高考数学等差数列专题复习(专题训练)

一、等差数列选择题

1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（） A ．60

B ．120

C ．160

D ．240

2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（） A ．45

B ．50

C ．60

D ．80

3．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（） A ．160

B ．180

C ．200

D ．220

4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（） A ．32

B ．33

C ．34

D ．35

5．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()

12n n n S +=，则数列11n n a a +??????

的前10项的和为（） A ．

B ．

910

C ．10

D ．

1112

6．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且

713n n S n T n -=，则5

a b =（） A ．

B ．

2310

C ．

317

D ．

7．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2

15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（）

A ．7

B ．8

C ．7或8

D ．9

8．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（） A ．10

B ．9

C ．8

D ．7

9．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（） A ．3斤

B ．6斤

C ．9斤

D ．12斤

10．已知数列{}n a 中，132a =

，且满足()*

1112,22

n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意

*n N ∈，都有

n a n

≥成立，则实数λ的最小值是（） A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

11．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（） A ．3(4)f x x =+

B ．2

()4f x x =

C ．3()4x

f x ??= ???

D ．4()log f x x =

12．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237

n n S n T n =+，则6

3a b 的值为

（） A ．

B ．38

C ．1

D ．2

13．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（） A ．60

B ．11

C ．50

D ．55 14．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则9

S a =（） A ．9

B ．5

C ．1

D ．

15．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（）

A ．7

B ．9

C ．21

D ．42

16．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（） A ．36

B ．48

C ．56

D ．72

17．已知数列{}n a 的前n 项和()2

n S n n N =∈，则{}n

a 的通项公式为（）

A ．2n a n =

B ．21n a n =-

C ．32n a n =-

D ．1,1

2,2n n a n n =?=?≥?

18．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ?∈都有333

122n n n a a a ++=+，则10a 等于

（） A ．10

C ．64

D ．4

19．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++????

+-=

???????

，数列{}n b 满足1111n n n

b a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（） A ．121

B ．161

C ．141

D ．151

二、多选题

21．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114

a =，则下列说法错误的是（） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B ．数列{}n a 的通项公式为1

4(1)

n a n n =

C ．数列{}n a 为递增数列

D ．数列1n S ??

????

为递增数列22．题目文件丢

失！

23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（） A ．12

d =

B ．12

d =-

C ．918S =

D ．936S =

24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（） A ．2d =- B ．122a =

C ．3430a a +=

D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值

25．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有

m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（）

A ．11285a a a a +=+

B ．56110a a a a <

C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103

a = D ．数列n S n ??

???

为递减的等差数列 26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且32019

111

a a e e +≤++，则（） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <

27．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（） A ．0d < B ．70a =

C ．95S S >

D ．67n S S S 与均为的最大值

28．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（） A ．45n a n =-

B ．23n a n =+

C ．2

23n S n n =-

D ．2

4n S n n =+

29．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（） A ．17a

B ．35S

C ．1719a a -

D ．1916S S -

30．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =

D ．15S 是最大值

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等差数列选择题 1．B 【分析】

根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()

11515815152

a a S a +==，从而可得出结果.

【详解】

解：由题可知，2938a a a +=+，

由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，

故()1158

158151521515812022

a a a S a +?=

===?=. 故选：B. 2．C 【分析】

利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解【详解】

{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =

1158158()15215

156022

a a a S a +??=

===

故选：C

【点睛】

本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 3．B 【分析】

把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】

由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=，所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020

()10181802

S a a =+=?=. 故选：B 4．D 【分析】

设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ,由他们年龄依次相差一岁得出

(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=，结合等差数列的求和公式得出

111429m n =-，再由[]90,100m ∈求出n 的值.

【详解】

根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，[]90,100m ∈，则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m +++++

+++=++=

则有291114n m +=，则111429m n =-，所以90111429100m ≤-≤ 解得34.96635.31n ≤≤，因为年龄为整数，所以35n =. 故选：D 5．C 【分析】

首先根据()12

n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】

当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()11122

n n n n n n n a S S n -+-=-=

-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()11111

n n n b a a n n n n +=

==-++，前n 项和为n T ，则10111111101122310111111T ??????=-+-++-=-= ? ? ???????

