(完整word版)上海高中数学三角函数大题压轴题练习
三角函数大题压轴题练习
1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ
=-
+-+Q
1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =
++-+
221cos 22sin cos 22x x x x =
++-
1cos 22cos 222
x x x =
+- sin(2)6
x π
=-
2T 2
π
π=
=周期∴ 由2(),()6
2
23
k x k k Z x k Z π
π
ππ
π-
=+
∈=
+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3
x k k Z π
π=+
∈
（2）5[,],2[,]122636
x x ππ
πππ
∈-
∴-∈-Q 因为()sin(2)6
f x x π
=-
在区间[,]123ππ-
上单调递增，在区间[,]32
ππ
上单调
递减，
所以 当3
x π=
时，()f x 取最大值 1
又 1()()12
22f f π
π-
=<=Q ，当12
x π
=-时，()f x 取最小值-
所以 函数 ()f x 在区间[,]122
ππ
-
上的值域为[
2．已知函数2
π()sin sin 2f x x x x ωωω??
=+ ??
?
（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03
??????
，上的取值范围．
解：（Ⅰ）1cos 2()sin 222x f x x ωω-=
+11sin 2cos 2222
x x ωω=-+
π1sin 262x ω?
?=-+ ??
?．
因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以
2π
π2ω
=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262
f x x ??=-
+ ??
?． 因为2π03
x ≤≤， 所以ππ7π2666
x --≤≤，
所以1πsin 2126x ??-
- ??
?≤≤， 因此π130sin 2622x ?
?-
+ ??
?≤≤，即()f x 的取值范围为302??????
，．
3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.
解：（Ⅰ） 由题意得cos 1,m n A A =-=g 1
2sin()1,sin().662
A A ππ-=-=
由A 为锐角得 ,6
6
3
A A π
π
π
-
=
=
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知1
cos ,2
A =
所以2
2
1
3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2
2
f x x x x s x =+=-+=--+
因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3
2
.
当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332??-????
，
4.已知函数()sin()(00π)f x A x A ??=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点
π132M ?? ???，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ??∈ ???
，，，且3()5f α=，12()13f β=，
求()f αβ-的值．
【解析】（1）依题意有1A =，则()sin()f x x ?=+，将点1
(,)32M π代入得1
sin()32
π?+=，而0?π<<，536π
?π∴+=，2π?∴=，故()sin()cos 2
f x x x π
=+=； （
2
）
依
题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)
2
π
αβ∈，
45
sin ,sin 513
αβ∴====，
3124556
()cos()cos cos sin sin 51351365
f αβαβαβαβ-=-=+=?+?=
。
5.已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12
f t
g x x f x x f x x π
π=
=?+?∈ （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ω?++（0A >，0ω>，[0,2)?π∈）的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域.
解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）
解：（Ⅰ）()cos sin g x x x =
cos sin x x =1sin 1cos cos sin .cos sin x x
x x x x
--=+g g
17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π??
∈π∴=-=- ???
Q 1sin 1cos ()cos sin cos sin x x g x x x x x
--∴=+--g g
sin cos 2x x =+-
2.4x π??+
- ???
（Ⅱ）由1712x ππ≤
＜，得55.443
x πππ
+≤＜ sin t Q 在53,42ππ?? ???上为减函数，在35,23ππ??
???
上为增函数，
又5535sin
sin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π??
∈π ??
?），
即1sin()2)23424
x x ππ
-≤+
-≤+--＜，＜， 故g (x )
的值域为)
2,3.?-?
6．（本小题满分12分）
在ABC ?中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c
，a =tan
tan 4,22
A B C
++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c
解：由
tan
tan 422A B C ++=得cot tan 422
C C
+= ∴cos sin
224sin cos
22
C C C C
+= ∴14sin cos 22C C = ∴1
sin 2C =，又(0,)C π∈
∴566
C C ππ==，或
由2sin cos sin B C A =得 2sin cos sin()B B B C =+ 即sin()0B C -= ∴B C =
6
B C π
==
2()3A B C π
π=-+=
由正弦定理sin sin sin a b c
A B C ==得
1
sin 2sin 2
B
b c a A ====
7.在ABC △中,内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c .已知2,3
c C π
==.
