人教新版 九年级(上)数学 第22章 二次函数 专题训练(含解析)
第22章二次函数专题训练
一．选择题（共10小题）
1．下列和之间的函数表达式中，是二次函数的是
A．B．C．D．
2．函数具有的性质是
A．无论取何值，总是正的B．图象的对称轴是轴
C．随的增大而增大D．图象在第一、三象限
3．二次函数的图象与轴的交点坐标是
A．B．，C．D．
4．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为
A．B．C．D．
5．抛物线为常数）的顶点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是
A．B．
C．D．
7．对于二次函数，下列说法错误的是
A．该二次函数图象的对称轴可以是轴
B．该二次函数图象的对称轴不可能是
C．当时，的值随的增大而增大
D．该二次函数图象的对称轴只能在轴的右侧
8．已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
9．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为．设饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式是
A．B．C．D．
10．二次函数的对称轴为．若关于的一元二次方程在的范围内有实数解，则的取值范围是
A．B．C．D．
二．填空题（共8小题）
11．二次函数图象的开口向．
12．二次函数的最小值为．
13．二次函数的图象的对称轴为．
14．抛物线经过点，，抛物线所对应的函数表达式为．15．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到抛物线，则原抛物线的解析式是．
16．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元．
17．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是．
18．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与二次函数的图象交于点在第二象限），经过点与轴垂直的直线与一次函数的图象交于点，当时，则的值为．
三．解答题（共7小题）
19．已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，求当时，的值．
20．已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的一个交点坐标是．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当为何值时，．
21．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线经过点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是直线上方的抛物线上一动点，求的最大面积．
22．如图，有长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为8米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为米，面积为平方米．
（1）求与的函数关系式．
（2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少？
（3）能围成面积比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
23．如图，抛物线的图象与轴交，两点，与轴交于点点为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线关于直线对称后的抛物线记为，将抛物线关于点对称后的抛物线记为，点为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得
为等腰三角形？若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由．
24．在平面直角坐标系中，抛物线过，两点，
（1）试求抛物线的解析式．
（2）记抛物线顶点为，求的面积；
（3）将直线向上平移个单位，所得的直线与抛物线段（包括端点、部分有两个交点，请求出的取值范围．
25．把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．
（1）直接写出抛物线的函数关系式；
（2）动点能否在抛物线上？请说明理由；
（3）若点，都在抛物线上，且，比较，的大小，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列和之间的函数表达式中，是二次函数的是
A．B．C．D．
解：、，是二次函数，所以选项正确；
、，最高次数是3，不是二次函数，所以选项错误；
、，右边不是整式，不是二次函数，所以选项错误；
、，最高次数是1，不是二次函数，所以选项错误．
故选：．
2．函数具有的性质是
A．无论取何值，总是正的B．图象的对称轴是轴
C．随的增大而增大D．图象在第一、三象限
解：二次函数解析式为，
二次函数图象开口向上，当时随增大而减小，当时随增大而增大，对称轴为轴，无论取何值，的值总是非负，
其图象的顶点为原点，原点不属于任何象限．
故选：．
3．二次函数的图象与轴的交点坐标是
A．B．，C．D．
解：当时，，
所以二次函数的图象与轴的交点坐标为．
故选：．
4．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为
A．B．C．D．
解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为，即，
故选：．
5．抛物线为常数）的顶点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：抛物线的顶点坐标为，
，
抛物线的顶点在第二象限，
故选：．
6．二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是
A．B．
C．D．
解：的图象的开口向下，
，
对称轴在轴的左侧，
，
一次函数的图象经过二，三，四象限．
故选：．
7．对于二次函数，下列说法错误的是
A．该二次函数图象的对称轴可以是轴
B．该二次函数图象的对称轴不可能是
C．当时，的值随的增大而增大
D．该二次函数图象的对称轴只能在轴的右侧
解：二次函数，
当时，该函数的对称轴是轴，故选项正确；
该函数的对称轴为直线，当时，随的增大而增大，故选项、正确；
该函数的对称轴为，
当时，，则此时对称轴在轴左侧，故选项错误；
故选：．
8．已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
解：，
对称轴是直线，
即二次函数的开口向上，对称轴是直线，
即在对称轴的右侧随的增大而增大，
点关于直线的对称点是，
，
，