…. 故选：C

6．D 【分析】

利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】

由713n n S n T n

-=， ()()1955199195519992791622923927

a a a a a a S

b b b b b b T ++?-======++?.

故选：D 7．C 【分析】

215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．

【详解】

152251524n S n n n ??=-=--

?，

∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线2

1522524y x ??=--

?上的横坐标为正整数的离散的

点．

又抛物线开口向上，以15

2x =为对称轴，且1515|

7822

-=-|，所以当7,8n =时，n S 有最小值．故选：C 8．A 【分析】

利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ．【详解】

在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由

467811a a a =???

+=?4448

12311

a d a d a d =??=-?+++=?，24210a a d ∴=-=. 故选：A 9．C 【分析】

根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】

由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a ，粗的一端的重量为5a ，可知12a =，54a =，

根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==?=，中间三尺为234339a a a a ++==. 故选：C 【点睛】

本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型. 10．A 【分析】将11122

n n n a a -=

+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出2

2n n n a +=，从而得

出()

22n

n n λ+≥，求出()max

22n n n +??????的最值，即可得出答案. 【详解】因为2n ≥时，111

n n n a a -=

+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{

}

n a 是首项为3公差为1的等差数列，故22n

n a n =+，从而2

n n n a +=

. 又因为n a n λ

≥恒成立，即()22n

n n λ+≥恒成立，所以()max 22n n n λ+??≥????. 由()()()

()()()()

*121322,221122n n n

n n n n n n n n n n n +-?+++≥??∈≥?

+-+?≥??N 得2n = 所以()()2

max

2222222n n n +?+??

==????，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 11．D 【分析】

把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1

n n

x x +为常数进而可求得1n n y y +-的结

果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列．【详解】

对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以

n n

x x +为常数，

因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；

对于B ，函数2

()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝2

4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1

n n

x x +为

常数，

因此1n n y y +-＝()

2222

14441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；

对于C ，函数3()4x

f x ??= ???上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1

n n

x x +为常数，因此1n n y y +-＝

133()()44

n n

x x +-＝33()()144n q x ??

-????

，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；

对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x

，由于{x n }是等比数列，所以

n n

x x +为常数，因此1n n y y +-＝11

4log log log log n n n n

x x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；

故选：D ．【点睛】方法点睛：

判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．C 【分析】

令2

2n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则

a b 可得．【详解】

令2

2n S n λ=，()37n T n n λ=+，

可得当2n ≥时，()()2

21221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，

()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，

当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，

()232n b n λ=+

故622a λ=，322b λ=，故

1a b =.

【点睛】

由n S 求n a 时，11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符

合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 13．D 【分析】

根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】

因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，所以()

1111161111552

a a S a +===.

故选：D. 14．B 【分析】

由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求9

S a . 【详解】

4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，

∴1999()

452

a a S d ?+=

=，99a d =，且0d ≠， ∴9

5S a =. 故选：B 15．C 【分析】

利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，则()

1212121632

a a S +=

=，所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =，所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a +++

+=++++++

111111111122277321a a a a a =+++==?=，

故选：C 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，

()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a +++

+=++++++=即可求解.

16．A 【分析】

根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】

因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=，所以5312a =，即54a =，所以()199998

3622

a a S +?===. 故选：A . 【点睛】

熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 17．B 【分析】

利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】

2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，

当1n =时，111a S ==，上式也成立，

()

*21n a n n N ∴=-∈，

故选：B. 【点睛】

易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即

11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结

果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 18．D 【分析】

利用等差中项法可知，数列{}

3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}

n a 的公

差，可求得3

10a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】

对*n N ?∈都有3

122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}

n a 为等差数列，

由于11a =，22a =，则数列{}

3n a 的公差为33

217d a a =-=，

所以，33

101919764a a d =+=+?=，因此，104a .