⑴若ABC △
求,a b ;
⑵若sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积.
说明：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．
解析：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，2
2
4a b ab +-=， 又因为ABC △
1
sin 2
ab C =4ab =． ·
······················· 4分 联立方程组2244a b ab ab ?+-=?=?，
，
解得2a =，2b =． ·············································· 6分
（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，
即sin cos 2sin cos B A A A =， ········································································· 8分 当cos 0A =时，2A π=
，6
B π
=
，a =
b =，
当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，
联立方程组2242a b ab b a ?+-=?=?
，，
解得3a =
3b =．
所以ABC △
的面积1sin 2S ab C =
= ····················································· 12分 1.已知函数()sin()sin()cos (,)66
f x x x x a a R a π
π
=+
+-++∈为常数. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；
(Ⅱ)若函数()f x 在[-
2π，2π
]上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值. 解：（Ⅰ）∵()2sin cos cos 6
f x x x a π
=+
+cos x x a =++
2sin 6x a π?
?=++ ??
?
……………………5分
∴函数()f x 的最小正周期2T π=
………………………7分
(Ⅱ)∵,22x ππ??
∈-
????
，∴2363x πππ-≤+≤
(
)min 2f x f a π??
=-= ???……9分
()max 23f x f a π??
==+ ???
……11分
由题意，有()(2)a a ++=
∴1a =
……12分
2.（本小题12分）已知函数.2
1
)4(,23)0(,23cos sin cos 2)(2==-
+=πf f x x b x a x f 且 （1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 的单调增区间；
解：（1）由????
??
?
==2
1)4
(23)0(πf f 得??
???==1
23
b a …………3分
)3
2sin(2sin 212cos 2323cos sin cos 3)(2π+=+=-
+=x x x x x x x f ……6分 故最小正周期π=T （2）由)(2
23
22
2Z k k x k ∈+
≤+
≤-π
ππ
π
π
得 )(12
125Z k k x k ∈+≤≤-
π
πππ 故)(x f 的单调增区间为)](12
,125[Z k k k ∈+-π
πππ …………12分
3．已知x x a x x f cos sin 34cos 4)(2
+-=，将)(x f 的图象按向量)2,4
(π
-=→
b 平移后，
图象关于直线12
π
=
x 对称．
（Ⅰ）求实数a 的值，并求)(x f 取得最大值时x 的集合； （Ⅱ）求)(x f 的单调递增区间．
解：（Ⅰ）22cos 22sin 32)(--=x x a x f ，将)(x f 的图象按向量)2,4
(π
-=→
b 平移后
的解析式为2)4
()(++
=π
x f x g x a x 2cos 322sin 2+=．……………………………3分
)(x g Θ的图象关于直线12
π
=
x 对称，
∴有)6
()0(π
g g =，即a a 3332+=，解得1=a ． ……………………………5分
则2)6
2sin(422cos 22sin 32)(--=--=π
x x x x f ．
……………………………6分 当2
26
2π
ππ
+
=-
k x ，即3
π
π+
=k x 时，)(x f 取得最大值2．………………………7分
因此，)(x f 取得最大值时x 的集合是},3
{Z k k x x ∈+=π
π．…………………………8分
（Ⅱ）由2
26
22
2π
ππ
π
π+
≤-
≤-
k x k ，解得3
6
π
ππ
π+
≤≤-
k x k ．
因此，)(x f 的单调递增区间是]3
,6[π
πππ+-
k k )(Z k ∈．……………………………12分
4.已知向量=m (θθsin ,cos ) 和n =(θθcos ,sin 2-)，θ∈［π，2π］．
(1) 求||+的最大值；(2)当||+=
528时，求cos 28θπ??
+ ???
的值．
4．解：(1) ()
cos sin sin m n θθθθ+=-++u r r
(2分)
m n +=
u r r
(4分)
∵θ∈［π，2π］，∴
49445ππθπ≤+≤，∴)4
cos(π
θ+≤1 ||n m +max =22． (6分)
(2) 由已知5m n +=u r r ,得7cos 425πθ?