故选：．
9．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为．设饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式是
A．B．C．D．
解：设饲养室长为，占地面积为，
则关于的函数表达式是：．
故选：．
10．二次函数的对称轴为．若关于的一元二次方程在的范围内有实数解，则的取值范围是
A．B．C．D．
解：抛物线的对称轴，
，
则方程，即的解相当于与直线的交点的横坐标，
方程在的范围内有实数解，
当时，，
当时，，
又，
当时，在的范围内有解．
的取值范围是，
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．二次函数图象的开口向下．
解：二次函数，，
该函数图象开口向下，
故答案为：下．
12．二次函数的最小值为5．
解：由于二次函数中，，
所以当时，函数取得最小值为5，
故答案为5．
13．二次函数的图象的对称轴为直线．
解：二次函数，
该函数图象的对称轴是直线，
故答案为：直线．
14．抛物线经过点，，抛物线所对应的函数表达式为．
解：将，代入抛物线解析式得：
，
解得：，，
则抛物线解析式为．
故答案为：．
15．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到抛物线，则原抛物线的解析式是．
解：，将其向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到原抛物线的解析式为：，即．
故答案是：．
16．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元．
解：设每顶头盔的售价为元，获得的利润为元，
，
当时，取得最大值，此时，
故答案为：70．
17．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是．
解：设抛物线的表达式为：，
将点代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：，
令，则，即，
故答案为．
18．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与二次函数的图象交于点在第二象限），经过点与轴垂直的直线与一次函数的图象交于点，当时，则的值为或．
解：设，则，
由题意：，
解得或，
或，
点在直线上，
或，
故答案为或．
三．解答题（共7小题）
19．已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，求当时，的值．
解：二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
，
解得，，
二次函数，
当时，．
20．已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的一个交点坐标是．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当为何值时，．
解：（1）的图象与轴交于点，
与轴的一个交点坐标是．
，
解得，，
该函数的解析式为
（2）令，则，解得：，，
点的坐标为．
当时，．
21．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线经过点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是直线上方的抛物线上一动点，求的最大面积．
解：（1）抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线过点，，
，．
把点，，代入得：
，
解得．
抛物线解析式为；
（2）如图，过点作轴的平行线与交于，与轴交于，
设，则，
，
．
当时，的面积最大，最大面积是．
22．如图，有长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为8米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为米，面积为平方米．
（1）求与的函数关系式．
（2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少？
（3）能围成面积比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
解：（1）由题可知，花圃的宽为米，则为米，
这时面积；
（2）由题意得：，解得，，
，解得，
不合题意，舍去，
即花圃的宽为4米；
（3）能，理由：
，
当时，有最大值为；
故能围成面积比24米更大的花圃．
围法：，
即花圃的长为8米、宽为米，这时有最大面积平方米．
23．如图，抛物线的图象与轴交，两点，与轴交于点点为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线关于直线对称后的抛物线记为，将抛物线关于点对称后的抛物线记为，点为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得
为等腰三角形？若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由．
解：（1）设解析式
将代入得
抛物线的解析式为；
（2）抛物线的解析式为；
抛物线的顶点为
将抛物线关于直线对称后的抛物线记为，将抛物线关于点对称后的抛物线记为，
抛物线解析式为：，抛物线解析式为：，
点为抛物线的顶点，
点，
，
点抛物线的对称轴上，
点横坐标为3，
若，则点坐标为或，
若时，则点与点关于轴对称，
点，
若时，则，
，
点，
综上所述：当点为或或或时，使得为等腰三角形
24．在平面直角坐标系中，抛物线过，两点，
（1）试求抛物线的解析式．
（2）记抛物线顶点为，求的面积；
（3）将直线向上平移个单位，所得的直线与抛物线段（包括端点、部分有两个交点，请求出的取值范围．
解：（1）把，两点坐标代入得：，
解这个方程组，得，
抛物线的解析式为；
（2），
顶点，
的面积．
（3）由消去得到，
当△时，直线与抛物线相切，，
，
当直线经过点时，，
当直线经过点时，，
直线向上平移个单位所得的直线与抛物线段（包括端点、部分有两个交点，
．
25．把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．
（1）直接写出抛物线的函数关系式；
（2）动点能否在抛物线上？请说明理由；
（3）若点，都在抛物线上，且，比较，的大小，并说明理由．
解：（1），
把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物
线，即，
抛物线的函数关系式为：．
（2）动点不在抛物线上，理由如下：
抛物线的函数关系式为：，
函数的最小值为，
，
动点不在抛物线上；
（3）抛物线的函数关系式为：，
抛物线的开口向上，对称轴为，
当时，随的增大而减小，
点，都在抛物线上，且，．