故选：D. 19．B 【分析】由题意可得

1114n n

a a +-

=，运用等差数列的通项公式可得21

43n n a =-

，求得1

4n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果

【详解】

解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++????

+-= ???????

，得22

1114n n

a a +-=，所以数列21n a ??

????

是以4为公差，以1为首项的等差数列，

所以

14(1)43n

n n a =+-=-，因为0n a >

，所以n a =，

所以

1111n n n

b a a +=+=

所以1

n b =

=，

所以201220T b b b =++???+

1339(91)244=++???+=?-=，故选：B 【点睛】

关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得

1114n n a a +-

=，从而数列21n a ??????

是以4为公差，以1

为首项的等差数列，进而可求n a =

，1

n b =

=，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题 20．B 【分析】

由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】

因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即

127a =

所以231223161S a == 故选：B

二、多选题

21．ABC 【分析】

数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），11

a =，可得：1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=，利用等差数列的通项公式可得1n

S ，n S ，2n ≥时，()()

111144141n n n a S S n n n n -=-=

-=---，进而求出n a ．【详解】

数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），11

a =， ∴1140n n n n S S S S ---+=，化为：

4n n S S --=， ∴数列1n S ??

???

是等差数列，公差为4， ∴

()1

4414n n n S =+-=，可得14n S n

=， ∴2n ≥时，()()

1111

44141n n n a S S n n n n -=-=

-=---， ∴()1

(1)41(2)41n n a n n n ?=??

=??-≥-??

，

对选项逐一进行分析可得，A ，B ，C 三个选项错误，D 选项正确. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为

4n n S S --=，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题

22．无

【分析】

由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ．【详解】

因为1937538a a a a +=+=+=，所以()199998

3622

a a S +?=

==．因为35a =，73a =，所以公差731

732

a a d -==--．故选：BD 24．AC 【分析】

先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】

解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.

所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-?=，所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】

本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：

（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；

（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定； 25．AC 【分析】

令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由2

56110200a a a a d -=>，可

判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ?

?=+- ??

?，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】

令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正

由(

)()22

2256110111

19209200a a a a a a d d

a d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B

错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以1

3x =，213

x -=，故101110

9333

a =

+?=，故C 正确；由()111222n

n n na d

S d d n a n

n -+

??=

=+- ???

，因为02>d ，所以n S n ??????

是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】

解决数列的单调性问题的三种方法；

1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；

2、作商比较法：根据

(0n n n

a a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断. 26．AC 【分析】将

3201911111a a e e +≤++变形为320191111

01212

a a e e -+-≤++，构造函数()11

x f x e =

-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项【详解】由

3201911111a a e e +≤++，可得32019

111101212a a e e -+-≤++，令()11

x f x e =-+， ()()1111101111

x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，

所以()1112

f x e =

-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥，所以当数列{}n a 为等差数列时，()

320192*********

a a S +=

≥；

当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零，故()2021

202110110T a =>.

故选：AC

【点睛】

本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 27．ABD 【分析】

由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项. 【详解】

因为5665600S S S S a ?>，677670S S S S a =?-==，

788780S S S S a >?-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确；

()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；

由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】

本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型. 28．AC 【分析】

由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式【详解】

由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=，所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232

n n n S n n --==-.

故选：AC. 【点睛】

本题考查等差数列，考查运算求解能力. 29．BD 【分析】由1718S S =得18

0a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可

知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确. 【详解】

因为1718S S =，所以18170S S -=，所以18

0a =，

因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确；

13518

351835()35235022

a a a S a +?=

===，故B 正确； 171920a a d -=-≠，故C 不正确；

19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确.

故选：BD. 【点睛】

本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题. 30．CD 【分析】

根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案；【详解】

1118S S =，∴0d <，

设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2

y Ax Bx =+上，

抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，

∴1514S S =且为n S 的最大值，

1118S S =12131815070a a a a ?+++=?=，

∴129291529()

2902

a a S a +=

==，故选：CD. 【点睛】

本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.