?+= ??
? (8分) 又2cos 2cos ()1428πθπθ?
?
+
=+- ?
?
? ∴216cos ()2825
θπ+= (10分) ∵θ∈［π，2π］∴
898285π
πθπ≤
+≤，∴4cos 285θπ??+=- ???
． (12分) 。5.。已知A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （ααsin ,cos ），
).23,2(π
πα∈ （I ）若|,|||=求角α的值；
（II ）若α
α
αtan 12sin sin 2,12++-=?求的值.
5、解：（1）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=ααααΘ，
αααcos 610sin )3(cos ||22-=+-=∴，
||BC ==u u u u r
由||||BC AC =得ααcos sin =. 又4
5),23,
2(
π
απ
πα=
∴∈Θ. （2）由.1)3(sin sin cos )3(cos ,1-=-+--=?αααα得BC AC
.3
2
cos sin =+∴αα①
又
.cos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222ααα
αα
ααααα=+
+=++ 由①式两边平方得,9
4cos sin 21=
+αα .9
5tan 12sin sin 2.
9
5
cos sin 22-=++∴-=∴ααααα
6.在△ABC 中，a,b,c 分别为角A ，B ，C 的对边，设2
2
2
2
2
()()4f x a x a b x c =---， （1）若(1)0f =，且B －C=
3
π
，求角C.（2）若(2)0f =，求角C 的取值范围. 6．解；（1）由f （1）=0，得a 2－a 2+b 2－4c 2=0， ∴b= 2c …………（1分）.
又由正弦定理，得b= 2RsinB ，c=2RsinC,将其代入上式，得sinB=2sinC …………（2分）
∵B －C=3π，∴B=3π+C ，将其代入上式，得sin （3π
+C ）=2sinC ……………（3分） ∴sin （3π）cosC + cos 3
π
sinC =2sinC ，整理得，C C cos sin 3=…………（4分）
∴tanC=
3
3
……………（5分） ∵角C 是三角形的内角，∴C=
6
π
…………………（6分） （2）∵f （2）=0，∴4a 2－2a 2+2b 2－4c 2=0，即a 2+b 2－2c 2=0……………（7分）
由余弦定理，得cosC=ab
c b a 22
22-+……………………（8分）
=ab
b a b a 222
22
2
+-
+ ∴cosC=ab b a 422+2
1
42=≥ab ab （当且仅当a=b 时取等号）…………（10分）
∴cosC ≥
2
1， ∠C 是锐角，又∵余弦函数在（0，
2π）上递减，∴.0 π ………………（12分） 7． A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c. 若m u r ＝(－cos A 2，sin A 2 )，n r ＝(cos A 2，sin A 2)，且m u r ·n r ＝12 .（1）求A ； （2）若a ＝23，三角形面积S ＝3，求b +c 的值. 7.解：（1）∵m u r ＝(－cos A 2，sin A 2)，n r ＝(cos A 2，sin A 2)，且m u r ·n r ＝12 ， ∴－cos 2A 2＋sin 2A 2＝1 2 ，………………………………………………2分 即－cosA ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2 3π………………………………5分 （2）S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12b ·c ·sin 2 3π＝3，∴bc ＝4 …………………7分 又由余弦定理得：a 2=b 2+c 2－2bc ·cos120°＝b 2+c 2+bc ………………10分 ∴16＝(b +c )2，故b +c ＝4.……………………………………………12分 8.已知向量m →=（sin B ，1－cos B )，且与向量n →=(2，0)所成角为π 3 ，其中A, B, C 是△ABC 的内角． (1)求角Ｂ的大小； (2)求sinA+sinC 的取值范围．(本题满分12分) 8.解：（1）∵m →=（sinB ，1-cosB) ,与向量n →=（2，0）所成角为 ,3 π ∴ ,3sin cos 1=-B B ……………………………………………………………3分 ∴tan ,3 ,32,32032π πππβ=+==∴<<=C A B B B 即又 …………………6分 （2）：由（1）可得∴)3 sin(cos 23sin 21)3 sin( sin sin sin π π +=+= -+=+A A A A A C A ……………………………………8分 ∵3 0π