向量解题技巧完整版

向量解题技巧

HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

一、怎么样求解向量的有关概念问题

掌握并理解向量的基本概念 １.判断下列各命题是否正确

(1)若c a c b b a ===则,,；

(2)两向量b a

、相等的充要条件是b a =且共线、b a ；

(3)b a =是向量b a

=的必要不充分条件；

(1)若D C B A 、、、是不共线的四点，则C D B A

=是四边形ABCD 为平行四边形的

充要条件；

(2)D C B A

=的充要条件是A 与C 重合，D B 与重合。

二、向量运算及数乘运算的求解方法

两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，

要平移到同一起点；重要结论：a 与b 不共线，则b a b a -+与是以a 与b

为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量。在求解向量的坐标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若

)

,(),,(2211y x B y x A ，则

=-=A O B O B A

),(),(),(12121122y y x x y x y x --=-。

例1 若向量_______2),1,0(),2,3(的坐标是则a b b a --== 例2 若向量____)2,1(),1,1(),1,1(=-=-==c c b a 则

例 3 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点),3,1(),1,3(-B A 若点

满足C B O A O C O

βα+=，其中R ∈βα,且1=+βα，则点C 的轨迹为（ ） 例 4 O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足

)(C

A C

A B A B A A O P O

++=λ，),0[+∞∈λ，则P 的轨迹一定过ABC ?的（）

.A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心

例5 设G 是ABC ?内的一点，试证明:

(1)若G 是为ABC ?重心，则0

=++C B B G A G ；

(2)若0

=++C B B G A G ，则G 是为ABC ?重心。

三、三点共线问题的证法

证明A,B,C 三点共线，由共线定理(共线与C A B A

)，只需证明存在实数λ，使

C A B A

λ=，，其中必须有公共点。

共线的坐标表示的充要条件，若),(),,(2211y x b y x a ==

，则

例1 已知A 、B 两点，P 为一动点，且B tA A O P O

+=，其中t 为一变量。

证明：必在直线AB 上；取何值时，P 为A 点、B 点？

例2 证明：始点在同一点的向量b a b a

23-、

、的终点在同一直线上 例3 对于非零向量b a b a b a b a

+≤+≤-求证：

、, 四、求解平行问题

两向量平行，即共线，往往通过“点的坐标”来实现；两向量是否共线与它们模长的大小无关，只由它们的方向决定；两向量是否相等起点无关，只由模长和方向决定。

例1 已知),1(),1,2(),1,0(),0,1(y Q P N M 且Q P N M

//，求y 的值。

例 2 已知点)2,1(-A ，若向量,132)3,2(==B A a B A

同向，与则B 点的坐标是____.

例3 平面内给定三向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==c b a

，则：

(1) 求;23c b a -+ (2)n m c n b m a 、的实数求满足

+= (3) 若;),2//()(k a b b k a 求实数

-+

(4) 设.,1)//()(),(d c d b a c d y x d 求且满足=-+-=

例4

(1) 已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ，求的坐标的交点，与P B D C A

。

(2) 若平行四边形ABCD 的顶点的坐标。求顶点D C B A ),6,5(),1,3(),2,1(--- 五、向量的数量积的求法

求数量积：?????+=??=?2

121cos y y x x b a b a b a

坐标法：定义法：θ 当?=?=1800//θθ和时，b a 两种可能。故b a b a

?±=?

