自变量无穷大时，函数趋于去穷大，这与事实相悖，因为现实资源是有限的，当人口到达某一数值后，由于各种资源、环 x，境因素的限制，人口数量将达到某一稳定值，所以，不妨假设最大人口数为 m 当人口数达到最大的时候，增长率为0，建立logistic阻滞增长数学模型。 四、模型假设与简化 1 假设：表中所给出的数据是中国人口的真实值。 2 假设：一些大型自然灾害不考虑在内，如战争，地震等。 3 假设：中国实行的生育模式一直不变。 4 假设：医疗水平无太大变化对人口数量。 五、符号说明 r——人口增长率 t——时间 x——1978年人口数量 x——时刻t的人口数 )(t ) (r x——增长率的函数 x——人口最大容量 m 六、模型建立： 这里就不叙述模型建立过程，参考课本，得到微分方程模型
基于人口增长模型的数学建模(DOC)
基于人口增长模型的数学建模(DOC)
数学建模论文 题目：人口增长模型的确定专业、姓名： 专业、姓名： 专业、姓名：
人口增长模型 摘要 随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。问题给出了1790—1980年间美国的人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每10年的人口数的变化。预测美国未来的人口。对于问题我们选择建立Logistic 模型(模型2)现实中，影响人口的因素很多，人口也不能无限的增长下去，Logistic 模型引进常数N 表示自然资源和环境所能承受的最大人口数，因而得到了一个贝努利方程的初值问题公式，从实际效果来看，这个公式较好的符合实际情况的发展，随着时间的递增，人口不是无限增长的，而是趋近于一个数，这个即为最大承受数。我们还同时对数据作了深入的探讨，作数据分析预测，通过观测比较选择一个比较好的拟合模型（模型3）进行预测。预测接下来的每隔十年五次人口数量，分别为251.4949， 273.5988 ， 293.4904 ， 310.9222 325.8466。 关键词：人口预测Logistic模型指数模型
一、问题重述 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 年份17 90 18 00 18 10 18 20 18 30 18 40 18 50 18 60 18 70 18 80 人口(?106) 3. 9 5. 3 7. 2 9.6 12 .9 17 .1 23 .2 31 .4 38 .6 50 .2 年份18 90 19 00 19 10 19 20 19 30 19 40 19 50 19 60 19 70 19 80 人口(?106) 62 .9 76 .0 92 .0 10 6.5 12 3. 13 1. 15 0. 17 9. 20 4. 22 6.
数学建模-人口增长模型
人口增长模型 摘要 本文根据某地区的人口统计数据，建立模型估计该地区2010年的人口数量。 首先，通过直观观察人口的变化规律后，我们假设该地区的人口数量是时间的二次函数，建立了一个二次函数模型，并用最小二乘法对已有数据进行拟合得到模型的具体参数，从而可以预测2010年的人口数为333.8668百万。 然后，我们发现从1980年开始该地区的人口增长明显变慢，于是我们假设人口增长率是人口数的线性减函数，即随着人口数的增加，人口的增长速度会慢慢下降，从而我们建立了阻滞增长模型，利用此模型我们最后求出2010年的人口预报数为296.3865。 关键字：人口预报，二次函数模型，阻滞增长模型 问题重述： 根据某地区人口从1800年到2000年的人口数据（如下表），建立模型估计出该地区2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。 表1 该地区人口统计数据
符号说明 )(t x t 时刻的人口数量 0x 初始时刻的人口数量 r 人口增长率 m x 环境所能容纳的最大人口数量，即0)( m x r 问题分析 首先，我们运用Matlab 软件[1]编程（见附件1），绘制出1800年到2000年的人口数据图，如图1。
18001820184018601880190019201940196019802000 图1 1800年到2000年的人口数据图 从图1我们可以看出1800年到2000年的人口数是呈现增长的趋势的，而且类似二次函数增长。所以我们可以建立了一个二次函数模型，并用最小二乘法对已有数据进行拟合得到模型的具体参数。 于是我们假设人口增长率是人口数的线性减函数，即随着人口数的增加，人口的增长速度会慢慢下降,从而我们可以建立一个阻滞增长模型。 模型建立 模型一：二次函数模型 我们假设该地区t时刻的人口数量的人口数量)(t x是时间t的二次函数，即：
数学建模作业-人口增长模型
论文结构合理，模型建立详细，思想明确，论述清楚程序和拟合是文章的亮点，模型建立完了没有做误差分析，如果补完整是一篇很不错的文章。 摘要 ?随着科学技术的发展，国内资金积累量在不断增加，但是中国人口近几年还是呈增加的趋势，这样就会影响人均收入。由于国民收入是资金积累的一部分，国民收入变化可以反映资金积累的变化。因此研究资金积累、国民收入与人口增长的关系可以转化成研究资金积累与人口增长的关系。若国民平均收入与按人口平均资金积累成正比，说明仅当资金积累的相对增长率大于人口的相对增长率时，国民平均收入才是增长的。所以认识资金积累与人口增长的关系，对国民平均收入的增长有重大意义。本文通过微分方程建立三个模型，即人口Malthus模型、资金积累指数模型、资金积累增长率与人口增长率的二次曲线模型。通过资金积累与人口增长的关系来分析国民平均收入。 关键词：资金积累人口增长国民平均收入资金积累增长率人口增长率 一、问题的重述 资金积累、国民收入、与人口增长的关系： （1）若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的. （2）作出k(x)和r(x)的示意图，分析人口激增会引起什么后果. 二、问题分析 人均国民收入主要与国家资金总积累量和总人口数有关，若总人口数的增长率大于资金积累增长率，则增长的资金不能使每一位国民增加收入，只能使少量国民收入增加，因此，总体来说，国家人均收入实际上是减少的。 三、模型假设 假设总资金增长和人口增长均为指数增长，资金积累增长率和人口增长率为二次曲线模型。 四、符号说明 a为国民收入在总资金积累中所占比例； y(t)为总资金积累量； N（t）为总人口数； Nm为人口的峰值； x(t) 为人均国民收入；
