高三年级期中考试(数学理)
浙江省杭州市新登中学第一学期高三年级期中考试
数学（理科）
一、选择题：（请将唯一正确答案的代号填在答卷的表格里。每小题5分，共50分。） 1．点（x , y ）在映射“f ”的作用下的象是点（x ＋2y , 3x －4y ），则在此映射的作用下的点（5, 6）的原象是
A ．（5, 6）
B ．（17, －9）
C ．（
516, 10
9
） D ．其它答案
2．已知集合M ＝｛x│x 2
≤9｝，集合S ＝｛x│x 2
－3x ＋2≥0｝，则（M C R ）∩S ＝
A ．(]3,-∞-∪[)+∞,3
B ．()3,-∞-∪()+∞,3
C ．)3,2[]1,3( -
D ．[]1,3-∪[]3,2
3．若函数1
2
3)(-+=x x f 的反函数的图象过P 点，则P 点坐标可能是 A ．（2，5） B ．（1，3）
C ．（5，2）
D ．（3，1）
4．
22
11(1)(1)
i i
i i -++=+- A ．i
B ．i -
C ．1
D ．1-
5．函数)6(log 23
1
x x y --=的单调递增区间是
A ．1[,)2
-+∞ B ．1
[,2)2
-
C ．1(,]2
-∞-
D ．1(3,]2
--
6．函数f （x ）=???
?
???<=>)
1()1(0
)
1(1x x x x x 在x=1处不连续是因为 A ．函数在x=1处无意义
B ．
+
→1lim x ≠)(x f )(lim 1x f x -
→
C ．1
lim
→x )1()(f x f ≠
D ．以上答案均不正确
7．已知一个二次函数的对称轴为x ＝2，它的图象经过点（2, 3），且与某一次函数的图象交于点（0, －1），那么已知的二次函数的解析式是
A ．f （x ）＝－x 2－4x －1
B ．f （x ）＝－x 2＋4x ＋1
C ．f （x ）＝x 2－4x ＋1
D ．f （x ）＝－x 2＋4x －1
8．设曲线
2
1x e y -=与直线1-=x 的交点为P ，则曲线在P 点处的切线方程是
A ．032=+-y x
B ．032=-+y x
C ．012=--y x
D ．012=-+y x
9．已知函数x x f 2log )(=，2)(y x y x F +=，，则F （)4
1(f ，1）等于 A ．－1 B ．5
C ．－8
D ．3
10．
)(x f 是定义在区间[-c ，c]上的奇函数，其图象如图所示，令b x af x g +=)()(,则
下列关于函数)(x g 的叙述正确的是
A ．若0 B ．若02,1<<--=b a ，则方程0)(=x g 有大于2的实根 C ．若2,0=≠b a ，则方程0)(=x g 有两个实根 D ．2,1<≥b a ，则方程0)(=x g 有三个实根 二、填空题：（每小题4分，共16分。） 11．若2) 1(23lim 22 =++∞→x x ax x ，则a 的值为 ； 12． 甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为 3 2 ,43，设甲投4球恰好投进3球的概率为1p ，乙投3球恰好投进2球的概率为2p ，则1p 与2p 的大小关系为__________； 13．若 ()f x 的图像如右图所示的两段单位圆弧，则不等式 ()()2f x f x x >-+的解集是 。 14．定义运算() (),?? ?>≤=*b a b b a a b a 例如，121=*,则函数 x x f 21)(*=的值域为 。 y x 1 1 O 三、解答题：（本大题6小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知函数).0(,4 )(2≠+ =x x x x f （1）求f (x )的单调递减区间； （2）当[1,4],()x f x ∈时求的最大值和最小值。 16．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数12345A a a a a a =，其中A 的各位数字中，11,(2,3,4,5)k a a k ==出现0的概率为 13，出现1的概率为2 3 ．例如：A=10001，其中152341,0a a a a a =====．记12345a a a a a ξ=++++,当启动仪器一次时， （1）求3ξ=的概率； （2）求ξ的概率分布列及E ξ． 17．已知函数2 ()(8),f x ax b x a ab =+---当(3,2),()x f x ∈->时0，当 (,3)(2,)x ∈-∞-+∞时，()0f x <. （1）求)(x f 在[0，1]内的值域； （2）0)1(2 ≤++-a bx x c 的解集为R ，求实数c 的取值范围. 18．已知函数b ax x x f += 2 )(（b a ,为常数）,且方程f （x ）－x+12＝0有解 .4,321==x x （1）求函数f （x ）的解析式； （2）设k>2，解关于x 的不等式：x k x k x f --+<2)1()( 19．已知定义在R 上的函数f （x ）＝d cx bx ax 422 3++-（ a , b , c , d ∈R ）的图象关于 原点对称，且x ＝ 1时，f （x ）取极小值5 2- 。 （1）求f （x ）的解析式； （2）当x ∈[－1，1]时，图象是否存在两点，使得此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论。 （3）若21,x x ∈[-1，1]时，求证：)()(21x f x f -≤ 5 4。 20．已知函数 0)1(,ln 2)(=-- =f x x b ax x f ， （1）若函数)(x f 在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围； （2）若函数)(x f 的图象在1=x 处的切线的斜率为0，且1)1 1 ( 21+-+-'=+n n a f a n n ， 已知41=a ，求证：22+≥n a n . 理科数学参考答案 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 11．4 12．21 p p < 13．?? ????????<<-<≤-220,221x x x 或 14．（0，1] . 三、解答题： 15．（1）（0，2] （2） 3)2()(,5)4()1()(min max =====f x f f f x f 16．（1）8/9 （2） 24983 8127 E ξ= = 17．（1）当.0)(,),2()3,(,0)(,)2,3(<+∞--∞∈>-∈x f x x f x 时当时 所以－3，2是方程0)8(2 =---+ab a x b ax 的两根，代入可得：5,3=-=b a ∴2 ()3318f x x x =--+ ………………4分 对称轴2 1 -=x ，所以)(x f 在[0，1]上为减函数，故]18,12[)(∈x f …………8分 （2）035) 1()1(22 ≤-++-=++-x x c a bx x c ， ∴132512(1)012 c c ?=+-≤?≤- 又1,01<<-c c ，所以12 13 - ≤c ………………14分 18．（1）将0124,32 21=+-+==x b ax x x x 分别代入方程 得 分所以解得6)......2(2)(,218 416939 2≠-=???=-=?????? ?-=+-=+x x x x f b a b a b a （2）不等式即为 02)1(,2)1(222<-++---+<-x k x k x x k x k x x 可化为 即.0))(1)(2(>---k x x x ………………………10分 即.0))(1)(2(>---k x x x ………………………6分 ①当).,2(),1(,21+∞?∈< 19．（1）（1）∵函数f （x ）的图象关于原点对称，∴f （0）＝ 0，即4d ＝ 0，∴d ＝ 0 又f （－1）＝ － f （1），即－a － 2b － c ＝ －a + 2b – c ，∴b ＝ 0 ∴f （x ）＝3ax +cx ,f ′（x ）＝ 3a 2x +c . ∵x ＝ 1时，f （x ）取极小值52-，∴ 3a + c ＝ 0且 a + c ＝ 5 2 -. 解得a ＝ 51 ,c ＝ 53 -. ∴f （x ）＝x x 5 3 513-……………………………………………6分 （2）当x ∈[－1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立。 假设图象上存在两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），使得过此两点处的切线互相垂 直，则由f ′（x ）＝53（2x －1）知两点处的切线斜率分别为1k ＝53()12 1-x ，2k ＝()15 322-x ，且 ()() 1125 92 221--x x ＝ 1 （*） ∵1x ，2x ∈[－1，1]，∴21x －1≤0，2 2x －1≤0 ∴（2 1x －1）（2 2x －1）≥0 此与（*）矛盾，故假设不成立 ………12分 （3）证明：f ′（x ）= 5 3 （2x -1），令f ′（x ）= 0，得x = ±1 ∴x ∈（-∞，-1）或x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，x ∈（-1，1）时，f ′（x ）＜0 ∴f （x ）在[-1，1]上是减函数，且m ax f （x ）=f(-1)=5 2,min f (x)=f(1)=52-. ∴在[-1，1]上| f （x ）|≤ 5 2 ，于是1x ，2x ∈[-1，1]时， |f(1x )-f(2x )|≤|f(1x )|+|f(2x )|≤5 4 5252=+ …………………………14分 20．（1）(1)0,f a b a b =-=?=∴()2ln a f x ax x x =--，∴22 ()a f x a x x '=+- 要使函数)(x f 在定义域),0(+∞内为单调函数，则在),0(+∞内)(x f '恒大于0或 恒小于0， 当02 )(0<- ='=x x f a 时，在),0(+∞内恒成立； 当时，0>a 要使01)11()(2>-+-='a a a x a x f 恒成立，则01 >-a a ，解得1>a 当时，0 )11()(2<-+-='a