一些重要的结论：2

2a a a a =?=；2222)(b b a a b a +?±=±；22))((b a b a b a -=-+ 例1 设c b a

,,是任意的非零的向量，且相互不共线，则（ ） 其中是真命题的为（ ）

例2 已知平面上三点A 、B 、C ，满足,5,4,3===A C C B B A

则B A A C A C C B C B B A

?+?+?的值等于________。

例3 已知向量b a 和的夹角为?120，且.______)2(,5,2=?-==a b a b a

则

六、如何求向量的长度

形如b a

μλ+的模长求法：开方转化为含数量积运算先平方→→，即：

例1 已知向量____,,60,4,,=+?==b a b a b a b a

则的夹角为与____,=+b a 其中

例2 设向量的值。求满足b a b a b a b a

+=-==3,323,1,

七、如何求两向量的夹角

夹角公式：2

2

2221212

121cos y x y x y y x x b

a b

a +?++=?= θ

例1 已知._____,,36)5

1()3(,12,10的夹角求且b a b a b a

-=?==

例2 若21e e

与是夹角为?60的单位

向量，且

的夹角与及求b a b a e e b e e a

?+-=+=,23,22121。

八、垂直问题的求解

向量垂直的充要条件：002121=+?=??⊥y y x x b a b a

例1若向量所成的角。与则满足b a b a b a b a

,,-=+

例2在ABC ?中ABC k C A B A ?==且),,1(),3,2(

的一个内角为直角，求k 的值。

例3已知λλ垂直，求与且。

b a b a b a b a

-+==⊥23.3,2, 例4已知点的坐标。求于点D D B O D A B A O ,),3,6(),5,0(),0,0(

⊥

九、向量的数量积的逆向应用

求解有关向量的问题，可设出该向量的坐标，列出方程或方程组求之。

例1已知?,5,1),3,4(==?=-=b b a b a

则且

例2求与向量的坐标的向量２

的夹角相等，且模长为和c b a

)3,1()1,3(=-= 例3若平面向量) (,53180)2,1(==?-=b b a b

则，且的夹角是

与向量 例4已知._______,15)4,3(==-=b b a b

则垂直，且与向量向量

十、线段定比分点公式的运用技巧

求解定比分点问题，要注意结合图形，分清是内分点是外分点，不能混淆起点

和终点， 定比分点坐标公式：??

??

?++=++=λλλλ112

1

21y y y x x x 中点坐标公式：??

???+=+=2221

21y y y x x x ， 重心坐标公式：??

???++=

++=333

21321y y y y x x x x

例1设点P 分有向线段→21P P 所成的比为

43

，则1P 分→P P 2所成的比为________。 例2已知两点Q P Q P

则),3,2(),9,4(--与y 轴的交点分有向线段

所成的比为Q P

___.

十一、利用平移公式解题

点),(y x A 按向量的图像按，而函数平移，得到点)(),(),(x f y k y h x k h a =++=

向

量k h x f y k h a +-==)(),(式为平移得到的函数的解析

，解题时要注意理解图像平移

前后的关系。

例1已知两个点则：向量),12,3(),14,2('),2,1(-=-a P P

(1)把P 按向量a

平移得_______.

(2)某点按a

,得到'P ，求这个点坐标。

(3)P 按某向量平移得到'P ,求这个向量坐标。

例2将函数4)12(log 3-+=x y 的图像按向量a

平移后得到的是函数)

2(log 3x y =的图像，那么a

的坐标是_______.

例3将函数平移，的图像按向量a x y

2sin 2=得的图像，1)3

2sin(2++=πx y 则向量

a

的坐标是（ ）

十二、怎样利用正、余弦定理求三角形的边与角

主要考查正、余弦定理，勾股定理、三角变换，诱导公式。

正弦定理：

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===；A R a sin 2?=，B R b sin 2?=，

C R c sin 2?=

三角形面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 2

1

sin 21sin 21===?。

余弦定理：bc

a c

b A A b

c c b a 2cos ;cos 22

222

2

2

-+=-+=

下面关系式需熟记：在ABC ?中

例1 在ABC ?中，?,4:3:2sin :sin :sin =∠=ABC C B A 则

例 2 已知ABC ?中的最大角A 是最小角C 的二倍，且c b a 、、成等差数列，则

____::=c b a

例 3 已知c b a 、、是ABC ?中C B A ∠∠∠,,的对边，c b a 、、成等差数列，

?=∠30B ，ABC ?的面积为23

，那么_____=b 。

例4在ABC Rt ?中，的值－求B A c b a C ,2

6,2

=

+=π。

十三、如何判定三角形的形状

原则上是将角化成边或将边化成角，主要工具是正余弦定理和三角恒等变形及代数变形。

注意：做等式变形过程中因式不可直接约分！

例1 在ABC ?中，若,sin sin cos 2C A B =?则ABC ?的形状一定是（ ） 例 2 关于02

cos cos cos 2=--c

B A x x x 的方程有一根为1，则AB

C ?的形状一定是（ ）

例3 在ABC ?中，则,tan tan 22A b B a =ABC ?是（ ）