数学建模 人口增长详解
摘要:人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题作为世界上人口最多的国家，我国的人口问题 是十分突出的由于人口基数大尽管我国已经实行了20多年的计划生育政策人口的增长依然很快，巨大人口压力会给我国的社会 政治经济医疗就业等带来了一系列的问题。因此研究和解决人口问题在我国显得尤为重要。我们经常在报刊上看见关于人口增长预报，说到本世纪，或下世纪中叶，全世界的人口将达到多少亿。你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字商场有较大的区别，这显然是由于用了不同的人口整张模型计算出来的结果。 人类社会进入20世纪以来，在科学和技术和生产力飞速发展的同时世界人口也以空前的规模增长。人口每增加十亿的时间，有一百年缩短为十几年。我们赖以生存的地球已经携带着他的60亿子民踏入下一个世纪。 长期以来，人类的繁殖一直在自然地进行着，只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律以及如何惊醒人口控制等问题。 本文件里两个模型： （1）：中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。 （2）：中国人口的Logistic 图形，标出中国人口的实际统计数据进行比较。 而且利用MATLAB 图形 ，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线和两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。 关键词： 指数增长模型 Logistic 模型 MATLAB 软件 人口增长预测 1.问题的提出 下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），101654 0=N 万人， 200000=m N 万人。 要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。 （2）建立中国人口的Logistic 模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。 （3）利用MA TLAB 图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。 （4）利用MA TLAB 图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。 【注】常微分方程一阶初值问题的MATLAB 库函数为：ode45。 语法为：[t,Y] =ode45(odefun,tspan,y0) 2.问题的分析 人口的变化受到众多方面因素影响，因此对人口的预测与控制复杂，很难再一个模型中综合考虑到各个因素的影响。要预报未来若干年的人口，最重要的影响因素自然是今年的人口和今后这些年的增长率（即人口出生率减去死亡率），根据这两个数据进行人口预报是十分容易的。例如根据我国国家统计
人口模型预测数学建模作业
上传是为了分析数学的乐趣，请粘贴复制的时候也多思考哈。为了更多 的学子们。 2014年数学建模论文 第二套 题目：人口增长模型的确定 专业、姓名：土木135 提交日期：2015/7/2晚上
题目：人口增长模型的确定 摘要 对美国人口数据的变化进行拟合，并进行未来人口预测，在第一个模型中，考虑到人口连续变化的规律，用微分方程的方法解出其数量随时间变化的方程，用matlab里的cftool工具箱求出参数，即人口净增长率r=0.02222,对该模型与实际数据进行对比，并计算了从1980年后每隔10年的人口数据，与实际对比，有很大出入。因此又改进出更为符合实际的阻滞增长模型，应用微分方程里的分离变量法和积分法解出其数量随时间变化的方程，求出参数人口增长率r=0.02858和人口所能容纳最大值x=258.9,与实际数据对比，拟合得很好，并预测出1980年后每隔10年的人口数据，m 与实际对比，比较符合。为了便于比较两个模型与实际数据的描述情况作对比，又做出了两个模型与实际数据的对比图，以及两个模型的误差图。 关键词：人口预测微分方程马尔萨斯人口增长模型阻滞增长模型 一、问题重述 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。 二、问题分析 由于题目已经说明首先用马尔萨斯人口增长模型来刻划，列出人口增长指数增长方程并求解，并进行未来50年内人口数据预测，但发现与实际数据有较大出入。考虑到实际的人口增长率是受实际情况制约的，因此，使人口增长率为一变化的线性递减函数，列出人口增长微分方程，求出其方程解，并预测未来五十年内人口实际数据。 三、问题假设 1.假设所给的数据真实可靠;